2005年数学（一）真题解析
一、填空题
1 1
（1）【答案】 y = —j?------
"2 4
工 1
2
【解】 由 lim — !旦工（2工+1）=可，
j--* 00 JC
x2 x \ _ . —工 丄
lim =lim 2工 + 1 - 丿二 !史 2(2工 + 1)
工一＞8
x 2 丄
得曲线夕 的斜渐近线方程为
=2工 + 1 一才.
x\n x x
(2)【答案】夕= ——-
2
【解】方法一 将 xyf + 2j/ = jt In jr 化为 3/-----y = In x 9 解得
JC
In 工• e*"山 + C e伽 _ 存3 +c)，
2 In dr + C
诗，得c=o,故汁警—耆.
由夕⑴
方法二 由 xy' + 2j = j： In j?,得工5' + 2xy = jc 2 In x，即(工彳歹)'=x2In x 9解得
- r 3 1
22夕= jr2 In jc djr + C = —In x x3 + C ,
于是歹 X 3 +c)，由 y(l)= —得c=o,故》 x\n x x
3 X 3 ?
（3）【答案】
3u X du y 0U _ N
【解】
3x ~ 3， dy 6， az 9 '
1 1 1
由狂 ，得
3， 3， 3z 3
(1,2,3) (1,2,3) (1,2,3)
du 4x 丄+丄X丄+丄 ＞＜丄=遁
3n 箱 3 V3 3 73 3
(1,2,3)
(4)【答案】(2-V2)ttR3.
， R2
z0 2,2
【解】方法一由 ,_____________侍工+$ =〒•
z = JR2 — jc2 — y2 9
D 2
令D：^2+jz2 由高斯公式得
jTjr dydz ydzdx -zdx dy = sjjdv = sjjdjr dy VR2-x2-y2
t____ dz
工 Q D=3 f d(9 r ( JR2 — r2 —厂)d厂=6兀 F厂一 / dr —兀尺
Jo Jo Jo
=—3兀 F VR2-r2d(R2 — /)—理=(2-V2)kK3.
Jo V2
方法二 由高斯公式得
JJjc dj/d^ ydzdx + n dr dy =3 「 r2sin 9)d厂=6tc 'f sin (pd(p 严 r22 dr
J 0 J 0 J 0 0 J o
n
=2nR3 (1 一 乡)=(2 - ^2 )nR3.
（5）【答案】2.
【解】方法一 因为 B — (a i + a2 + a3,a i + 2a2 + 4a3 .a j + 3a2 + 9a：3)
/I 1
=A 1 2 3 ,
J
'1 4
1 1 1
所以 | B | = | A | • 1 2 3 = (3 — 1)(3 —2)(2 — 1) =2.
1 4 !）
方法二 |B|=|© + a 2 十 a 3, a i + 2a 2 + 4a 3 9 a 】+ 3a 2 + 9a 3 |
=1 a i + a 2 + ct 3 2 + 3ct 3，a 2 + 5a 3 |
=la. 十 a 2 + a 3 9 a 2 + 3 a 3，2 a 3 | 2 | a 1 + a 2 + a 3 9 a ? + 3 a 3 9 a 3
2 | ct i + a 2 9 ct 2 9 a 3 | 2|tti9Ct2*ct3| 2.
方法点评：本题注意范德蒙德行列式的使用.
(6) 【答案】毎1 3
48
【解】 令 4 ={X =汀(亍=1,2,3,4),B ={Y = 2},则 P(A,) =3(，=1,2,3,4),
4
PCB | AJ =0, P(B | A2) =-^,卩(_8|比)=+，P(B | A4) =^,
乙 J 4
由全概率公式得 P{Y = 2}-P(B) = 2p(Ai)F(B 丨 A,) =£(£ + £ +
,=] 4'2 3 4，48
二、选择题
(7) 【答案】(C).
【解】 当& IW 1时，1 w 71+ I3n <72 ,由夹逼定理得lim 71+ |汀” =1；
M-*OO
当ixi>i时，&13 <7i+1十 wmu =72i^p,
由夹逼定理得lim 71+
I3" =|^|3,
ii, |jc |c 1,
即心)=」n —/(—1) —x3 一 1
fl (— 1) = lim lim =一 3 9
H + 1 j? + 1
x-*-r
/(工)一/(—1)
/+(— 1) = lim =lim -—= 0 ,
•Z + 1 工—1+ x + \
因为/C(-i)# i),所以/(工)在工=—1处不可导;
心)一/⑴
fl ( 1) = lim =lim ------- = 0 9
x 一 1 li- 工一1
心)一/⑴ X — 1
/+ (1) = lim lim -------- = 3 ,
一+ x 一 1 工一1+ x — 1
因为/1(1)工所以/■&)在工=1处不可导，
即/(工)在(―°°, + °°)内连续，但有两个不可导点，应选(C).
