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1987年数学(一)真题解析
一、填空题
(1) 【答案】J： — y + z = 0.
•Z = 1,
【解】 直线丿y = — l + t,的方向向量为= {0,1,1},直线耳丄=宁=专的方向向量为S2 =
、z = 2 十 t
{1,2,1},所求平面的法向量为 n = {0,1,1} X {1,2,1} = {一 1,1, 一 1},
则所求平面方程为7T ：乂 一 y + Z = 0.
(2) 【答案】一匕.
In Z
【解】 由yf = 2X (1 + jcln 2) = 0,得工=—丄;・
In 2
当工V— 时『V 0；当h >— 时j/ > 0,故当无=—7—Z时，函数y = x2x取得极小值.
In Z In Z In 2
⑶【答案】 y.
【解】 由In x = (e+ 1) — 得岀工=e，曲线y = \n x与直线y = (e+ 1)—工的交点为(e,l),则所围成的
平面图形的面积为
(e -4- 1 )2 — e2 3
A = In xdjr (e+1—= xIn x — (e — 1) + (e+ 1)----------------------=—.
2
(4)【答案】一18兀・
【解】方法一由格林公式得
){2xy — 2y)dj： + (x2 — 4无)dy = JJ (2工一4 — 2x + 2)cLzd;y
D
=—2jdx dy = 18tc.
d
z — 3COS 1' (起点 t = 0,终点 t = 2tt),则
方法二 令L：
y = 3sin t
C2n
C2xy — 2y)dx + {x2 —)dj/ = (18sin cos t — 6sin Z)• (— 3sin Z)dz +
J 0
(9cos2Z — 12cos t) • 3cos tdt
*2k
(—54sin2Zcos t + 18sinS + 27cos3Z — 36cos2^)dz
0
=18『sin2 di — 36 | *2ncos21dt
0
=36J sin2zdz — 72 | cos2zdz
0
=7212 一 144Q = ~7212 = -18tt.
(5)【答案】(1,1, —1)・
【解】 令 1 a 1 + x2a2 + 工3«3 =a ,
1 1 0 1 0 2、f 0 0 1
由1 0 1 1 _ 1 2—0 1 0 1 ，得
0 1 1 oz 'o 0 1 -J 'o 0 1 _ 1向量a在基底ax ,a2 ,a3下的坐标为(1,1, — 1).
J / d
---------dt
二、【解】由lim。 [. J a + x2 ] 徂 2
=lim---------；---- = —— H# d£〜一-—x3 ,从而b =1,
•z—0 X … 3川 3賦 ' ° + 孑 3石
3
X
2 1 「 3 1 兴 =-^―=],得 a =
再由 lim -------------- ,______aZ = lim--------:----- = lim ------------- 4,
x*o- bx — sin x o J + 严 工->o x — sin x 昭X—o 1 — cos x
故 q = 4,6 = 1.
警=£ ,d薯v =g‘ •(1 +y),故讐•薯=g'(人 + yfy )(1 + ：y).
⑴【解】
3 sc
（2）【解】 由 AB = A+2B 得(A-2E)B =A,解得於=3 — 2£；）一也，
/I 0
而A -2E = 1 -1 0 ,
=
2'
1
z1 0 1 :1 0 1 0 1 1 0 0 0 2 _ 1 _ 1
o卜
由1 _ 1 0 0 1 0 -1 _ 1 -1 1 1 0 2 -2 _ 1
'o J
1 2 :0 0 0 0 1 _ 1 1 u 'o 0 1 _ 1 1 1
2 -1 1
-i
得(A -2E) 2 -2 1
1 1 1
2 -1 _ 1 3 0 1 5 -2 -2
于是B = 2 -2 -1 1 1 0 4 -3 -2
'一 1 1 1 0 1 4 -2 2 3
四、【解】方法一
yw + 63/〃 + ( 9 + aS' =1 两边积分得 yf + &yf + (9 + a2)y =无 + C°,
+ 63/z + ( 9 + a2 ) = 0 的特征方程为入 $ +6入 + (9 + a2 ) = 0,
解得入 1,2 = 一3 土 ai,
则方程 yz + 6^Z + (9 + a2 )j/ = 0 的通解为歹=e_3j (C】cos ax + C2sin ax );
设 yz + 6jz，+ (9 + a2 )j/ = x + Co 的特解为 y * = Ah + B，代入得
c— 6
"一 9 +于(9 + a2)2
故原方程的通解为
6
y = e_3j (Ci cos ax + C2 sin ax) --------r H-------二--------------.
‘ 9 + a2 9 + a2 (9 + a2)2
方法二
特征方程为 A3 +6A2 + (9 + a2)A = 0,
解得特征根为 A j = 0, A 2 = —3 + ai, A3 = —3 —ai,
yw + + (9 + a2 )j/ = 0 的通解为夕=+ e-3j (C2cos ax + C3 sin ax ),
T
显然原方程有特解$。（工）=—-7
9十a
故原方程通解为 y = Cx + e_3x (C2cos ax + C3sin ax) + —y.
9 + a五、 选择题
（1） 【答案】（C）.
【解】 S（-i）nk-^L = %£（—1）” g + £（—1）“ 丄，
n = l X n = l 乳 n = l "
因为级数£（一1）” 4绝对收敛，级数工（一1）"丄条件收敛，所以原级数条件收敛，应选（C）.
”=1 n n=\ 71
（2） 【答案】（D）.
