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2021 年辽宁省沈阳市中考数学真题及答案
一、选择题（本题有10小题，每小题2分，共20分）
1. 9的相反数是
A. B. C. 9 D. -9
2. 如图是由6个相同小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图
A. B. C. D.
3. 据报道，截至2021年5月24日16时，沈阳市新冠疫苗累计接种3270000剂次，将数据
3270000用科学计数法表示为
A. 32.7×105 B. 0.327×107 C. 3.27×105 D. 3.27×106
4. 下列计算正确的是
A. B. C. D.
5. 如图，直线 ， 被直线 所截，若，∠1=70°，则∠2的度数是
A. 70° B. 100° C. 110° D.
120°
6. 信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/min），数
据整理如下：15，17，23，15，17，17，19，21，21，18，对于这组数据，下列说法正确的是
A. 众数是17 B. 众数是15 C. 中位数是17 D. 中位数是
18
7. 如图，△ABC与△ABC 位似，位似中心是点O，若OA:OA=1:2，
1 1 1 1
则△ABC与△ABC 的周长比是
1 1 1
A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D.
8. 一次函数 的图象不经过
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 下列说法正确的是
A. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数
B. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件
C. 了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式D. 若平均数相同的甲，乙两组数据 ， ，则甲组数据更稳定
10. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB= ，∠ACB=60°，连结OA，
OB，则 的长是
A. B. C. D.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式： =________
12. 不等式组 的解集是________
13. 化简： =________
14. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数
图象上的一点，过A分别作AM⊥ 轴于点M，AN⊥ 轴于点N，若四边形AMON
的面积为12，则 的值是________
15. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件。经调
查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销量相应减少4件，那么将销售价定为
________元时，才能使每天所获销售利润最大
16. 如图，△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，四边形ABEF是正方形，点D是
直线BC上一点，且CD=1，P是线段DE上一点，且PD= DE，过点P
作直线 与BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH的长是________
三、解答题（共82分）
17.（本题6分）
计算：
18.（本题8分）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，BM= BC，DN= DC，连结AM，AN，延长
AN交线段BC的延长线于点E。
（1）求证：△ABM≌△AND；
（2）若AD=4，则ME的长是________。
19.（本题8分）
某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号（分别用A、B、C依次表示这
三种型号），小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免
洗洗手液被选中的可能性均相同。
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是________；
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一型号免洗洗手液的概率。
20.（本题8分）
学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行。在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一
次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调
查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了________名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是________度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中有多少学生的成绩评定为C等级。
21.（本题8分）
某校团体操表演队有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，
求增加了多少行或多少列？
22.（本题10分）
如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点
E不与点O，A重合），连结DE交⊙O于点C，连结CA，CB。若CA=CD，
∠ABC=∠D，
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB=13，CA=CD=5，则AD的长是________。23.（本题10分）
如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线 （ ≠0）经
过点C（3，6），与 轴交于点A，与 轴交于点B。线段CD平行于 轴，
交直线 于点D，连结OC，AD。
（1）填空： =________，点A的坐标是（____，____）；
（2）求证：四边形OADC是平行四边形；
（3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；
动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点
O为止。设两个点的运动时间均为 秒，
①当 时，△CPQ的面积是________；
②当点P，Q运动至四边形CPAQ为矩形时，请直接写出此时 的值。
24.（本题12分）
在△ABC中，AB=AC，△CDE中，CE=CD（CE≥CA），BC=CD，∠D= ，
∠ACB+∠ECD=180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB=PD。
（1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD=________，∠ABP=________（用含 的代数式
表示）；
（2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；
（3）若∠ABC=60°，BC= ，将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，
当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD的中点，请直接写出GM的长。25.（本题12分）
如图，面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线 与 轴交于A，B两点（点A在
点B的左侧），点B坐标是（3，0），抛物线与 轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连结
PC。
（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出顶点P的坐标；
（2）直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点，
①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在 轴上方时，过点Q作直线 垂直于AQ，直线 交
直线 于点F，点G在直线 上，且AG=AQ时，请直接写出GF的长。参考解答
一、选择题（本题有10小题，每小题2分，共20分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B D B C A A C C D
二、填空题
11 12 13 14 15 16
≤ 1 -12 11 或
提示：16. 如图，KM= = ，
AN=AC-NC= = ， ，
GN= ，HN= = ，
GH=GN±HN= 。
点D有可能在BC边上，也可能在BC的延长线上。
三、解答题
17.