方法点评：讨论由极限形式表示的函数的连续性与可导性时，先计算极限，求出函数的表
达式，再讨论函数的有关特性.
(8) 【答案】(A).
【解】 方法一 f⑺ =3芒为偶函数，但尸(工)=工3 +C不一定是奇函数，(E)不对；
/(j? ) = cos x 一 1为周期函数，F(h) = sin x 一 x + C不是周期函数，(C)不对；
于(工)=2工为单调增函数，FQ)=工2 +C不是单调函数，(D)不对，应选(A).
方法二 设 /(— ) = — f Cjc),令尸(工)=[/(/)山，
J a
则 F (— J7 ) = [ f (t)dt - [ /(— iz ) (― dw ) = [ f(u)du
J a J —a J —a
=I f(u)du + [ f(u)du = I f(u)du = F(jc),
J —a J a J a
于是FQ)为偶函数；
反之，设F(—_z)=F(z),两边求导得一F'(—工)=尸'(2),或7"(—_z) = —/"(z),即于(工)
为奇函数，应选(A).
方法点评：设FQ)为yQ)的原函数，则/(^)与F(x)的奇偶性、周期性如下：
(1) fQ)是奇函数的充要条件是F&)为偶函数；
(2) 产(工)是偶函数时，FQ)不一定是奇函数,/(x)的所有原函数中只有
F(^)= J，/(z)dz为奇函数，但当FQ)是奇函数时，/(^) 一定是偶函数；
(3) 若于(工)为周期函数，FQ)不一定是周期函数，但当FQ)为周期函数时 JQ) —定
为周期函数.
(9) 【答案】(E).
【解】 由ZT—=卩'(2 + ) +卩'(乂 — y) +。(工+夕)一。(工一』)9
—=(p (x y) — (p (工一夕)+ 0 (工 + y ) + 0 (z — jy ) 9
dy
g2
得一冷=cp" (jc + j/) + 申"(z — y) +0(^* + 丿)一— jy)9u
（P〃（王 + y） +卩〃（工一丿）+ /（久 + 夕）一0‘（无一y）9
显然a : = q―F，应选(B).
ox oy
(10)【答案】(D).
【解】令 F (j? ,y,z) = xy 一 zln y + e,2 一 1,
(x ,y ,z) = y + ze!I , F^, (x ,z) = x----, F'z (j? ,y ,z) = — lny+ze",
$
因为 F； (0,1,1)= 2H0, F：(0,l,l)= —1H0, F： (0,1,1)= 0,所以工夕一zln _y+e" = 1
在点(0,1,1)确定两个具有连续偏导数的函数工=j：(y,z)及y = y (j: ,z),应选(D).
方法点评：本题需要掌握多元隐函数的存在定理.
设 F（x ,y ,z ）连续可偏导,F（jc0 ,y0 ,z0） =0,若 F：（z（）,；yo，Zo）HO,则在点（攵。，》。，*。）
的邻域内确定二元函数工=攵（夕，2：）,其他情况类似.
（11）【答案】（E）.
【解】 方法一 因为矩阵的不同特征值对应的特征向量线性无关，所以© ,业线性无关.
由 Aa A | ct i Au =l 入 a ,彳导 A （a ct ==入 a 】A ? oc
1 j 2 2 2 i - 2 1 2 •
/i am
（a! ,A（a（ +a2））=（ai ,a2）（ 1 ,A （a , +a,）线性无关的充分必要条件是矩阵
\0 X 2
/I A ] \ 1 A1
可逆，即 H0,故入2工0,应选（总）.
\0 A2/ 0入2
方法二 令 kxa} +kiA(.ax 4 «2)= 0,由 A(a} 4 a2)=入 “1+ X2a2,得 怡2(入』[+
A2a2)=0,整理得(4 + X1k2)a1 +X2k2az =0.
\k j + 入虫2 = ° ,
因为a,,a2线性无关，所以 于是a,,A（a, +02）线性无关的充分必要条
U 2怡 = 0 ,
2
\k ] + 入 怡
1 2 = 0,
件是紅0 +紅A（0 +°2）=0当且仅当紅=k2=0,即方程组 只有零解,
U 怡 =0
2 2
于是1 A1 H0,故入 工0,应选（E）.
