文档内容
2021 年柳州市初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试
数学
（考试时间：120分钟 满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符
合要求的）
1. 在实数3， ，0， 中，最大的数为（ ）
A. 3 B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，两
个正数比较大小，绝对值大数就大，据此判断即可．
【详解】根据有理数的比较大小方法，可得：
，
因此最大的数是：3,
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的比较大小，解答此题的关键在于明确：正数＞0＞负数．
2. 如下摆放的几何体中，主视图为圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】逐项分析，根据三视图的定义，找出主视图为圆的选项．
【详解】A. 主视图为三角形，不符合题意；
B. 主视图为矩形，不符合题意；
C. 主视图为正方形，不符合题意；
D. 主视图为圆，符合题意．
故选D．【点睛】本题考查了三视图的知识点，熟知主视图的定义和画三视图的规则是解题的关键．
3. 柳州市大力发展新能源汽车业，仅今年二月宏光MINIEV销量就达17000辆，用科学记数法将数据17000
表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学计数法表示出即可．
【详解】 ．
故选C．
【点睛】本题考查了科学计数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原来的数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4. 以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可
【详解】∵A,B,C都不是轴对称图形,
∴都不符合题意;
D是轴对称图形,符合题意,
故选D.
的
【点睛】本题考查了轴对称图形 定义,准确理解轴对称图形的定义是解题的关键．
5. 以下调查中，最适合用来全面调查的是（ ）A. 调查柳江流域水质情况 B. 了解全国中学生的心理健康状况
C. 了解全班学生的身高情况 D. 调查春节联欢晚会收视率
【答案】C
【解析】
【分析】逐项分析，找出适合全面调查的选项即可．
【详解】A.调查柳江流域水质情况，普查不切实际，适用采用抽样调查，不符合题意；
B.了解全国中学生的心理健康状况，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意；
C.了解全班学生的身高情况，适合普查，符合题意；
D.调查春节联欢晚会收视率，调查范围广，适合抽样调查，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查；在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问
题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小.理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题
的关键．
6. 如图，在菱形 中，对角线 ，则 的面积为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】菱形的对角线互相垂直平分，故 的面积为对角线的一半的乘积的 ．
【详解】 是菱形的面积
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解 是直角三角形是解题的关键．
7. 如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶四种不同的图案，
背面完全相同，现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面怡好是
冰壶项目图案的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】事件所有可能的结果有4种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有 1种，据此利用概率
公式求解即可．
的
【详解】事件所有可能 结果有4种，抽出的卡片正面恰好是冰壶项目图案的结果有 1种，所以抽出的卡
片正面怡好是冰壶项目图案的概率是 ．
故选：A．【点睛】本题考查了等可能事件的概率，根据概率计算公式，必须知道所有可能的结果及事件发生的结果．
8. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算性质求解，逐项分析即可
【详解】A. ，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B. ，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C. 符合题意；
D. ， 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键．
9. 某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差 如右表所示，那么这
三名同学数学成绩最稳定的是（ ）
甲 乙 丙
91 91 91
6 24 54
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】先比较平均成绩，当平均成绩一致时，比较方差，方差小的波动小，成绩更稳定．
【详解】甲、乙、丙的成绩的平均分 都是91，故比较它们的方差，甲、乙、丙三名同学的方差分别为
6，24，54；故甲的方差是最小的，则甲的成绩是最稳定的．
故选A．
【点睛】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．
10. 若一次函数 的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. y随x的增大而增大 D. 时，
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据图像中过两点 ，求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即
可．
【详解】首先将 代入一次函数解析式 ，得
，
解得 ，
所以解析式为 ；
A、 ,由求出的 ，可知此选项错误；
B、 ，由求出的 ，可知此选项正确；
的
C、因为k＜0，所以y随x 增大而减小，故此选项错误；
D、将x=3代入， ，故此选项错误；故选：B．
【点睛】本题考查一次函数 图像的性质和求一次函数解析式，熟练掌握函数图像与函数
解析式中系数 的关系是解题关键．
11. 往水平放置的半径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度
，则水的最大深度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得
出CD的长．
【详解】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，∴AC=CB= AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过O点作AB的垂线，由此即可求
