2015年数学（一）真题解析
一、选择题
（1） 【答案】（C）.
【解】 设f'O= 0左边的零点为H=a,右边的零点为x =b ,
又在x = 0处/"（z）不存在.
因为工=a的左、右两侧于〃（工）都大于零，所以（a ,/（«））不是拐点；
因为工=0左、右两侧f'\x ）异号，所以（0 ,/（0））为拐点；
因为工=b左、右两侧）异号，所以（6 ,/（6））为拐点，
故有两个拐点，应选（C）.
方法点评:本题考查拐点的判别法.判断曲线的拐点时，首先找出二阶导数为零的点及二
阶不可导的点，其次判断该点两侧二阶导数的符号情况，若该点两侧二阶导数异号，则曲线上
对应的点为拐点.
（2） 【答案】（A）.
【解】 因为;y = +孑+ （広 ）e"为y' + ay' + by =ce"的特解，
所以y" + ay' + = 0的特征方程的特征值为入1 = 1 2 = 2,则a —~3,b =2.
显然y 为原方程的特解，将代入原方程得c = — 1,应选（A）.
（3） 【答案】（E）.
【解】 因为£a”条件收敛，所以的收敛半径为1,
n = 1 n = \
oo
》a”（工一l）n的收敛区间为一1V1,即0 ＜工＜2.
77=1
因为Vy — 1 G （— 1」）9 3 — 1 幺］—l」］9
所以级数工a〃（乂 一1）"在工=^3处绝对收敛，在x = 3处发散，
n = l
因为〉（工一1）"与工5 （攵一 1）"收敛半径相同、收敛区间相同9
7? = 1 " = 1
OO
所以一1）"在攵=^3处绝对收敛，在乂 = 3处发散，应选（E）.
n = \
（4） 【答案】（E）.
■ 【解 亠. 】 令 A ｛ = rcos °，（兀 ” c —兀 1 ■ 一 W — 厂W / /［ 1 \ ,则 „,
\y — rsin 0 , I 4 3 丿2sin 20 J sin 20 丿
JJ/（jr ,j/）clrd_y = d0 j*""：" /（rcos 0 ,rsin （9 ）rdr ,应选（B）.
D 4 5/2 sin 20
（5） 【答案】（D）.
【解】 因为AX=b有无数个解，所以r（A） =r（A） ＜3,
由 | A | = （q — l）（a — 2） = 0 得 a =1山=2,当a = 1时，
Z1 1 1 1 1 1 \ I 1 1 : 1
A =1 2 1 0 1 0 八1 一 1 0 ： d - 1
川
I —J '
4 1 3 0 0 0 : d2 — 3d 十 2
因为方程组有无数个解，所以d - 1或〃==2；
当a = 2时9
I1 1 1 卩 1 1 1 \ I 1 1 1
小
A = 1 2 2 1 1 —1 一 1 1 d — 1
d2'
4 4 4 3 3 0 0 d2 一 3d + 2
因为方程组有无数个解，所以〃 =1或〃 =2,应选（D）.
方法点评：本题考查非齐次线性方程组的基本理论.本题非齐次线准方程组有无数个解
的两个关键点、为：厂（A） < 3及r（A） =r（A）.
（6）【答案】（A）.
【解】 因为/'（I ,工2，工3）经过正交变换X=PY化为标准形2y\+yl-y\,
所以A的特征值为A j = 2,入2 =1，入3 = — 1，其对应的特征向量为ei ,e2山3,
因为S , -e3,e2为特征值2, — 1,1对应的特征向量，
所以X =QY下二次型的标准形为2yl~yl+yf，应选（A）.
方法点评：本题考查实对称矩阵对角化及二次型理论.
二次型标准化有配方法和正交变换法，配方法化二次型为标准形时，其系数不一定为矩阵
的特征值；正交变换法化二次型为标准形时，其系数一定为特征值，注意特征向量与特征值的
次序要保持一致.
(7) 【答案】(C).
【解】P(A -bB) =P(A) + P(B) -P(AB),
因为 P(A +E) > P(AB),所以 P(A) +P(B) - P(AB) > P(AB),
.> D/AQ、x P(A ) + P (B )宀住 /八、
故 P(AB) <---------------------，应选(C).
