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2025 年秋期长寿中学高二年级半期考试
数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.
1. 若直线 的一个方向向量为 ，则它的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线的方向向量可知直线的斜率，进而求出直线的倾斜角．
【详解】由直线的方向向量可知直线的斜率 ，
设直线的倾斜角为 ，且 ，
可知 ，可得 ，
即 ．
故选：D．
2. 已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，点 为 右支上一点．若 恰好
被 轴平分，且 ，则 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得 垂直于 轴，在 中，由 ，且 ，即可
求出 ， ，再根据 ，从而求出双曲线的渐近线方程；
【详解】解：由 恰好被 轴平分，得 垂直于 轴，
在 中， ， ，
第 1页/共 19页又 ，得到 ，
，即 ，
得 ，故渐近线方程为 ．
故选：B.
【点睛】本题考查了双曲线的方程和性质、渐近线方程，考查数学运算能力，属于中档题．
3. 已知两圆分别为圆 和圆 ，这两圆的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 外切 C. 内含 D. 相交
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出两圆圆心距，进而判断两圆位置关系.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ；
将圆 化为标准方程 ，得圆心 ，半径 ，
则 ，所以圆 与圆 相交.
故选：D
4. 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心 为一个焦点且离心率为 的椭圆，地球可看作
半径为 的球体，近地点离地面的距离为 ，则远地点离地面的距离 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求
得答案.
【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，
第 2页/共 19页则椭圆方程为 ，
则 ，且 ，解得 ， ，
故该卫星远地点离地面的距离为 ，
又 ，所以 .
故选：A.
5. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点 与点 重合，若此时 轴与直线
也正好重合，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可.
【详解】线段 的中点为 ，即 ， ，
所以图纸折痕所在直线方程为： ，
令 ，得 ，
因为 轴与直线 正好重合，
所以点 在直线 上，所以有 ，
第 3页/共 19页直线 与直线 以及 轴相交于点 ，
得 ，即 ，代入 ，得 ，
，
故选：C
6. 已知直线 （其中 为常数），圆 ，则直线 被圆
截得的弦长最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定直线 经过定点 已经圆的圆心与半径，根据圆的弦长公式与直线与圆相交的性质，算出直线
被圆 截得的最短弦长，即可得得答案．
【详解】直线 ，整理可得 ，
令 ，解得 ，故直线 过定点 ，
又圆 ，则圆心 ，半径圆 ，
根据圆的性质，当直线 与 垂直时，直线 被圆 截得的弦长最短，
结合 ，可得直线被圆截得的最短弦长等于 .
故选：C.
7. 若圆 与圆 交于 M，N 两点，则四边形 的面积为（ ）．
A. 5 B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】由两个圆的方程求出 ，再求出 ，利用 可得答案.
【详解】 ， ， ，
第 4页/共 19页由 ，解得 ，或 ，
则 ，
因为 ，所以四边形 的面积为 .
故选：A.
8. 在长方体 中， ， ，点 E，F 分别是线段 上的动点（不
包括端点），且线段 EF 始终平行于平面 ，则四面体 的体积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用线面平行的性质及线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式列式，再利用基本不等式求出最
大值.
【详解】在长方体 中，连接 ，由平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，得 ，连接 ，过 作 交 于 ，
由 平面 ，得 平面 ，设 ，则 ，
由 ，得 ，四面体 的体积
，当且仅当 时取等号，
所以四面体 的体积的最大值是 。
故选：B
第 5页/共 19页二、多选题：本题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分.
9. 已知空间向量 ， ，下列结论正确的是（ ）
A.
B. ， 夹角的余弦值为
C. 若直线 l 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ，则实数
D. 在 上 投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可.
【详解】对于 A， ， ，故 A 错误；
对 于 B， 因 为 ， ， 所 以 ，
，
，设 与 的夹角为 ，则 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，所以 ，则 ，解得 ，故 C 正确；
对于 D， 在 上的投影向量为 ，D 正确．
故选:BCD．
第 6页/共 19页10. 已知椭圆 的左､右两个焦点分别为 为椭圆上一动点， ，则下列说法正
确的是（ ）
A. 存在点 使
B. 的周长为 16
C. 的最大面积为 12
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，由 可得点 的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点 的轨迹与椭圆 没
有交点，由此得以判断；对于 B，利用椭圆的定义可得 的周长，由此判断即可；对于 C，根据椭圆
的几何性质，当 为椭圆短轴顶点时，可得 的面积最大，从而得以判断；对于 D，利用椭圆的定义，
结合三角形边长的不等式可得 ，从而得以判断.
