高二数学第一次月考卷（参考答案）_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年09月试卷_0924黄金卷：2024-2025学年高二上学期第一次月考9科word解析版含答题卡（北京专用）

2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C C B D C A C C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11． 12． 13． 14． 15．①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分） 【解析】（1）因为 ， ， 所以 ， 又因为 ， 所以 .----------------------------------------4分 （2）因为 ， ， 学科网（北京）股份有限公司所以 .----------------------------------------7分 （3）因为 ， ， 所以 ， 所以 ， 当 时， 取得最小值 ，则 最小值为 .----------------------------------------13分 17．（13分） 【解析】（1）线段 的中点坐标为 ，即 ， 所以 边上中线所在的直线方程为： ， 整理得： ；----------------------------------------6分 （2）直线 的斜率为 ， 所以 边上高线所在直线的斜率为 ， 所以 边上高线所在直线的方程为 ， 整理得： ----------------------------------------13分 18．（14分） 【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又因为 ， 以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系如图所示， 学科网（北京）股份有限公司, , , , , , -------------------------5分 设平面 的法向量为 ， 由 得 ，取 ， ----------------------------------------9分 设直线 与平面 所成角为 ， 所以 .----------------------------------------12分 （2）因为 , 设点 到平面 的距离为 ，所以 .----------------------------------------14分 19．（15分） 【详解】（1）由 ，即 ， 则 ，解得 ， 所以直线过定点 ；------------------------4分 （2）如图所示，结合图像可知， 学科网（北京）股份有限公司当 时，直线斜率不存在，方程为x1，不经过第二象限，成立；------------------------5分 2a3 1 当 时，直线斜率存在，方程为y x ， a1 a1 a1 2a3 0   a1 又直线不经过第二象限，则 ，解得 ；------------------------8分 1  0 a1 a1 综上所述a1； l:a1y2a3x1 a1 （3）已知直线 ，且由题意知 ， 1 y 0 令 ，得 ，得 ，------------------------10分 x0 a1 a1 1 令 ，得 x 0 ，得 ，------------------------11分 y0 32a 则 ， 所以当 时， 取最小值，------------------------14分 此时直线 的方程为 ，即 .------------------------15分 20．（15分） 【解析】（1）因为 底面 ， 平面 ，所以 . 四边形 是直角梯形， ， ， 因为 ，所以 . 学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 . 又因为 ， 平面 ，所以 平面 . 又 平面 ，所以平面 平面 .----------------------------------------6分 （2）解法一： 以点 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 . ----------------------------------------9分 设点 的坐标为 ，因为 ，所以 ， 即 ，所以 . 所以 . 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 取 ，则 ，得 .----------------------------------------12分 又因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 . 设平面 与平面 的夹角为 ， 则 .----------------------------------------14分 学科网（北京）股份有限公司所以，二面角 的余弦值为 .----------------------------------------15分 解法二： 取 的中点 ，连接 ，以点 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系， 则 . ----------------------------------------9分 设点 的坐标为 ，因为 ，所以 ， 即 ，所以 . 所以 . 设平面 的一个法向量为 ，则 . 取 ，则 ，则 .----------------------------------------12分 又因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 . 设平面 与平面 的夹角为 ， 则 .----------------------------------------14分 学科网（北京）股份有限公司所以二面角 的余弦值为 ----------------------------------------15分 21．（15分） 【解析】（1）连结 交 于点 ，连结 ， 因为底面 是矩形，所以 为 中点， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 , 所以 ， 又因为 为 中点，所以 为 中点.----------------------------------------3分 （2）取 的中点 ，连结 ， ， 因为底面 为矩形，所以 ， 因为 ， 为 中点，所以 ， , 所以 ， 又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 ，所以 ，所以 ， ， 两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系 ，则由题意可得 ， ， ， ， ， ， 则 ， ， ，----------------------------------------6分 学科网（北京）股份有限公司由上可知 为平面 的一个法向量， 设平面 的法向量为 ， 所以 ， 即 ， 令 ，则 ， ，所以 ，----------------------------------------8分 所以 ， 如图可知二面角 为钝角， 所以二面角 的余弦值为 ，----------------------------------------10分 （3）假设在棱 上存在点 满足题意， 由（2） ， ， 设 ，则 ， ，-------------------------12分 设 与平面 所成角为 ，则 ， 解得 或 ，因为 ，故 ， 所以存在点 满足题意，此时 .----------------------------------------15分 学科网（北京）股份有限公司