2
（12）【答案】（C）.
0 1 0\
【解】 令叭 1 0 0 ,由题意得B =E]2A.
0 0 U
由 |B |= \El2 I • |A | = - |A I , B1 =A~lE^ -=A~yEu,
得 B* =\ B \ B ==-\ A I • A^E}2 =-A*E12 或一E* =A*E]2,
即交换A*的第1、2两列得一,应选（C）.
方法点评：本题考查初等变换与伴随矩阵.
设A为可逆矩阵，当研究A*时，一般需要使用公式A* = |A |AT ,即将伴随矩阵问题转
化为逆矩阵问题，注意使用如下结论：
（1） 设为可逆的n阶矩阵，则（AB）* =B*A* ；
（2） 设分别为可逆的m 阶及z?阶矩阵，则'A 'A O\^ _f\B\A*
O B' —( O
O
o A O A ° △广=(_】呵(
O 5
B O B O B O> \\B\A* O
(13) ［答案】(B).
【解】 P {X = 0} = 0.4+a,
P{X+Y = l}=P{X=0,Y = l}+P{X=l,Y = 0}=a+b,
P {X = 0 ,X + Y = 1} — P {X = 0, Y = 1} =a,
因为{x= 0}与{X+Y= 1}相互独立，所以(a+b)(0.4 + a) = a,又因为a+b= 0.5,
所以 a = 0.4,6= 0.1,应选(E).
(14) 【答案】(D).
【解】 由X】〜N(0,l),得Xf〜/ (I).
n n
由X,〜N(0,l)G = 2,3,“・皿)，得工X：〜％2(九—1)且X］与工X：独立，
:=2 i=2
由F分布的定义得 ~兰凶-------F(l,«-1),即「" Xi〜尸(1皿—1),应选(D).
1) fxi
i=2 i=2
方法点评：设总体X〜N(〃y2),Xj ,X2,-,X„为来自总体X的简单随机样本，熟练掌
握如下结论：
(1)匸上〜N (0,1); (2)匸上〜/(” 一 1)；
O O
(3) ----［岁-~ X 2(72 — 1 ) ； (4) ^2 (Xi — ")2 〜X 2(Z2 )・
O 1 = 1
三、解答题
(15)［解】 如图所示，令Di = {(工，夕)|工？+j/ <l,z》0,夕$0},
D2 = { (jt ,j/) | 1 jc2 + j/2 J2 $ 0 9? $ 0} 9
贝"U攵夕［1 X 2 +』2］dzdjy Jj jjydj： dy + 2jj jcy dx dy
D D］ D2
rfd&］厂3 sin 0cos 0d厂 + 2「d0 '证
r3 sin 9 cos 6 dr
0 0
-［2 sin 0cos 0d0 +f sin Ocos 6dd
4 J o 2 J o
3 fi 3
sin 0d(sin ^)=—
TJo 8
方法点评：本题考查分段函数二重积分的计算.若积分区域的边界曲线中含JT2 + j»2或被
积函数于(工，》)中含工2 +夕2, 一般使用极坐标变换法计算二重积分.a卄
（16）【解】方法一由lim 1 =1,得级数的收敛半径为R=l,收敛区间为（一1,1）.
”f 8
s I
令心)=£(- 1)"-1 “+ ]
n = 1 L n (2n — 1)
2n
则 /(^)= S (— + Y (— 1)"T —-
n = l ” = 1 ”(2/7—1)
2n
一苕一小T略I" ^15
2 00 2n
二+哲"品F
工
令SC)= £(—(二2 "_]), S1(0)=0,
8 严
S： (z ) = Y (― 1)"T ----- , S：(0)=0,
2/? - 1
” =1
S[(_z) = £(— 1)"T 工 一 $(—宀—在，
2” 2
丄丁无
n = 1 n = l
G 1 \
于是 S 1 (jc ) = S：(h) — S 1 (0)= --------dr = arctan jc ,
1+x2
0
Si (j?) = Si(_z) —Si(O)= arctan hcIz =>z arctan x —
0
=工arctan x----ln(l+/),
•Z 2
故/'(乂 ) =-----7 + 2工 arctan x — ln( 1 + j; 2 )・
1 +工
方法二 由lim p±L =1得级数的收敛半径为R =1,级数的收敛区间为（一1,1）.