(8) 【答案】(D).
【解】 由X,Y不相关得Cov(X,Y) =0,从而E(XY) =E(X)E(Y).
E[X(X +Y —2)]=£*) +E(XY) — 2E(X)
= D(X) + [E(X)T+E(X)E(Y) —2E(X)=3 + 4 + 2 — 4=5,
应选(D).
二、填空题
（9）【答案】
I
ln(cos x) .. ln[l + (cos z —1)] .. cos x 一1 1
【解】方法一 lim-------2-----= lim------------------------------= lim--------°-----=------
工->0 x 工-*0 x 工-*0 x L
sin x
1. ln(cos x) — cos x 1 .. sin x 1 丄
方法二 lim-------:-----= lim —--------=-----lim----------
x~»0 X X—o 2x 2 x —0 X cos XK2
(io)【答案】T
>
【解】 sin x 一兀 | jr | djc = 2 •A 2 dj：= 7 — t2
JC
-y 1 + COS X o 4
方法点评：本题考查定积分的奇偶性质，即
/(J7 )djf = [/(J7 ) + —工)]dz，特别地,
—a 0
当 /(— ) = f(JC)时， /(jr )d:r =2 f {x )djr
J o
当 f (一x) = — f O 时, /(J7 )dj： = 0.
—a
(11)［答案】一山.
【解】 方法一 将工=0,夕=1代入e= + + z十 cos X =2 中，得 z =0,
ez + xyz + j; + cos工=2两边分别对x ,y求偏导得
dz_ • z ° Z 3z \
•訂+夕z +工 + 1 一 sin jr = 0, ez • -----\~ x N +夕 八
3x 3y
代入得器 3z
=—1 •— =0,
dx (0,1) (0,1)
=I dj? + 字 | djy = - dz .
故dz
djc dy
I (0,1) I ((00,,11)) | (0,1)
方法二 将j： =0 = 1代入e” + xyz +工+ cos jc = 2中得n=0・
ez + xyz +无+ cos = 2两边求全微分得
ez dz + yzdx + xzAy + xydz + dr — sin x Ax = 0 ,
将 z = o q 1 9之 0 代入得 dz |((00,.11))= — dx.
(12)【答案】 4
4
【解】方法一由对称性得
]J(_z+2y + 3z)dQ=6『
Q Q
=6「dr '1—x 'l_zp 3「clz 1—X
zdz (1 一 x 一 y}2 Ay
J 0 0 0 J 0 o
=[(1—jr)3dj? (1— 乂)4 i 1
J o 4 o =T'
方法二 0 = {(无9夕9之)| (乂，夕)G D,0WnW1—h—j/}9
其中1) = {(工9』)|0冬力€1，0€丿£1—“9则
'l—T—y
IJJ (jc + 2jz + 3n ) dv Jj dy (jc + 2y + 3n ) dz
Q D 0
(j? +2j/)(l — x 一 y ) + ^-( 1 一 x 一 y )2 ckr dj/
D
「dr x +2夕)(1 一 x 一 夕)+~^ 3 ~(1 — z — y)2 ^=4
J o(13)［答案】2"+i—2.
2 0 0 2
-1 2 0 2
【解】D„ 2D”一i + 2 X A lr,
0 0 2 2
0 0 -1 2
=2D”-iI + 2 X(— 1 )"+i X八i( -— 1i)) "T == 2llDj ”t +2
= 2(2D”_2 + 2)十 2=25,1+22+2
...=2” ------- 2? + 2 = ：")= 2,,+1 — 2.
1 — 2
(14)【答案】 j.
【解】 因为p =0,所以X,Y独立且不相关，且X〜N(1,1),Y〜N(0,l),
P{XY-Y< 0} - P{(X - 1)Y< 0}
= P{X <1}P{Y>Q}+P{X>1}P{Y<Q}
= *(P{X < 1} +P{X > 1})=y-
方法点评：本题考查二维正态分布的性质.设(x,y)服从二维正态分布，则 x,y 独立与
X,Y不相关等价.
三、解答题
2 3 3
(15)【解】 方法一 由 ln(l+H)=H—*- + 2- + o(h3), sin x =x — + o (jc 3)得
Z 3 6
、
2 3 /
/(jc ) =x ~\~ax —号—b —|— bx2 + o(h3)=(1+q)jc + (b —守+ 3 +o(jc3) 9
因为fCx )〜g (工)，
所以 1 + a = 0,6 — -|-=0,-|-=^,解得 a = — l,h=----yk =-------.