【详解】由 ，得 .
对于 A：假设存在点 使得 ，则 ，
所以点 的轨迹是以原点 为圆心， 为直径的圆 ，则 ，
因为椭圆 上的任一点到原点 的最小距离是短轴顶点与原点 的距离，即 ，
由 可知，圆 与椭圆 有交点，
所以假设成立，即存在点 使得 ，故 A 正确；
对于 B： 的周长为 ，故 B 错误；
对于 C：当 为椭圆 短轴顶点时，点 到 的距离最大，则 的面积最大，
所以 ，故 C 正确；
对于 D： ，又 ，所以 ，
第 7页/共 19页所以 ，故 D 正确.
故选：ACD.
11. 如图，正方体 的棱长为 是侧面 上的一个动点（含边界），点 在棱
上，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 沿正方体的表面从点 到点 的最短距离为
B. 保持 与 垂直时，点 的运动轨迹长度为
C. 若保持 ，则点 运动轨迹长度
D. 平面 截正方体 所得截面为等腰梯形
【答案】BCD
【解析】
【分析】对 A，把正方形 、正方形 展开在同一平面内计算判断 A；对 B，过 作与 垂
直的正方体的截面计算判断 B；对 C，求出点 的轨迹计算判断 C；对 D，作出平面 截正方体所得
截面计算判断 D 作答.
【详解】对于 A，在棱长为 4 的正方体 中，将正方形 、正方形 展开置于
同一平面，如图，
第 8页/共 19页连接 ，则 ，A 错误；
对于 B，在棱 上分别取点 ，使 ，连接 ，
如图，
由 ，得平行四边形 ，即 ，由 ，得 ，同理
，
于是 ，而 平面 ， 平面 ， ，又 ，
， 平面 ，则 平面 ， 平面 ，有 ，
同理 ，从而 ，又 平面 ，
因此 平面 ，而平面 平面 ，则 的运动轨迹为线段 ，
此时 与 始终垂直， ，B 正确；
对于 C，在棱 上取点 ，使 ，连接 ，则 ，如图，
第 9页/共 19页而 平面 ，则有 平面 ， 平面 ，则 ，
而 ，于是 ，点 在以 为圆心，2 为半径的圆弧上，
此时圆心角为 ，点 的运动轨迹长度 ，C 正确；
对于 D，在棱 上取点 ，使 ，连接 ，如图，
由 ，得 ，正方体 的对角面 为矩形，
则 ，于是平面 截正方体所得截面为梯形 .
又 ， ，从而 为等腰梯形.故 D 正确.
故选：BCD
三、填空题：本题 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 过点 作圆 的切线 ，则直线 的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用 解方程.
【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
则圆心 到切线的距离 ，得 ，
切线方程为 ；
当直线斜率不存在时，直线方程为 ，则圆心 到切线的距离 ，故直线 不是切线.
故直线 的方程为 .
故答案为： .
第 10页/共 19页13. 已知直线 l：x+ay+6=0 和 l：（a-2）x+3y+2a=0，若 l⊥l，则 a=_____．
1 2 1 2
【答案】
【解析】
【分析】根据 l⊥l 求解.
1 2
【详解】因为直线 l：x+ay+6=0 和 l：（a-2）x+3y+2a=0，且 l⊥l，
1 2 1 2
所以 ，
解得 ，
故答案为：
14. 已知双曲线 的右焦点为 ，左、右顶点分别为 ， ， 轴于点
，且 ．当 最大时，点 恰好在双曲线 上，则双曲线 的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，列出关于 ， ， 的齐次式，从而求双曲线的离心率.
【详解】如图：
因为 轴，且 在双曲线上，所以 ，
又 ，所以 为 中点.
因为 最大，所以经过 ， 两点的圆与 相切于 ，此时 点坐标为 ，
圆心 ，
第 11页/共 19页由
.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 和 的交点为 P．
（1）若直线 l 经过点 P 且与直线 平行，求直线 l 的方程；
（2）若直线 m 经过点 P 且与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点， 为线段 的中点，求△OAB 的面积．（其
中 O 为坐标原点）．
【答案】（1）4x－3y－3＝0
（2）30
【解析】
【分析】（1）联立直线方程，求出交点坐标，根据直线平行，明确斜率，由点斜式方程可得答案；
（2）由点斜式方程，设出直线方程，求得 两点的坐标，根据中点坐标公式，求得斜率，根据三角形面
积公式，可得答案.
