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微专题 38 变力的功
1．计算变力的功常用微元法、图像法、平均值法(如弹簧弹力的功)、动能定理法。2.若功率
恒定，常用W＝Pt求解。
1．一小球用细线悬挂在天花板上，处于静止状态。第一次如图甲所示，用一个水平向右的
拉力F 作用在小球上。使小球缓慢移动至细线与竖直方向的夹角为θ的位置；第二次如图
1
乙所示，用一个始终与细线垂直且在同一竖直面内的拉力F ，也使小球缓慢移动至细线与
2
竖直方向的夹角为θ的位置，则下列判断正确的是( )
A．两个过程中，拉力F、F 都不断增大
1 2
B．两个过程中，细线的张力都不断增大
C．第一次拉力F 做的功比第二次拉力F 做的功多
1 2
D．细线与竖直方向的夹角为θ时，F 小于F
1 2
答案 A
解析 根据共点力平衡，题图甲中有F＝mgtan θ
1
细线的拉力F ＝，题图乙中有F＝mgsin θ，细线的拉力F ＝mgcos θ
T1 2 T2
在小球缓慢运动的过程中，随着θ增大，F 、F 都不断增大，题图甲中细线的张力不断增大，
1 2
而题图乙中细线的张力不断减小，选项A正确，B错误；
根据动能定理有W ＋W ＝0，两次克服重力做的功相同，因此拉力F 、F 做的功相等，选
F G 1 2
项C错误；
由F ＝mgtan θ和F ＝mgsin θ可知，细线与竖直方向的夹角为θ时，F 大于F ，选项D错
1 2 1 2
误。
2. 质量为m、长为L的匀质木板以速度v 向右运动，水平地面O点左侧是光滑的，右侧是
0
粗糙的，且与木板的动摩擦因数为μ，当木板全部进入时刚好静止，则木板的初速度 v 是
0
(重力加速度为g)( )
A. B．2 C. D．3
答案 A
解析 摩擦力与位移为线性关系，可以用平均摩擦力来求摩擦力做功，根据动能定理得－
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料μmgL＝0－mv2解得v＝，故选A。
0 0
3. (2023·贵州省模拟)在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴
对磨的平均拉力为600 N，拉力沿磨盘圆周切线方向，磨盘的转动半径r为0.5 m，转动一周
为5 s，则( )
A．驴转动一周拉力所做的功为0
B．驴转动一周拉力所做的功为650π J
C．驴转动一周拉力的平均功率为120π W
D．磨盘边缘的线速度大小为0.1π m/s
答案 C
解析 驴对磨的拉力沿圆周切线方向，拉力作用点的速度方向也在圆周切线方向，故可认为
驴拉磨过程中拉力方向始终与速度方向相同，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等
于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，磨转动一周，弧长 L＝2πr＝π m，所以
拉力所做的功W＝FL＝600×π J＝600π J，故A、B错误；根据功率的定义得P＝＝ W＝
120π W，故C正确；线速度大小为v＝＝ m/s＝0.2π m/s，故D错误。
4. 如图所示，密度为ρ、棱长为a的正立方体木块漂浮在水面上(h为木块在水面上方的高
度)。现用竖直向下的力F将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，则此过程中木块克服
浮力做功为(已知水的密度为ρ、重力加速度为g)( )
0
A．ρa3gh B.a3gh(ρ＋ρ)
0
C．ρa3gh(a－h) D.a3gh(a－h)(ρ＋ρ)
0 0
答案 B
解析 木块漂浮在水面上时有 F ＝G＝ρga3，木块上表面刚浸没时受到的浮力为 F ′＝
浮 浮
ρga3，浮力做的功为W＝h＝ga3h(ρ＋ρ)，故选B。
0 0
5. (多选)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮
O。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最
大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重
力加速度为g(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。则( )
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料A．拉力F大小为mg
B．拉力F大小为mg
C．滑块由A到C过程轻绳对滑块做功为mgd
D．滑块由A到C过程轻绳对滑块做功为mgd
答案 AC
解析 滑块到C点时速度最大，其所受合力为零，则有Fcos 53°－mg＝0，解得F＝mg，故
A正确，B错误；拉力F做的功等于轻绳对滑块做的功，滑轮在A点时，OA间绳长L ＝，
1
滑轮在C点时，OC间绳长L ＝，滑轮右侧绳子增加的长度ΔL＝L －L ＝－＝，拉力做功W
2 1 2
＝FΔL＝mgd，故C正确，D错误。
6. 如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端与圆心 O等高，质量为m
的小滑块(可视为质点)自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的压力大小
为2mg，重力加速度大小为g。小滑块自P点滑到Q点的过程中，克服摩擦力所做的功为(