解．
12. 如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段 绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次
落在矩形 的边 上时，记为点 ，则此时线段 扫过的图形的面积为（ ）
A. B. 6 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，AC扫过的图形为一个扇形，，半径为4，求出 ，再根据
扇形面积公式求解即可．
【详解】解：由图可知：AC=A’C=4，BC=2，∴ ，
∴ ，
线段 扫过的图形为扇形，此扇形的半径为 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，读懂题目明确AC扫过的图形为一个扇形，且扇形的半径为4是解
决本题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
13. 如图，直线 ，则 的度数是______ ．
【答案】60
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3，根据对顶角相等即可求得∠2的度数．
【详解】∵a∥b，如图
∴∠3=∠1=60゜
∵∠2=∠3
∴∠2=60゜
故答案为：60【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质并熟练运用是关键．
14. 因式分 = ．
【答案】 ．
【解析】
【详解】原式= ．故答案为 ．
考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解．
15. 如图，在数轴上表示x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据数轴可知，表示x的数在数2的右边，且不等于2，因此即可判断x的取值范围 ．
【详解】由数轴知： ，
故答案为：x>2．
【点睛】本题考查用不等式表示数轴上的数的范围，体现了数与形的结合，要注意是实心点还是空心圆圈．
16. 若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是________．（写出一个即
可）
【答案】5（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．
【详解】解：由题意知：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，
整数a可取2、3、4、5、6中的一个，故答案为：5（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键．
17. 在x轴，y轴上分别截取 ，再分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于
点P，若点P的坐标为 ，则a的值是_______．
【答案】2或
【解析】
【分析】分P点在第一象限和第二象限分类讨论，由尺规作图痕迹可知，P为∠AOB的角平分线，由此得
到横坐标与纵坐标相等或互为相反数．
【详解】解：当P点位于第一象限时，如下图所示：
由尺规作图痕迹可知，OP为∠AOB角平分线，此时P点横坐标与纵坐标相等，
故a=2；
当P点位于第二象限时，如下图所示：由尺规作图痕迹可知，OP为∠AOB角平分线，此时P点横坐标与纵坐标互为相反数，
故a=-2；
∴a的值是2或-2．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，属于基础题，本题要注意考虑P点在第一象限和第二象限这两
种情况．
18. 如图，一次函数 与反比例数 的图像交于A，B两点，点M在以 为圆心，
半径为1的 上，N是 的中点，已知 长的最大值为 ，则k的值是_______．【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出 是 的中位线，所以 取到最大值时， 也取到最大值，就转化为研
究 也取到最大值时 的值，根据 三点共线时， 取得最大值，解出 的坐标代入反比例函
数即可求解．
【详解】解：连接 ，如下图：
在 中，
分别是 的中点，
是 的中位线，
，
已知 长的最大值为 ，
此时的 ，
显然当 三点共线时，取到最大值： ，
，，
设 ，由两点间的距离公式： ，
，
解得： （取舍），
，
将 代入 ，
解得： ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解
题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究 取最大值时 的值．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
【答案】1
【解析】
【分析】根据绝对值的定义及算术平方根的定义即可解决．
【详解】原式
【点睛】本题考查了绝对值的定义、算术平方根的定义及实数的运算，关键是掌握绝对值和算术平方根的
定义．
20. 解分式方程：
【答案】【解析】
【分析】两边同乘以x(x+3)，转化为一元一次方程求解即可
【详解】解：去分母得：
解得
检验：将 代入原方程的分母，不为0
为原方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的求解方法是解题的关键．
21. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接
到达点A和B，连接 并延长到点D，使 ，连接 并延长到点E，使 ，连接 ，
那么量出 的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．
证明：在 和 中，
∴
∴____________
【答案】 ， ， ，
【解析】
【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等，
填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明 ．
【详解】证明：在 和∴
∴
【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证
明方法是解题的关键．
22. 如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销
活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B
品牌螺蛳粉则需要4200元．
（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？
（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多
少箱？
【答案】（1）A品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B品牌螺蛳粉每箱售价为80元；（2）60箱
【解析】
【分析】（1）设 品牌螺蛳粉每箱售价为 元， 品牌螺蛳粉每箱售价为 元，根据两种购买方式建立
方程组，解方程组即可得；
（2）设购买 品牌螺蛳粉为 箱，从而可得购买 品牌螺蛳粉为 箱，再根据“预算总费用不超
过9200元”建立不等式，解不等式，结合 为正整数即可得．
【详解】解：（1）设 品牌螺蛳粉每箱售价为 元， 品牌螺蛳粉每箱售价为 元，