【小问 1 详解】
由 ，求得 ，可得直线 和 的交点为 P（－3，－5）．
由于直线 的斜率为 ，故过点 P 且与直线 平行的直线 l 的方程为 ，
即 4x－3y－3＝0．
【小问 2 详解】
由题知：设直线 m 的斜率为 k ，则直线 m 的方程为 ，
故 ， ，且 ，且 ，求得 ，
故 、 ．
故△OAB 的面积为 ．
第 12页/共 19页16. 如图，已知三棱锥 中， ， 和 都是边长为 2 的正三角形，点 E，F
分别是 AB，CD 的中点．
（1）记 用 表示 ；
（2）求异面直线 AF 和 CE 所成角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则进行求解即可；
（2）根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问 1 详解】
因为 F 是 CD 的中点，
所以 ，
因为点 E 是 AB 的中点．
所以 ；
【小问 2 详解】
因为 和 都是边长为 2 的正三角形
，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
第 13页/共 19页所以 ，
又 ，
，
所以设所求角为θ，则 ．
17. 已知线段 的端点 B 的坐标是 ，端点 A 在圆 上运动，M 是线段 的中点.
（1）求点 M 的轨迹方程；
（2）记（1）中所求轨迹为曲线 C，过定点 的直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，并且被曲线 截得的
弦长为 ，求直线 l 的方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）设 ，由 M 是线段 的中点，可得 ，代入圆的方程
化简可得结果；
（2）由弦长为 ，半径为 2，可得圆心到直线 的距离 ，再分斜率不存在和存在两种情况讨论可得
结果.
【小问 1 详解】
设点 ，由点 的坐标为 ，且 是线段 的中点，
则 ，可得 ，即 ，
因为点 在圆 上运动，所以点 坐标满足圆的方程 ，
第 14页/共 19页即 ，整理得 ，
所以点 的轨迹方程为 .
【小问 2 详解】
由（1），曲线 C 的方程为 ，圆心 ，半径 ，
由弦长为 ，半径为 2，则圆心到直线 的距离 ，
①当直线 的斜率不存在时，即 ： ，符合题意；
②当直线 的斜率存在时，设直线 ，即 ，
则圆心 到直线 距离为 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
综上，直线 的方程为 或 .
18. 如图所示，四棱锥 的底面 是平行四边形， ， ，
分别是棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
第 15页/共 19页（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，证明四边形 为平行四边形，从而得到 ，再由线面平行的判
定定理证明即可；
（2）证明 平面 ，从而求出 ，再由 ， 得出点 到平面
的距离.
【详解】（1）证明：取 中点 ，连接 ，由 为 中点，则 且 .
由已知有 ，又由于 为 中点，从而 ，故四边形 为平
行四边形，所以 .
又 平面 ，而 平面 ，则 平面
（2） .
，同理，
又 平面
平面 .
连接 为 中点，
又 .
设点 到平面 的距离为
由 ，解得
∴点 到平面 的距离为 .
第 16页/共 19页【点睛】
关键点睛：在求点到平面的距离时，关键是利用等体积法建立等量关系，从而得出点到平面的距离.
19. 已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点，且焦距为 ，动弦 平行于 轴，
且 .直线 ，设直线 与椭圆 交于 、 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若直线 、 、 的斜率成等比数列（其中 为坐标原点），求△ 的面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知可得出 的值，利用椭圆的定义可求出 的值，进而可得出 的值，由此可得出椭圆
的方程；
（2）将直线 方程与椭圆方程联立，由 结合 可得出关于 的不等式，即可解得实数 的取
值范围；
（3）列出韦达定理，根据直线 、 、 的斜率成等比数列，可求出 的值，然后利用三角形的面
积公式结合基本不等式可求得 面积的取值范围.
【小问 1 详解】
第 17页/共 19页解：因为焦距为 2，所以，由椭圆的对称性得 .
又因为 ，所以 ，
则 ，所以， ， ，
所以椭圆的方程为 .
【小问 2 详解】
解：联立 得 ，①
所以 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，解得 或 .
所以实数 取值范围为 .
【小问 3 详解】
解：设 、 ，由①式得 ， ，
设直线 、 的斜率分别为 、 ，
因为直线 、 、 的斜率成等比数列，
所以 ，即 ，
整理可得 ，即 ，
第 18页/共 19页因为
，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
此时， ，直线 或 的斜率不存在，等号取不到，
所以 的面积的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
第 19页/共 19页
