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第一章 函数与极限
第九节 连续函数的运算
与初等函数的连续性
主讲 武忠祥 教授一、连续函数的和、差、积、商的连续性
定理1 设函数 f , g 在 x 连续，则
0
f
都在 连续
f  g, fg, (g( x )  0) x
0 0
g
例1 证明： 在其定义域内是连续.
tan x,cot x二、反函数与复合函数的连续性
定理2（反函数的连续性） 设 f :[a,b]  R 是严格单
调增（减）的连续函数. 则其反函数在 [ f (a), f (b)],
，上也是连续的.
([ f (b), f (a)])
例2 证明： 在其定义域内
arcsin x,arccos x,arctan x,arc cot x
是连续的.
定理3（复合函数的连续性）设
y  f (g( x))
是由
y  f (u) 与 u  g(x) 复合而成， 若 g( x) 在 x 处连续，
0
在 u 连续， u  g(x ) ，则 f (g( x)) 在 x 处连续.
f (u)
0 0 0 0三、初等函数的连续性
定理4 基本初等函数在其定义域内是连续；
定理5 初等函数在其定义区间内是连续；
例3 证明下列结论
ln(1  x) a x  1
1)lim  1 2)lim  ln a (a  0)
x0 x x0 x
e x  1 (1  x)   1
3)lim  1 4)lim 
x0 x x0 x
当 时：
x  0 x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x
常用的等 ~ e x  1 ~ ln(1  x)
价无穷小
1
1  cos x ~ x 2 (1  x)   1 ~x
2
a x  1 ~ x ln a1
例4 求极限 lim （ 1  x 2 ) ln(1x 2 )
x0

“ 1 ”型极限常用结论
若若 lim(x)  0, lim( x)  , 且 lim(x)(x)  A
则 lim(1 (x)) (x)  e A
可以归纳为以下三步:
1)写标准形式 原式  lim[1 (x)] (x) ;
2)求极限 lim(x)(x)  A;
3)写结果 原式  e A . 1
 e x , x  0,
例5 讨论函数 f (x)   的连续性并指出间
x
arctan x  0.
 x  2
断点类型.内容小结
连续函数的和差积商的连续性.
初等函数在
反函数的连续性.
定义区间内
连续
复合函数的连续性.
初等函数的连续性.
定义区间与定义域的区别;作业 ： ；
P65 3(7)(8); 4 (4)(5)(6)(7); 5