(23)--1.13笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第一章 函数与极限 第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性 主讲 武忠祥 教授一、连续函数的和、差、积、商的连续性 定理1 设函数 f , g 在 x 连续，则 0 f 都在 连续 f  g, fg, (g( x )  0) x 0 0 g 例1 证明： 在其定义域内是连续. tan x,cot x二、反函数与复合函数的连续性 定理2（反函数的连续性） 设 f :[a,b]  R 是严格单 调增（减）的连续函数. 则其反函数在 [ f (a), f (b)], ，上也是连续的. ([ f (b), f (a)]) 例2 证明： 在其定义域内 arcsin x,arccos x,arctan x,arc cot x 是连续的. 定理3（复合函数的连续性）设 y  f (g( x)) 是由 y  f (u) 与 u  g(x) 复合而成， 若 g( x) 在 x 处连续， 0 在 u 连续， u  g(x ) ，则 f (g( x)) 在 x 处连续. f (u) 0 0 0 0三、初等函数的连续性 定理4 基本初等函数在其定义域内是连续； 定理5 初等函数在其定义区间内是连续； 例3 证明下列结论 ln(1  x) a x  1 1)lim  1 2)lim  ln a (a  0) x0 x x0 x e x  1 (1  x)   1 3)lim  1 4)lim  x0 x x0 x 当 时： x  0 x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x 常用的等 ~ e x  1 ~ ln(1  x) 价无穷小 1 1  cos x ~ x 2 (1  x)   1 ~x 2 a x  1 ~ x ln a1 例4 求极限 lim （ 1  x 2 ) ln(1x 2 ) x0  “ 1 ”型极限常用结论 若若 lim(x)  0, lim( x)  , 且 lim(x)(x)  A 则 lim(1 (x)) (x)  e A 可以归纳为以下三步: 1)写标准形式 原式  lim[1 (x)] (x) ; 2)求极限 lim(x)(x)  A; 3)写结果 原式  e A . 1  e x , x  0, 例5 讨论函数 f (x)   的连续性并指出间 x arctan x  0.  x  2 断点类型.内容小结 连续函数的和差积商的连续性. 初等函数在 反函数的连续性. 定义区间内 连续 复合函数的连续性. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别;作业 ： ； P65 3(7)(8); 4 (4)(5)(6)(7); 5