(340)--周周清第三十五周（11.3-11.9）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 11.3-11.9 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1 1tanxsinkx 1.（数一二三）若lim e，则k  ____   x01tanx [知识点]：极限的计算 [解析]：答案：2 对原极限进行恒等变形，再凑重要极限 1 1 1tanx 2tanx 1   1tanxsinkx  2tanx sinkx  2tanx 2tanx1tanx sinkx lim lim 1 lim 1       x01tanx x0 1tanx x0 1tanx 因为 2tanx 1  2tanx tanx~x 2x 2 lim    lim lim  x01tanx sinkx x0 sinkx sinkx~kx x0 kx k 2  所以原极限e k e 2 因此， 1，k 2 k [易错点]：重要极限的计算是纯套路，掌握套路即可。2.（数一二三）若二阶常系数线性齐次微分方程yayby 0的通解为y (C C x)ex, 1 2 则非齐次方程yayby  x满足条件y(0)2,y(0)0的解为y  ____ [知识点]：微分方程解的结构 [解析]：答案：xex x2 由题设及二阶常系数线性齐次微分方程通解的形式知,特征方程2 ab0的根 为 1,从而 a2,b1.设非齐次线性方程 y2y y  x 的一个特解为 1 2 y cxd ，代人该方程,整理得到 cxd 2c x 于是c1,d 2c2，从而非齐次线性方程的通解为 y(C C x)ex x2 1 2 进而y(C C C x)ex 1.将y(0)2, y(0)0代人,得到 1 2 2 C 22,C C 10 1 1 2 解得C 0,C 1.因此,所求解为y xex x2. 1 2 [易错点]：不直接解方程，而是通过已知解倒退方程的结构，需要对微分方程解的结构足够 熟悉。3.（数一二三）设A(a )为3阶矩阵，A 为元素a 的代数余子式，若A的每行元素之和 ij ij ij 均为2，且 A 3，则A  A  A  ____ 11 21 31 [知识点]：代数余子式的计算 3 [解析]：答案： 2 由于A的每行元素之和均为2，故 a a a a a a a a 2 a a 11 12 13 11 12 13 12 13 12 13 cc c 1 2 3 | A| a a a  a a a a a  2 a a 21 22 23 21 22 23 22 23 22 23 a a a a a a a a 2 a a 31 32 33 31 32 33 32 33 32 33 1 a a 12 13 21 a a 2(A  A  A ) 22 23 11 21 31 1 a a 32 33 3 又因为 A 3，所以A  A  A  11 21 31 2 [易错点]：依据行列式已知条件进行合理变换。4.（数一三）设随机变量 X ~t(n),Y ~ F(1,n) ，给定(00.5) ,常数 c 满足 P(X c),则P{Y c2} ____ (A) (B)1 (C)2 (D)12 [知识点]：随机变量及其分布 [解析]：答案：(C)2 由X ~t(n)的定义可知，存在随机变量U,V 满足U ~ N(0,1),V ~2(n)，且U,V 相 U U2 互独立，使得X  ，于是X2  ~ F(1,n)，从而 V /n V /n P{Y c2} P{X2 c2} P{X c}P{X c}2P{X c}2 因此，本题应选(C)2 [易错点]：学会将要求的概率转化为已知概率，本题中虽然X2和Y 同分布，但Y 不一定等 于X2.ln⁡(1+𝑥) 5.