1=1") 1. x ~\r a ln( 1 + jc ) + sin x
方法二 由 映
•Z—0 2)= kx3
a
1 + -~:--------p b sin x bx cos x
lim V + x —~ 2 9 彳 丿 可 曰 a = — 1 “ 9
3k j:2
丄
1- + 6sin x + bx cos x z~~:-----p b sin x -Ybx cos x
1 +
再由1 = lim =lim
x-*0 3kx2 x-*0 3kx2
----------r + 2b cos x 一 bx sin x
(1+J ，得 5 丄
lim
x-*0 &kx I
__1 ___cos,+. _1 ,sln, 亍齐1 ―g
再由1 = lim 怛—融—
•r f 0 &kx2
—+ sin x
!• （1 +工）3' 1 伯 L 丄
hm------------------------------= _ 百，得&
乂~0 bQkk 3k
（16） 【解】y — f（x）在点（工（），/'（攵0））处的切线方程为
y — f（x0） —力0）,
/（ J? o）
令；y = 0 ,贝 I」z =工 ° 一 r----r ,
J（工。）
切线、工=工。及工轴所围成区域的面积为
S=”Cz°）卜 _ （几―卷汕=4,
即寺夕？ = 4夕'，变量分离得= dr ,积分得 =x + C ,
2 》 V
O
因为夕（0）= 2,所以C= — 4,故所求的曲线为y = -------.
4 一 x
（17） 【解】咒（工，夕）=1+夕，fy = 1 + j? »
fCx,y ）在点（工，夕）的方向导数取的最大值的方向即梯度的方向，且最大值即梯度的模,
则最大值为 g（z ,夕）=| grad/（jr ,y） | +1）2 +（j； + 1）2.
令F =（工+1）2 + （y + l）2十入（工彳+夕彳+広夕一3）,
fFj =2（工 +1） + 2Xx + Xy = 0
由」F； =2（夕+ 1）+2小+入工=0,解得
[f/ = x2 + y2 + xy - 3=0
口 =1,任=—1,住=2, Ij: =一1,
ly = 1, b = — 1, I》=—1, b = 2.
由 g（l,l）=松,g（—l, — l）=0,g（2, — 1）=丽=3,g（— 1,2）=禹=3 得方向导数的
最大值为3.
方法点评：本题考查方向导数与梯度的关系.
方向导数为琴=罕・cos a +字・cos/? = {*，¥[•
cos a , cos B},
dI djc dy \dx dy ]
其中 =grad f, {cos a , cos =e为与射线/方向相同的单位向量9
设梯度grad于与e的夹角为&，则
cos 9 ,
当cos 0=1，即0=0或grad f与仑同向时9方向导数达到最大值.
故梯度的方向即为方向导数取最大值的方向，且方向导数的最大值为梯度的模.
（18）【证明】（I ）令于（无）=%（工）讥工），
=况（工 + Ajr ）u （力 + Ajr ） 一 W（JC ）
=况（E + △工）u （工 + Aj? ） — U（＜X）77（J7 + Ajr ） + m（H）U（Z + Ajr ） 一 "（Z）U（Z）
=\_u （jr + \工）—?/（工）]讥z + △乂 ） +〃（工）[讥+ A j?） 一 讥无）]
\wv （jr + △乂 ） + w （jc ） Av，则 \_U(J7)77(J7= lim Y-
=lim ----v （x + Ajt ） + lim w （x ）----
心->o Zkr—0 Ajf
=wz （ j: ） v （jc ） + ・
（n ） ） = /1（工）况2（工）・八况”（乂）+弘1（乞）/2（工）・・・况〃（无）+・・・+况1（无）％2（无）・八/〃（工）・
ix = COS t，
（19）【解】L的参数方程为L X =V2sin /，其中起点t =守，终点 u —守，则
R = COS t 9
I = 2 (施sin t + cos t) (一 sin t )ck + 施sin t • V^cos fdf + 2sin2^cos2Z (一 sin t)dt
=2麗 f2 sin2Zdz = 2麗
X £ X
善=^-tc.