【解】I = t P f（tx）dx = [' f （tJC ）d（Zx ） -- —=f f （u）du 9
J o J 0 J 0
显然/与s有关，与t无关，应选（D）・
（3） 【答案】（E）.
【解】 由极限的保号性可知，存在d >0,当0 VI Z — a |<5时,/（：）_' <0,
（工—a）
即/（工）< /（a）,故z = a为极大值点，应选（B）.
（4） 【答案】（C）.
【解】 由 A*A = \ A\E 得出 |A | • \A'\ = \ \A\E\ = \A\n ,
由 | A | = a 工 0 得 | A * | = a""4，应选（C）.
六、 【解】 由lim 血 =£，得幕级数的收敛半径为R = 2,
00 -] i 00 （_ i \ n-l
当工=—2时，级数工;—（-2）"-1 = —S ------------收敛；
” =i n2 / ” = i n
当工=2时，级数工――] 2n_1 = —1 —1 发散，故收敛域为[—2,2)；
n = i / ” = i n
令 SQ) = S ~|訐1，
” =i 咒 2
当工=0 时，S(0) = *；
1 £
当工 HO 时，S(z) = — /J ----In
工” =i n JC
I 工=0,
故S （无）=
[T(i-寺)，
— 2£hV2 且 hHO.
七、【解】 曲面s的方程为S：3/-l = /+»（] Wy W3）,取外侧，
令 So :y = 3(j:2 + z2 W 2),取右侧，则
(8j/ + 1)dj/dz + 2(1 — y2)dzdjc — 4：yzdx dy 9
s+s° s°
由 # J7(8j/ + Ddj/dz + 2(1 — j/2 )dz dx — iyz da: dy
s+s。
dv =J djy cLzdz = 7T (.y — l)dj/ = 2兀 9
■r +z QTjj j; (8j/ + l)dydz + 2(1 — y2 )dzda: — 4：yzdx dy
so
=JJ 2(1 — y2 }Azdx = —1611 dz dr = — 16 jj 0,g(l) = /(l) — 1 VO9
由零点定理,g&)在(o,i)内有零点，即存在工e(0,1),使得gQ) = 0,即/(x) = x.
g'(z)=十(2)— 1,因为 ) H I9 所以 g'(z) >0 或 g'(z) V0,
即g(H)在［0,1］上严格单调，故g(H)在(0,1)内零点唯一，
即在(0,1)内有且仅有一个工，使得/(JC )=工・
1 1 1 1 0 1 1 1 0、
0 1 2 2 1 0 1 2 2 1
九、【解】A =
0 -1 a — 3 -2 b 0 _ 1 a — 3 -2 b
3 2 1 a _ 1. .0 _ 1 -2 a — 3
1 1 1 1 0 、
0 1 2 2 1
0 0 a -1 0 6 + 1
0 0 0 a — 1 0 ,
当a 工1,6 为任意常数时，方程组有唯一解；
当a 1,6 工一1时，方程组无解；
当a =1,方 =-1时，方程组有无数个解，将a,6代入后得出
-r
j 0 _ 1 _ 1
0 1 2 2 1
，得方程组的通解为
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 ,
r
f 1、 1、 一
-2 -2 1
X = b、 + k2 + (紅，馬为任意常数).
1 0 0
、0 , 1 , 、0 ‘
十、填空题
(1)【答案】 1 -(1 - pY , ［1 + (” — 1)/> J(1 — p)" 1.
【解】 设并次试验中A发生的次数为X,显然X〜E(n,p),
则 P{X 1} = 1-P{X = 0} = 1 — C%°(l — p)” = 1-(1-pY；
P{X ^1} = P{X = 0} +P{X = 1} = C〉°(l 一 pY +Cnp{\-py~x
= (l — p)”口 + G — 1)〃］・
/c、・f53 20
⑵【答案】莎'元.
【解】 记A, = ｛取的是第i个箱子｝(i = 1,2,3),B = ｛从箱子中取出的是白球｝，则
P(AJ = P(A2) = P(A3) = +，P(B | AQ = f，P(B I A2) = 4 = £，P(B I A3)=
3 5 6 Z 8
①由全概率公式知：P(B) = P(At)P(B | Ai)+ P(A』P(B | A2) + P(A3)P(B | A3)2
53
~8 120'
__x___
P(A2B) P(A2)P(B I A2) 3 2 _ 20
®P(A2 | B)= P(B) P(B) ~53~ = 53 ；
120
(3)【答案】1, y.
【解】方法一
由 /Q)=
丄e-/+2"
，得X
VTt
y.
故 E(X)==1, D(X) =
方法二
f+°°
E(X) = I a:f(x )djr =
1 f+°° _ 2
=口 + & 一 l)]e_2 d(z —1) = —J (1 + x ) e~x dx
十一、【解】 因为随机变量X,Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度为
sn心T OVz Vl,y>0,
其他.
则 Fz(z) = P {Z z} = P {2X +Y z} = JJ /'(•z,y)cLrd；y,
2z+y Wz
当 nVO 时,F z ( n ) = 0；
当 0 WnV2 时，Fz (n) = ["dr [ e_3( dy = f2 (1 — e2x~z )dx =-------+ ~^~e~z ;
Jo Jo Jo Z Z Z
'z-2x '(1 -严)dr
当 z a 2 时,Fz(z)= 0 e~y dy 0 =1----(e2 —- l)e_z ,
‘0, N V 0,
*(1—「)，
0 W z W 2,
故 fz® =
ye^(e2 -1), N > 2・
