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公众号：高中试卷君
哈师大附中、大庆铁人中学 2023-2024 学年度高二下学期联合期末考
试
数学试卷
考试时间：120分钟，满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求集合 ，再求集合的混合运算.
【详解】 ， ，
所以 .
故选：A
2. 命题“对 ， ”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出原命题为真命题的充要条件，再根据题意，找到为其范围真子集的选项即得.
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【详解】由命题“对 ， ”为真命题，可知 在 上恒成立，
当 时可得 ，当 时不等式可化为： ，
设 ，
① 因 在 上单调递减，故 ，则 ，故得 ；
②又因 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
则有 ，故得 .
综上，可得 ，即命题“对 ， ”为真命题等价于 ，
依题意需使选项 的范围是 的真子集，故C正确.
故选：C.
3. 若 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数性质得 ，由不等式的性质可判定AC，由特殊值法可判定
BD.
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【详解】由 ，得 ，所以 ，所以 ，所以 错误；
令 ，此时 与 无意义，所以 错误；
因为 ，所以由不等式的性质可得 ，所以 正确；
令 ，则 ，所以 错误.
故选： .
4. 某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比 8%，乙班艺术生占
比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的 ，
， ．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据题意根据全概率公式计算即可.
【详解】设 “任选一名学生恰好是艺术生”，
“所选学生来自甲班”， “所选学生来自乙班”, “所选学生来自丙班”．
由题可知：
， ， ， ， ， ，
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.
故选：D
5. 为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室
储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（ ）
A. 72 B. 120 C. 216 D. 240
【答案】C
【解析】
【分析】分两个0之间有一个数字，两个数字和三个数字，结合排列知识进行求解，相加后得到答案.
【详解】从左到右的6个位置分别为 ，
若两个0之间有一个数字，此时两个0的位置有 或 或 或 四种情况，
在把剩余的4个数进行全排列，此时共有 种，
若两个0之间有两个数字，此时两个0的位置有 或 或 三种情况，
剩余的4个数进行全排列，此时有 种，
若两个0之间有三个数字，此时两个0的位置有 或 两种情况，
剩余的4个数进行全排列，此时有 种，
综上，可以设置的密码共有 个.
故选：C
6. 已知函数 6，若 ，则 的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】根据函数解析式判断其单调性，从而不妨设 ，可得 ，由此可求得
，构造函数 ，利用导数即可求得最值.
【详解】因为 ，可知函数在 上单调递减，在 上单调递增，
不妨设 ，则 ，
可得 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
故选：D
7. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.
【详解】 ， ，
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，
，
，
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故选：A
8. 已知 ， ， ，则m，n，p的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将 换成 ，分别构造函数 ，，利用导数分析其在 的右侧包括 的较小范围
内的单调性，结合 即可得出m，n，p的大小关系.
【详解】令 ，则 ， ，
，
当 ， ，
设 ，则 ，
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，
在 单调递减，
，
，
当 ， ，
设 ，
则 ，
在 单调递增， ，
， ，
故选：A.
【点睛】关键点睛：解决此类大小比较问题，关键是根据数的结构特征选择恰当的中间变量，然后构造函
数。利用导数解决问题.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．部分选对部分得分，有选错的得0分．
9. 已知 ，则下列说法中正确的有（ ）
A. 的展开式中的常数项为84
B. 的展开式中不含 的项
C. 的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D. 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
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【答案】AC
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质即可解出．
【详解】因为 展开式的通项公式 ，所以
当 ，A正确；
当 时， ，B错误；
的展开式中各项系数和为 ，二项式系数之和为 ，C正确；
根据二项式系数的性质可知， 最大，所以， 的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六
项，D错误.
故选：AC.
10. 若函数 在 上有最大值，则a的取值可能为
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由利用导数判断函数的单调性可得 的增区间为 ，
减区间为 ，可得 在 处取得极大值，又 ，
又 在 上有最大值，则需 ，运算即可得解.