= =
18. 解：（1）菱形ABCD中，∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，
而BM= BC，DN= DC，∴BM=DN，
△ABM和△ADN中，∵AB=AD，∠B=∠D，BM=DN，
∴△ABM≌△ADN（SAS）；
（2）当AD=4时，BM=DN= DC= ×4=3，则MC=NC=1，
∵AD∥CE，∴△ECN∽△ADN，∴ ，∴EC= AD= ，
∴ME=MC+EC= 。
学科网（北京）股份有限公司19.（1） ；
（2）如下表：
小辰 A A A B B B C C C
小安 A B C A B C A B C
同一型号 √ √ √
由表知：他们选择同一型号的概率为 。
20.（1）由两张图知：A有32人，占40%，所以样本容量是80人；
（2）求出B的人数是16人，补全条形图如图；
（3）D等占10%，扇形圆心角是36°；
（4）在被抽到的80人中，C等级24人，占30%，
以此估计全校2000人中评为C的可能有
2000×30%=600，即可能有600人。
21. 解：设增加了 行，则共有（ ）行，（ ）列，
根据题意： ， ，
∵ ，∴ ，
答：增加了3列。
22. 提示（1）AB是直径，∠ACB=90°，∠B+∠2=90°；
DC=AC，那么∠D=∠1，而∠D=∠B，
所以∠1+∠2=90°，所以AD是切线；
（2）勾股定理求出BC=12，
作CG⊥AD，△ACG与△BAC相似，对应边成比例，
则AG= ，则AD=2AG= 。
23.（1）直线 过点C（3，6），那么 ，∴ ，
直线 与 轴的交点为A（5，0）；
学科网（北京）股份有限公司（2）∵CD∥OA，而点C纵坐标为6，∴设D（ ，6），
∵直线 过点D（ ，6），∴ ，
则D（8，6），CD=5，
而A（5，0），OA=5，∴CD=OA，
∵CD∥OA，且CD=OA，∴四边形OADC是平行四边形；
（3）点C纵坐标为6，则CD与OA之间的距离为 ，
S =OA· =5×6=30，则S = S =15，
□OADC △COD □OADC
分别作点C，D到 轴的垂线段CE和DF，则E（3，0），F（8，0），CE=DF=6，
AE=2，OF=8，在Rt△ACE和Rt△ODF中，分别求得AC= ，OD=10；
①当 时，OP=DQ=1，PQ=OD-OP-DQ=10-1-1=8，
S = = ；
△CPQ
②记OD和AC的交点为G，则OD和AC互相平分于点G，
而OP=DQ，∴GP=GQ，∴四边形CPAQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行
四边形），
当□CPAQ是矩形时，只要PQ=AC= ，
∵OP=DQ= （0≤ ≤10），∴PQ=|OP+DQ-OD|= ，
，也就是 ，或
∴ ， （均满足0≤ ≤10）。
24.（1）点D在线段BC延长线上，则∠ECD=180°-2 ，
∠ABC=∠ACB=∠E+∠D=2∠D= ，∠PBD=∠D= ，
则当点A和E在BD同侧时，∠ABP= ，
则当点A和E在BD异侧时，∠ABP=3 ；
（2）如图2，∵CE=CD，∴∠E=∠1= ，
△DEC中，∠ECD与∠E+∠1互补，即∠ECD+2
=180°，
另一方面，∠ACB+∠ECD=180°，∴∠ACB=2 ，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2 ；
连结BD，∵CB=CD，PB=PD，
学科网（北京）股份有限公司∴点C，P都在线段BD的垂直平分线上，
∴直线PC就是线段BD的中垂线，
∴点B，D关于直线PC对称，
又∵P和C都在直线PC上，∴BC和DC，BP和DP，它们关于直线PC对称，
则△PBC与△PDC关于直线PC对称，∴∠2=∠1= ，
∴∠3=∠ABC-∠2=2 - = ，则∠3=∠2，∴BP平分∠ABC；
（3）∠ABC=60°时，△ABC为等边三角形，
BP⊥DE，PB=PD，△BPD是等腰直角三角形，
由（2），直线PC是线段BD的中垂线，则点G是BD
的中点，且PG平分∠BPD，∴∠BPC=45°，
记BP与AC的交点为H，
由（2），BP平分∠ABC，∴BP⊥AC，
则△PCH是等腰直角三角形，PH=CH= AC= ，
BH= BC= ， BP=BH+PH= + = ，
∴GM= BP=
25. （1）∵抛物线与 轴交于点C（0，3），∴ ，
而点B（3，0）在抛物线 上，∴ ，
∴所求抛物线为 ，或者 ，∴P（1，4）；
（2）求得直线BC： ，其与抛物线对称轴 的交点为D（1，2），
则PD=2，点C到PD的距离为1，∴S =1，
△PCD
记点Q（ ， ），则点Q到 轴的距离为 ，
求得A（-1，0），则AB=4， ∵S =2 S =2，也就是 ，
△QAB △PCD
∴ =1， ∴ ，而Q（ ， ）在直线 上，
∴Q（2，1），Q（4，-1）①；
1 2
②如图，点Q在 轴上方时，QH=1，AH=3，
则AQ= ；
AQ∥GF，四边形AKFQ是矩形，
学科网（北京）股份有限公司GF=KF±GK= ±GK，
M（0， ），N（0， ），MN= ；
Rt△MNR∽Rt△AQH， ，
，AK=MR= ，
Rt△AGK中，AG=AQ= ，GK2=AQ2-AK2=10- =
GK= ，则GF= ，
∴GF的长是 ， 。
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