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高三数学参考答案
一、选择题：每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A C D C D B
二、选择题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）。
题号 9 10 11 12
答案 AC ABD BD ACD
三、填空题：每小题5分，共20分。
题号 13 14 15 16
答案
四、解答题：
17.（10分）
（1）因为 ，
解：
所以 ，-------------------------------------------------------------------2分
可得 ，--------------------------------------------------------------------------------3分
因为 ，所以 . ------------------------------------------------------------------5分
（2）由余弦定理可知 ，
，----------------------------------------------------------------------------6分
即
因为 ，所以 ，--------------------------------------------------7分
所以 ，可得 ，----------------------------------9分
当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为 . ---------------------10分
18.（12分）
法一：（1）证明：在线段 上取点 使得 ，
连接 ， ，
由 ， ，可得 ，
所以 ，所以 .----------------------------------------------------------2分
又 ， ，
高三数学答案 第1页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司所以四边形 为平行四边形，---------------------------------------------------------3分
所以 .
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，----------------------------------------------------------------5分
因为 平面 ，
所以 平面 .--------------------------------------------------------------------------6分
(或在 上取点 使得 ，连接 ， ，证明 亦可.）
（2）因为四边形 为矩形，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又 ，
所以 ， ， 两两垂直. -------------------------------------------------------------7分
以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，------------------------8分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可得 ，
令 ，则 ； -----------------------------------------------------9分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可得 ，
令 ，则 .-----------------------------------------------------------10分
因为 ，---------------------------------------------------------11分
所以平面 与平面 所成角的正弦值为 . -----------------------------------12分
法二：（1）证明：因为四边形 为矩形，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又 ，
高三数学答案 第2页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ， 两两垂直.---------------------------------------------------------------1分
以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，---------------------------------------------------------2分
则 ，设 ，可得 ，-----------------------------3分
又平面 的一个法向量为 ，---------------------------------------------4分
可得 ，又 平面 ，
所以 平面 .--------------------------------------------------------------------------6分
（2）若 ，则 ，
又 ， ，
所以 ， ， ，------------------------8分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可得 ，
令 ，则 ； -----------------------------------------------------9分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可得 ，
令 ，则 .-----------------------------------------------------------10分
因为 ，---------------------------------------------------------11分
所以平面 与平面 所成角的正弦值为 . -----------------------------------12分
19.（12分）
解：（1）设等差数列 的公差为 ，
当 时， ，--------------------------------------------------------------1分
当 时， ，
得， ，
所以 ，---------------------------------------------------3分
因为 ，所以 ， ，
高三数学答案 第3页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司因为 为等差数列，
所以 ，---------------------------------------------------------------------------------------4分
所以 ，
化简得 ，所以 ，-------------------------------------------------------5分
所以 .----------------------------------------------------------------------------------6分
（2）当 时， ，
因为 ，可得 ，
因为 ，可得 ，--------------------------------------------------------------------7分
由（1）可知，当 时， ，所以 ，-----------------8分
，
当 时也符合上式，
所以 .------------------------------------------------------------------------------9分
法一：因为 ，-----------------------------------------10分
所以 .---------------------12分
法二：因为 ，-----------------------------------10分
所以 .--------------------------------------------12分
20.（12分）
解：（1） ， .---------------------------------4分
（2）记 表示事件“经过 次传递后球传到乙手中”，
若 发生，则 一定不发生，
所以 ，即 ，-----------------------------6分
即 ，又 ，
高三数学答案 第4页（共6页）
学科网（北京）股份有限公司所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，--------------------------7分
所以 ，即 .---------------------------8分
（3）由（2）可知 ，
则 .----------------------12分
21.（12分）
解：（1）由 ，可得 ，
所以 ，---------------------------------------------------------------------------1分
即 ，因为 ，
所以 ，解得 ， ，----------------------------------------------------3分
所以 的标准方程为 .------------------------------------------------------------4分
（2）由题意知，直线 斜率不为 ，
，
设
由 整理得 ，----------------------------------5分
所以 ----------------------------------------------------------------6分
因为 ，所以 ，即 ，----------------------------------7分
则
----------------------------------------9分
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学科网（北京）股份有限公司，-------------------------------------------------------11分
所以 ，又因为有公共点 ，
所以 ， ， 三点共线. -----------------------------------------------------------------12分
22.（12分）
解：（1）当 时， ，------1分
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，------------------------------3分
所以 的单调递增区间为 ， ；
单调递减区间为 ， .-----------------------------------------------------------5分
（2）设 ，
当 时，由于 ，所以 与 正负相反，又 ，
所以 是 的极大值点当且仅当 是 的极小值点，-------------------6分
，可知 ，-------------------------------------7分
令 ， ，
①当 时， ，则当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递增，因此 不是 的极小值点；----------------8分
②当 时， ，当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递增，
因此 不是 的极小值点；------------------------------------------------------------9分
③当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 是 的极小值点，满足题意；-----------------------------------------------10分
④当 时， ，记 ，可知 ，
则当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递减，因此 不是 的极小值点.--------11分
综上可知， . -----------------------------------------------------------------------------12分
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