由题意得： ，
解得 ，
答： 品牌螺蛳粉每箱售价为100元， 品牌螺蛳粉每箱售价为80元；
（2）设购买 品牌螺蛳粉为 箱，则购买 品牌螺蛳粉为 箱，
由题意得： ，
解得 ，
答： 品牌螺蛳粉最多购买60箱．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关
键．
23. 为迎接中国共产党建党100周年，某校开展了以“不忘初心，缅怀先烈”为主题的读书活动，学校政教
处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称“读书量”）进行了随机抽样调
查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示．
（1）补全下面图1的统计图；
（2）本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为________；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生
人数．
【答案】（1）见解析；（2）3本；（3）360人
【解析】
【分析】（1）求出抽取的总人数，即可算出读书量为4本的人数，从而能够将条形图补充完整；
（2）从补全的条形图中即可解决；
（3）求出样本中读书量不少于4本的人数占抽取人数的百分比，从而估计出总体中读书量不少于4本的人
数占总体的百分比，进而问题可解．
【详解】（1）∵读书量1本的人数为5人，占抽取人数的10%，
∴抽取人数为： （人）．
∴读书量为4本的人数为：
50-（5+10+20+5）=50-40=10（人）．
∴图1补充完整如下：（2）∵读书量为3本的人数最多，
∴抽取学生五月份读书量的众数为3本．
故答案为：3本
（3）∵样本中读书量不少于4本的人数的百分比为： ，
∴ （人）．
答：估计七年级学生中读书量不少于4本的学生人数为360人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、简单随机抽样、用样本估计总体等知识点，从不同的统计
图中提取相对应的信息是解题的基础，熟知用样本估计总体的数学思想方法是关键．
24. 在一次海上救援中，两艘专业救助船 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船 在 的
正北方向，事故渔船 在救助船 的北偏西30°方向上，在救助船 的西南方向上，且事故渔船 与救助
船 相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船 与救助船 之间的距离；
（2）若救助船A， 分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船 处搜
救，试通过计算判断哪艘船先到达．【答案】（1）收到求救讯息时事故渔船 与救助船 之间的距离为 海里；（2）救助船 先到达．
【解析】
【分析】(1)如图，作 于 ，在△PAC中先求出PC的长，继而在△PBC中求出BP的长即可；
(2)根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可.
【详解】(1)如图，作 于 ，
则 ，
由题意得： 海里， ， ，
∴ 海里， 是等腰直角三角形，
∴ 海里， 海里，
答：收到求救讯息时事故渔船 与救助船 之间的距离为 海里；(2)∵ 海里， 海里，救助船 分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，
∴救助船 所用的时间为 (小时)，
救助船 所用 的时间为 (小时)，
∵ ，
∴救助船 先到达．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，
勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
25. 如图，四边形 中， ，以A为圆心， 为半径作
圆，延长 交 于点F，延长 交 于点E，连结 ，交 于点G．（1）求证： 为 的切线；
（2）求 的值；
（3）求线段 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质，证明∠ABC=90°即可；
（2）根据平行线的性质，得∠EDF=∠BCD，过点D作DH⊥BC，垂足为H，在直角三角形CDH中，根
据三角函数的定义计算即可；
（3）过A作 于点J，证明 ，后利用勾股定理计算即可
【详解】（1）证明：∵ ，
∴
∵
∴ 是 的切线
（2）过D作 于H,
∵
∴
∴四边形 为平行四边形∴
在 中，
∴ ,
∴ ,
∴
（3）过A作 于点J,
∴
在 中，
∴
∴
∴
∵
∵∴
∴ ，
∴
中，
∴ .
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，三角形相似，勾股定理，熟练掌握切线的判定，灵活运用勾
股定理，垂径定理，三角形相似是解题的关键.
26. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线： 交x轴于 两点，与y轴交
于点 ．
（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接 ，过点B作 ，垂足为E，若 ，
求点D的坐标；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接 ，交 于点N，连接 ，记 的面
积为 ， 的面程为 ，求 的最大值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；
（2）先根据 和勾股定理求得 ， ，过点E做 平行于 交y轴于T，
易证 ，利用相似三角形的性质求得 ， ，进而求得点E坐标，求得直
线OE的解析式，和抛物线联立方程组，解之即可求得点D坐标；
（3）延长 于至点F，使 轴，过A点作 于点H，作 轴交 于点T，过M点
作 于点D，证明 ，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可得
，利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而可求得AF，设 ，则
，根据二次函数求最值的方法求的MT的最大值，进
而可求得 的最大值．
【详解】解：（1）依题意，设 ，代入 得： ，解得：
∴ ；
（2）由 ， 设 =x，则 ，
∵BE⊥OD，
∴在Rt△OEB中，OB=3，由勾股定理得： ，
即 ，解得： （舍），
∴ ， ，
过点E做 平行于 交y轴于T，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，解得： ，
∴ ，∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 的延长线交抛物线于点D，
∴ ，解得： （舍），
当 时， ，
∴ ；
（3）如图所示，延长 于至点F，使 轴，过A点作 于点H
作 轴交 于点T，过M点作 于点D，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
的
设直线 解析式为 ，将B，C两点代入得
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、相
似三角形的判定与性质、坐标与图形、解一元二次方程、三角形的面积、勾股定理、求函数的最值等知识，
解答的关键是结合图象，添加合适的辅助线，运用相似三角形的性质和数形结合法进行推理、探究和计算．