【详解】解：令 ，得 ， ，
当 时， ；当 或 时， ，
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则 的增区间为 ，减区间为 ，
从而 在 处取得极大值 ，
由 ，得 ，解得 或 ，
又 在 上有最大值，
所以 ，即 ，
故选ABC.
【点睛】本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力.
11. 某校为了解学生对2024欧洲杯的关注度（关注或不关注），对本校学生随机做了一次调查，结果显示
被调查的男、女生人数相同，其中有 的男生“关注”，有 的女生“关注”，若依据小率值 的独
立性检验，认为学生对世界杯的关注度与性别有关联，则调查的总人数可能为（ ）
参考公式： ， ．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A. 276 B. 288 C. 300 D. 312
【答案】CD
【解析】
【分析】首先根据男、女生人数相等，结合比例，列出 列联表，再计算 ，列不等式即可求解.
【详解】设男、女生人数均为 ，可得如下 列联表：
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对卡塔尔世界杯不关
对卡塔尔世界杯关注 合计
注
男生
女生
合计
由题意可得 ，所以 ，所以 ，
则 ，因为 为6的倍数，则 为12的倍数，则CD满足题意.
故选：CD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数 在点 处的切线与两个坐标轴围成的三角形面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】由题意可得 ，则曲线 在 处的切线斜率为 ，
切点为 ，故切线方程为 .
.
令 ，得 ；令 ，得
则该切线与坐标轴分别交于点 ， ，
故该切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .
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故答案为： .
13. 某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的
考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比
例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成
绩，依照等比例转换原则，分别转换到 ， ， 、 、 五个分数区间，
得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩 ，若一名学
生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为________分．（分数保留整数）
附：①若 ， ，则 ；②当 时， ．
【答案】71
【解析】
【分析】设A等级的原始分最低为 ，由原始成绩 ，令 ，则 ，
即可求解.
【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为 ，
若A等级的原始分最低为 ，又原始成绩 ，
，令 ，则 ，
又 ，所以 ，
即 ，可得 分,
则他的原始分数最低为71.
故答案为：71.
14. 设 是函数 的零点，则 ______．
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【答案】3
【解析】
【分析】根据零点的定义，结合对数与指数互化公式，通过构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即
可.
【详解】由题意， ．
注意到 ，
所以 ，
在 两边同时加上 ，
即 ，
即 ，
设函数 ，显然该函数是实数集上的增函数，
由 ，
即 即 ，
所以 ，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数式与指数式的恒等式，由 得到
，然后通过构造函数，利用函数的单调性进行求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若曲线 在点 处的切线与曲线 只有一个公共点，求a的值．
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【答案】（1）极大值 ，无极小值
（2） 或 或0．
【解析】
【分析】（1）求导得 ，分析单调性可得极值点.
（2）由 和 可得切线方程，把切线方程代入曲线方程，因为切线与曲线只有一个公共
点，可得 有唯一解，对二次项系数分类讨论即可求解.
【小问1详解】
易知 定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ．
在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值且极大值 ，无极小值．
【小问2详解】
由（1）知 ，则 ，又 ．
曲线 在点 处的切线为 ，
把切线方程 代入曲线方程 ，
得 有唯一解，
①当 时，方程为 ，有唯一解 ，符合题意；
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② 且 ，即 ，
解得 或 .
所以 或 或 ．
16. 某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B
两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若
只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、
B、C三位导师审核的概率分别为 ， ， ，且各老师的审核互不影响．
（1）在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率；
（2）从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出概率，再利用条件概率公式
计算得解.
（2）求出 的可能取值，利用二项分布求出求出分布列及期望.
【小问1详解】
设事件A＝{A老师表示通过}，事件B＝{B老师表示通过}，事件C＝{C老师表示通过}，事件D＝{歌手通
过晋级}，事件E＝{歌手经过复审}，
则 ， ， ，
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，因此，
所以在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率为 ．
【小问2详解】
依题意，X的可能取值为0，1，2，3，显然， ，
则 ，
，
所以X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
数学期望为 ．
17. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对于任意的 ，且 ，恒有 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导后，根据导函数的正负情况对实数 进行分类讨论；
（2）不妨设 ，原不等式分离得到 ，进而转化为 ，则
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函数 在 上单调递减，然后利用导数研究函数的单调性求得实数 的取值范围.