J o 2 2 2
I 2 0 1
(20)【解】(I )(“1/2#3)=(5卫2,5)020
、2b 0 k +1
2 0 1 •
因为 0 2 0 =4 工0,所以厂(“i ,02，0：Q =厂(a i 9。2 9<x 3) = 3 9
2k 0 k + 1
即儿卩2』3 线性无关，所以趴』2屆为R3的一组基.
(H)
令g在两组基下的坐标都是(工]口
2
山
3)，
由 + x2a2 =无 +「 或
1« 1 + JC 3 « 3 101 + ,02 039
工 1(01 — a 1)+ 工 2(02 — 。 2)+ 力 3(03 — 。 3)=0，整理得
无] (a ] I 2ba 3) I jt* 2 a 2 I 工 3 ( a [ I kct 3) — 0 9
因为§为非零向量，所以 jc 1 (a 1 + 2ka3) + j?2a2 +攵 3 (a 1 + ka 3) = 0 有非零解，
从而 | a 2ba 3 ‘a? ‘a】 ba 3 |
i I I 0,
1 0 1
而 1 a + 2ku39。29。1 -|- ka 3 I =| (/]9。29。3 1 * 0 1 0 11, a ] 9 a 2 9 a 3 | t2— 0 9
2k 0 k
1 0 1
则 0 1 () =0，故 k =0.
2k 0 k
当& =0时，由 乂 ] (a ] 1 2 怡 a 3) I 乂 2 a 2 1 工 3 (a 】 + k(Z3)=0，
/! 0 1
即 a xxi + a 2・r 2 + a , jr3 .a2 ,a3) 0 1 0 =0,
'0
0 0
因为a , ,a2 ,a3为一个基，所以（a t ,a2 ,a3）可逆，
/I 0 /攵 *
于是0 1 0 j： 2 =（）•故g在基a（ .a2 ,a3或01・比,0」下坐标为
、0 0 J 'J(C为任意常数).
方法点评：本题考查向量空间的理论.
向量空间理论是数学一的专门考查内容，包括：
向量空间的概念、基、过渡矩阵、向量在基下的坐标.
[tr A = tr B .
(21)【解】(I)因为A〜B,所以仁..
I | A |= |B | ,
, (<2+ 3=6 + 2,
从而] 解得a=4,b=5.
\2a 一 3 = b 9
(H)因为A〜所以的特征值相同，
A - 1 2 0
由丨 AE -B |= 0 A - 5 0 =(入一1严(入一 5)= 0 得
0 - 3 A - 1
A .B的特征值为A i =入2 = 1，入3 =5.
将 A =1 代入(AE -A)X =(),即(E —A)X =0.
/ 1 —2 3 \ Z1 _ 2 3\
由 E -A = 1 - 2 3 -A O 0 0得
1 2 _3/
'0 0
q'
A的属于特征值入=1的线性无关的特征向量为5=1
'o
将入=5 代入QE — A)X =(),即(5E — A)X =(),
I 5 一 2 3\ /I — 2 — 1 \ /I — 2 /> 0 !\
由 5E -A 1 2 3—1 2 3 —0 4 4 r» 0 1 1得
8 ' J
1 2 F — 2 3 / 'o 8
'0 0
A的属于特征值入
(2 _ 3 0 0、
令P = 0 -1 ,贝9 P AP = 0 1 0
'o 1 1 'o 5丿
1 0
ln2d.=-2- ir =4
(22)【解】 1 )令P = P{X > 3}= 2一工
y的可能取值为2,3,-,y的分布律为
P{y = ^} = p • cl • p •(! - p)k 2 =(b — 一卩)12(& =2,3,…).
(]1)ECY) ^=^kP{Y = k} =p2^k(k - 1)(1 —
k=2 k=2（23）【解】（I ）E（X） = P =驻^,
J 0 L 一 c
C7
令E（X） =乂，则9的矩估计量为9=2X~1.
（n）似然函数为
L（0） = 打、”（。W，W 1/ =1,2,•••,“）,
一 ）
（1 C7
d 77
因为而L（0）= ― >0,所以L（0）关于&为增函数，
— 9）
d（7 （1
故0的最大似然估计量为0= min {X, }.
