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邵东三中 2025 年上学期高二年级期中考试数学试题卷
时量：150 分钟 总分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．集合 则 A∩B=( -)
A {x|x≤3}{0,1,2} B.{x|0≤x≤2} C.{0,,1,2,3}
D.
2．已知复数 z=-i(1+2i)，则 ( )
A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i
3．已知向量 ，若 ，则 x=( )
A.-2 B. -1 C.1 D.2
4．已知倾斜角为θ的直线 l 与直线 垂直，则 tan2θ的值为( )
A. B. C. D.
5．某单位为了了解办公楼用电量 y（度）与气温 x（℃）之间的关系，随机统计了
四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温（℃） 18 13 10 -1
用电量（度） 24 34 38 64
由表中数据得到线性回归方程 ，当气温为-4℃时，预测用电量为( )
A．68 度 B．52 度 C．12 度 D．28 度
6．从装有 3 个白球、5 个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A 表
示事件“两次取出的球颜色相同”，B 表示事件“两次取出的球中至少有 1 个是红球”，
则 P(B|A)=()
A. B. C. D.
7．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： 的左焦点为 F，过 F
且与 x 轴垂直的直线与 C 交于 A，B 两点，若ΔABO 是正三角形，则 C 的离心率为（ ）
1A. B. C. D.
8．已知 e 是自然对数的底数，函数 ，实数 m,n 满足不等
式 f(3n-2m)+f(2-n)>0，则下列结论正确的是 ( )
C.lnm>lnn D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，
有选错的得 0 分．
9．已知随机变量 X 服从正态分布 ，则下列选项正确的是( )
（附：若 ，则 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9 545.)
A. E(X)=100 B. D(X)=10
C. P(X≥90)≈0.84135 D. P(X≤120)=P(X≥90)
10．在 的展开式中，下列结论正确的是( )
A．展开式的二项式系数和是 128 B．只有第 4 项的二项式系数最大
C. 的系数是-7 D．展开式中的有理项共有 3 项
11．已知圆 ，则下列命题正确的是( )
A．圆心坐标为勺（2,1）
B.直线 l:x+y-1=0 与圆 C 相交所得的弦长为 8
C.圆 C 与圆 有三条公切线.
D.圆 C 上恰有三个点到直线 y=x+b 的距离为 ，则 b=3 或-5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．函数 且 a≠1)的图象恒过的定点为
13．已知抛物线 上一点 P 到焦点的距离为 5，则点 P 到 x 轴的距离为
214．已知函数 f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有 3 个零点，则ω的取值范
围是
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）ΔABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c,，且 bsin2A=asinB
（1）求角 A 的大小：
（2）若 -ABC 的面积为 ，求ΔABC 的周长.
16．（15 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，
且平 面 PADL 平面 ABCD，PDLAD.
（1）证明：BCI 平面 PCD；
（2）若 PA=4.E 为棱 PC 的中点，求直线 PC 与平面 ABE 所成角的正弦值.
17．（15 分）已知函数
（1）若 m=2，求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程；
（2）求函数 f(x)在[1,e]上的单调区间和最小值.
318．（17 分）已知椭圆 C 的离心率 ，且点(4,1)在椭
圆 C 上.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若经过定点(0,-1)的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，记椭圆的上顶点为 M，
当直线 l 的斜率变化时，求ΔMPQ 面积的最大值.
19．（17 分）数列 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列
称为 的一阶差数列，记为 ，依此类推， 的一阶差数列称为
的二阶差数列，记为 ，...如果一个数列 的 p 阶差数列 是等比
数列，则称数列 为 p 阶等比数列
（1）已知数列 满足
（i）求 ·
（ii）证明： 是一阶等比数列；
（2）已知数列 为二阶等比数列， 的前 5 项分别为 1， ，求
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