"f8 | a„ I
1
SQ) = Y(—1)"T 1 + ] 2”
一 n (2n — 1)_
n — l
=£(一 1)"一
1
工
2” + 2
0
^
0
(—1)”T 2和鳥
2
二
n
1)
n = 1
而 £(— 1)"一匚
2” X
2
_ X
2
1一(一小—1+工八
” =1
又
n = 1
£(- 1)"T
n — 1
arctan x 9
「[£(-
IL
八
-i
血
Jo ” = 1
——~~ djr = £ln( ] + g 2),
皿=
1 + z L
0
故fG ) + 2jc arctan jc — ln( 1 + jr2 ).
1 + jr(17)【解】 由已知条件得 /(0) =0,/(3) =2,/(0) =2,/(3) =-2,//(3) =0.
由分部积分得
[(；+Z "〃(攵)dz = f(7 + 工)甘"(工)
2
J o Jo
=(jr2 + j? )/，z(j: ) | —J (2j? + V)ff\jc )dz
「 「
3 3 3
=— (2jc + l)d/z(j7) = — (2jc +1)/，(j?) + 2 /z (jc )dj?
J 0 0 Jo
=—7 厂(3) (0) +2『/'(工)山=16 + 2/(^) 3
=20.
J 0
0
（18） L证明】（I ）令卩（工）=fCx ） — 1+ h，爭（0） = — 1,^（1） = 1.
因为卩（0）^（1） V 0,所以由零点定理，存在F 6 （0,1）,使得卩0） =0,即/（?） =1-^.
（n）由微分中值定理，存在7］ e（o,c）,^ e（c,i）,使得
丿⑴一g) 一 E
J ' ]_g i-e
故十 5）F（C=1.
方法点评：本题考查零点定理与拉格朗日中值定理.
设/'（工）在［a,b］上连续，在（a ,6）内可导，若题中只出现则一般需要找出
三个点，两次使用拉格朗日中值定理.本题已知条件出现/（0）=0,/（1）=1连同_/（£）=1一£,
故三个点为o,ea.
申3
（19）【解】 (I )P(x ,y)= Q(z )
2工 2 +j/4 2j72 + J/4
dQ 2 j/ ( 2jc 2 + j^4 )—8 j? 2 y 3P _(2_z' + 3/)伞'(y )—4_y3 申(y)
3x (2j?2 + )2 ' (2工2+夕")2
设C是任意一条右半平面工＞0内正向闭曲线，如图所示，在c上
取两点人,£将0分为L,,L2,再取从点A至点B的有向曲线
使得L?+L3与L2+L3都是绕原点的正向闭曲线，由已知条件
术 爭（y）dz + 2巧七 _ £ 卩（夕）山 + 2巧（1夕_
侍Vq+q 2x2 +y' _A Vl2+l3 2x2 +y' '
两式相减得
X 卩（夕）dr +
Jc 2j72 + j/4
因为对任意右半平面的闭曲线c都赴 m 烛
(n) =0,所以曲线积分与路径
无关，于是字=算即2亍
y — 2x2(p\y}+ <p (y)y4—4y3^o(y),
djc oy
竿'3 = 一2夕，
比较工 相同次数的系数得
<pf (y)y — 4伞(y ) —2y2.
由卩'(y) = — 2》，得(p(y) = — y2 + C,代入 y(pf Cy) 一 4^ (3/) —2y2 中得 C = 0,
故(p(y)—~y2-方法点评：本题考查对坐标的曲线积分、格林公式、曲线积分与路径无关的条件及积分学
与微分方程相结合的应用.曲线积分与路径无关的等价命题有：
(1) 曲线积分+Qdy与路径无关；
(2) 对区域D内任意的闭曲线C有f Pclz +Qdy =0；
(3) 在区域D内岁=罕；
ox dy
(4) 存在二元函数u (j?,夕)，使得du = Pdx +Qdy・
本题对任意一条不绕原点的闭曲线的曲线积分为零，则有学=学，从而可得一微分方
ox oy
程，解出未知函数.
(1 — a 1+a 0 \ 严 i \
1+a l—a 0 ,X= g ，则二次型可表示为f=XTAX.
0 2， J 丿
0
(I )因为 r (A ) = 2,所以 | A 于是 a = 0.
| = 0,
/! 1 °\ A - 1 - 1 0
(U)A = 1 1 0 ,由 | XE-A | = -1 A - 1 0 = A(A —2)2 =0,得 A 的特
'o 0
2' 0 0 A —2
征值为入 =0,入 =入 =2.