【小问1详解】
的定义域为 ，
当 时， 在 恒成立，
当 时，令 ，得 ， 单调递增；令 ，得 ， 单调递减，
综上所述：当 时， 的单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
【小问2详解】
不妨设 ，则不等式等价于 ，
即 ，
令 ，则函数 在 上单调递减，
则 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，所以 ，
因为 在 上单调递减，在 递增，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
18. 某校高一新生共1000人，男女比例为1：1，经统计身高大于170cm的学生共600人，其中女生200人．
该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了 10人的身高（单位：cm）和体重（单位：
kg）作为一个样本，所得样本数据如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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身高 164 165 170 172 173 174 176 177 179 180
体重 57 58 65 65 90 70 75 76 80 84
（1）在对这10个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取1人检测
（ⅰ）若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率；
（ⅱ）求第一次抽取的学生体重大于79kg且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率；
（2）由表中数据的散点图和残差分析，编号为5的数据 残差过大，确定其为离群点，所以应去
掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802，请用样本相关系数说明去
掉离群点 的合理性（相关系数r保留三位小数）．
参考公式及数据：样本相关系数
， ， ， ， ．
【答案】（1）（ⅰ） ；（ⅱ）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）由超几何分布的概率公式计算得出；（ⅱ）记第一次抽取的学生体重大于79kg为事件
A，第二次抽取的学生身高大于175cm为事件B，由乘法公式计算得出 ；
（2）根据题设公式计算去掉离群点后的样本相关系数 ，由 相比 更接近1得出去掉离群点
的合理性.
【小问1详解】
（ⅰ）记抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg为事件M，则 ，得 ．
（ⅱ）记第一次抽取的学生体重大于79kg为事件A，第二次抽取的学生身高大于175cm为事件B．
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因为样本中学生身高大于175cm的有4人，身高大于175cm且体重大于79kg的有2人，
身高小于175cm且体重大于79kg的有1人，
所以 ．
【小问2详解】
设未去离群点的样本相关系数为 ，去掉离群点后的样本相关系数为 ，则 ．
去掉离群点后， ， ，
， ，
，
由
得
因为 ，且 相比 更接近1，所以y与x的线性相关性更强，所以去掉离群点 是合理的．
19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数m，n，函
数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足：
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， ， …， （注： ，
， ， ，…， 为 的导数）已
知 在 处的 阶帕德近似为 ．
（1）求实数a，b的值，并估计 的近似值（保留三位小数）；
（2）求证： ；
（3）求不等式 的解集，其中 ．
【答案】（1） ， ，0.095
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据二阶求导及定义得出近似值；
（2） 构造函数结合函数的单调性证明不等式；
（3）化简不等式分别构造函数，求出导函数结合函数的单调性得出最值进而解出不等式.
【小问1详解】
因为 ，所以 ， ；
因为 ，所以 ，
由题意知， ，
所以 解得 ， ．
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【小问2详解】
由（1）知，即证 ，令 ， 且 ．
即证 时，有
设 ， ，则
所以 在上单调递增，在 上单调递增
当 时， ，
可得 ，即 成立，
当 时， ，
可得 ，即 成立，
综上可得当 时，
所以 成立，即 成立；
【小问3详解】
由题意知，欲使得不等式 成立，
则至少有 ，即 或 ．
首先考虑 ，该不等式等价于 ，
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即 ．
由（2）知 成立，
所以使 成立的x的取值范围为 或
再考虑 ，
该不等式等价于 ，
不妨令 ，函数定义域为 ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
即当 时， ，
则当 时，有
当 时，由 可得 成立；
当 时，由 可得 不成立，
所以使 成立的x的取值范围为 ，
综上可得不等式 的解集为 ．
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【点睛】方法点睛：构造函数，求出导函数应用导函数正负得出函数的单调性证明不等式；
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