)
A.mgR B.mgR
C.mgR D.mgR
答案 C
解析 在Q点小滑块在竖直方向受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力提
供向心力，所以有F －mg＝m，F ＝2mg，联立解得v＝，下滑过程中，根据动能定理可得
N N
mgR－W ＝mv2，解得W ＝mgR，所以克服摩擦力做的功为mgR，选项C正确。
克f 克f
7．(多选)如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg
的物块(可看成质点)用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端 B、F方向与圆
弧AB在同一竖直平面内且始终与物块在该点的切线成 37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角
为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，π＝3.14。在这一过程中，下列说法正确
的是( )
A．重力做功为240 J
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料B．支持力做功为0
C．拉力F做功为376.8 J
D．摩擦力做功为136.8 J
答案 BC
解析 物块重力做的功W ＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J，故A错误；支持力始终与运动方
G
向垂直，支持力不做功，故B正确；将圆弧 分成很多小段l 、l…l ，拉力在每一小段上做
1 2 n
的功为W 、W…W ，拉力F大小不变、方向始终与物块在该点的切线成 37°角，则W ＝
1 2 n 1
Flcos 37°、W ＝Flcos 37°、…、W ＝Flcos 37°，W ＝W ＋W ＋…＋W ＝Fcos 37°(l ＋l
1 2 2 n n F 1 2 n 1 2
＋…＋l)＝Fcos 37°××2πR＝376.8 J，故C正确；因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能
n
不变，由动能定理得W ＋W ＋W＝0－0，解得W＝－W －W ＝－376.8 J＋240 J＝－136.8
F G f f F G
J，故D错误。
8．(多选)如图甲，辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井绳、水斗等部分构成。
如图乙为提水设施工作原理简化图，某次需从井中汲取m＝2 kg的水，辘轳绕绳轮轴半径为
r＝0.1 m，水斗的质量为0.5 kg，井足够深且井绳的质量忽略不计。t＝0时刻，轮轴由静止
开始绕中心轴转动，其角速度随时间变化规律如图丙所示，g取10 m/s2，则( )
A．水斗速度随时间变化规律为v＝0.4t(m/s)
B．井绳拉力瞬时功率随时间变化规律为P＝10t(W)
C．0～10 s内水斗上升的高度为4 m
D．0～10 s内井绳拉力所做的功为520 J
答案 AD
解析 根据图像可知，水斗速度v＝ωr＝×0.1t(m/s)＝0.4t(m/s)，A正确；
井绳拉力瞬时功率P＝F v＝F ωr
T T
又由于F －(m＋m)g＝(m＋m)a，根据上述有a＝0.4 m/s2，则有P＝10.4t(W)，B错误；
T 0 0
根据图像可知，0～10 s内水斗上升的高度为h＝t＝ m＝20 m，C错误；
根据上述P＝10.4t(W)
0～10 s内井绳拉力所做的功为W＝·t＝ J＝520 J，D正确。
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料9. (多选)(2024·四川成都市七中阶段练习)如图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端固定在地面
上，质量为m的物体A与轻弹簧上端拴接，质量为2m的物体B静止在A上，竖直向下的
力F＝3mg作用在B上，系统处于静止状态，现在减小F使A、B以的加速度一起匀加速上
升，直到F＝0的过程，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。则( )
A．F＝mg时，物体A和物体B之间压力为
B．物体A、B开始运动后，F随位移均匀的减小
C．A、B从静止到F＝0的过程合外力对A、B系统做功为
D．A、B从静止到F＝0的过程弹簧弹力对A、B系统做功为
答案 BC
关注公众号《黑洞视角》获取更多资料解析 A、B一起匀加速上升，对B分析，由牛顿第二定律得F －F－2mg＝2m·g，
NAB
当F＝mg时，可得F ＝mg，故A错误；
NAB
系统静止时，对A、B整体分析有kx＝F＋3mg＝6mg
0
A、B以的加速度一起匀加速上升位移x时，有k(x－x)－F－3mg＝3m·g，
0
可得F＝－kx＋2mg
所以物体A、B开始运动后，F随位移均匀减小，故B正确；
A、B从静止到F＝0过程，发生的位移为x＝
1
则合外力对A、B系统做的功为W＝3m·gx＝，故C正确；
1
当F＝0时，弹簧弹力大小为F ＝k(x－x)＝4mg
弹 0 1
A、B从静止到F＝0的过程弹簧弹力对A、B系统做功为W ＝(6mg＋4mg)x＝，故D错误。
弹 1
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