1 2 3
当入1 = 0 时，由(0E -A)X =0,即 AX = 0,得 = (一 l,l,0)T；
当入2 =心=2 时，由(2E -A)X =0,得乙=(1,1,0)丁，§3 = (0,0,1)t,
0
0 0 0
，贝lj QtAQ = 0 2 0
0 0 2
1
一口 t x =
于是 f(^i ^2=X AX-----------+ 2^3.
(DI)由 /'(工 1，22， 鼻 3)= + x\ + 2^7 3 + 1 J7 2 =(工 1+ 工 2)2 + 3 =0， 得
'工 1 + JC 2 —°’则
(C为任意常数).
工
3 = 0,
(21)【解】 由 AB=O,得 r(A)+r(B) W 3,
因为A为非零矩阵，所以r(A) $ 1.
当 k ^9 时，由 r(B) =2 得厂(A) =1.
因为AB =O,所以B的列向量为方程组AX =0的解，于是方程组AX =0的通解为X=CiU + C2(6)(CiG 为任意常数).
3
当 k —9 时，厂(B)=l,则 1 £r(A)W2.
当r(A) =2时，因为AB =O,所以B的列向量为AX =0的解，于是方程组AX =0的通
解为X=C^j (C为任意常数).
b_ c
a h 1
a a
当r (A ) =1时，不妨设a工0,由A 0 0 0 ，得方程组AX= 0的通
0 0 0
0 0 0
10 0 0
(C],C2为任意常数).
与n X 5两个矩阵，对AB =O有两种解读：
(1) r(A) + r(B) £ n ；
(2) 矩阵B的列向量为齐次线性方程组AX =0的一组解.
°+oo
(22)【解】(I )/x(jc)= f G，夕)dy ,
当 z £0 或工 $1 时，/'x (z )=0；当 OVa: VI 时,/x(J； ) = [ dy =2x ,
J 0
2工， 0 V e V 19
则X的边缘密度为
0, 其他，
几(夕)= 9』)cLr 9
当夕《0或y $2时，几0) =0;当0 Vy V 2时，几(夕)=J'山T —专
y_
2
7 0 < y V 2,
则Y的边缘密度为fYCy)=
〔0, 其他. y=2x
y
(U )Fz(z) = P{Z £ z} = P{2X - YWz}
=jj /(J； dy 9
2x—y^z
当 z VO 时,Fz(z) = 0； o x
2
当0 < z < 2时(如图所示)，
:吐 '2x-z 1 z2 三(22)题图
Fz(z) =1- dy = 1 — (2z — z)dx — z-----;
0 4
~2 7
当 z $ 2 时,Fz(z) =1,0, z V 0,
2 0<z<2,于是Z的密度函数为几（z） = J — ◎ 0<z <2,
即 Fz (z)=丿 z — 7,
4
z>2. 0， 其他.
1,
（23）【解】（I ）方法一 Yi =Xi —乂 = Xi —丄=（1 — 丄）X】一丄X?---------丄X”,
n - = 1 \ n ' n n
因为X,〜N（0,l）（WQ且X1，X2,…，X”相互独立，所以匕 服从正态分布.
/ 1 \ 2 1 1 „ — 1
又因为E(y1)=o,D(y1)= 1—— d(xj + 4d(x2)+... + 4d(xj = -
\ n 丿 n n n
所以Y］〜N（0,土二，同理Y,〜N仏匸二）（1 £亍W “），
\ n 丿 \ 7? /
27 -- "1
于是 D(Y,) =-------(1 Wn).
n
方法二 因为 X：〜N(0,l),所以 E(X,) =0,D(X,) =1(： =1,2,…皿)，
E(X)=丄亍 E(X,)= 0, D(文)=D(X,)= —, E(X2)= D(X)+(EX)2=—.
n , = i n ,=i n n
E(Y,) =E(X, -X) =E(X,) -E(X) =0,
D(Y,) =E(Y-)- (EY.y =E(Y» =E(X^ - 2X,X + X2)
2 ―
= E(X» ——E[X；(Xi + ••• + X”)] + E(X2)
n
2 ] 1
=1 ——E(X° + —= 1 ——.
n n n
(n )Cov(Yi ,Y”)= Cov(Xi ~X,Xn -X)
= Cov(Xi ,X”)一Cov(X] ,X) -Cov(X”，X) +Cov(X,X)
1 _ 1 —
= Cov(Xi ,X]十X? + …+X”) Cov(X”，Xi +X2 + …+X”)+D(X)
n n
=一丄Cov(X】,XJ — 丄Cov(X”,X”)+ 丄=
ti n n Ti n n