（数一二三）设𝑓(ln𝑥)= ，求 𝐼 =∫𝑓(𝑥)d𝑥. 𝑥 [知识点]：不定积分 [解析]：答案：𝑥−(1+𝑒−𝑥)ln(1+𝑒𝑥)+𝐶，其中𝐶为任意常数 令 ln𝑥 =𝑡，则 𝑥 =𝑒𝑡，故 𝑓(𝑡)=𝑓(ln𝑥)= ln(1+𝑒𝑡) ， 𝑒𝑡 ln(1+𝑒𝑥) 𝐼 =∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =∫ 𝑑𝑥 =−∫ln(1+𝑒𝑥) 𝑑(𝑒−𝑥) 𝑒𝑥 𝑒𝑥 =−𝑒−𝑥ln(1+𝑒𝑥)+∫ (1− ) 𝑑𝑥 1+𝑒𝑥 =𝑥−(1+𝑒−𝑥)ln(1+𝑒𝑥)+𝐶，其中𝐶为任意常数 [易错点]：本题难度不高，主要就是ln𝑥 =𝑡的代换。在进行ln𝑥 =𝑡的代换时，一定要明确 𝑥 =𝑒𝑡，并且在进行代换后，确保每一项都正确地转化到新的变量中。6.（数一二三） 1 (Ⅰ)求积分 𝐼 =∫ d𝑥(𝑛≥1,𝑎 >0) 的递推关系； 𝑛 (𝑥2+𝑎2)𝑛 3𝑥+4 (Ⅱ)计算 𝐼 =∫ d𝑥. (𝑥2+2𝑥+2)2 [知识点]：不定积分 [解析]：解析： 1 𝑥 2𝑛𝑥2 (Ⅰ)当𝑛 ≥1时，𝐼 =∫ d𝑥 = +∫ d𝑥 𝑛 (𝑥2+𝑎2)𝑛 (𝑥2+𝑎2)𝑛 (𝑥2+𝑎2)𝑛+1 𝑥 (𝑥2+𝑎2)−𝑎2 𝑥 = +2𝑛∫ d𝑥 = +2𝑛𝐼 −2𝑛𝑎2𝐼 ， (𝑥2+𝑎2)𝑛 (𝑥2+𝑎2)𝑛+1 (𝑥2+𝑎2)𝑛 𝑛 𝑛+1 1 𝑥 1 1 𝑥 故 𝐼 = [(2𝑛−1)𝐼 + ]，其中 𝐼 =∫ d𝑥 = arctan +𝐶. 𝑛+1 2𝑛𝑎2 𝑛 (𝑥2+𝑎2)𝑛 1 𝑥2+𝑎2 𝑎 𝑎 3𝑥+4 3 1 1 (Ⅱ)⁡𝐼 =∫ d𝑥 =∫ (2𝑥+2) d𝑥+∫ d𝑥 (𝑥2+2𝑥+2)2 2 (𝑥2+2𝑥+2)2 (𝑥2+2𝑥+2)2 3 1 1 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=− +∫ d(𝑥+1) 2𝑥2+2𝑥+2 [(𝑥+1)2+1]2 3 1 1 (𝑥+1)2 =− +∫ { − }d(𝑥+1) 2(𝑥+1)2+1 (𝑥+1)2+1 [(𝑥+1)2+1]2 3 1 1 1 1 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=− +∫ d(𝑥+1)+ ∫(𝑥+1)d[ ] 2(𝑥+1)2+1 1+(𝑥+1)2 2 (𝑥+1)2+1 3 1 𝑥+1 1 ⁡⁡⁡⁡⁡=− +arctan⁡(𝑥+1)+ − arctan⁡(𝑥+1)+𝐶 2(𝑥+1)2+1 2[(𝑥+1)2+1] 2 𝑥−2 1 = + arctan⁡(𝑥+1)+𝐶. 2(𝑥2+2𝑥+2) 2 [易错点]：本题难度不高，主要是计算定计算计算过程中的化简问题。现在时间已经接近最 终考试，同学们务必熟练掌握类似的积分题型。7.（数一二三）设𝐴是5×4矩阵，𝑟(𝐴)=2，已知𝛼 ,𝛼 ,𝛼 是非齐次线性方程组𝐴𝑥 =𝑏的三 1 2 3 个解向量，且𝛼 +𝛼 =(4,6,−8,4)𝑇，𝛼 =(1,2,−1,1)𝑇，又(0,1,−3,0)𝑇是𝐴𝑥 =0的解，求⁡ 1 2 3 𝐴𝑥 =𝑏的通解. [知识点]：线性方程组 0 2 1 1 2 2 [解析]：答案：𝑘 ( )+𝑘 ( )+( )⁡(𝑘 ,𝑘 ⁡为任意常数). 1 −3 2 −6 −1 1 2 0 2 1 由已知条件及⁡𝐴𝑥 =𝑏⁡⁡的通解结构，只需求⁡𝐴𝑥 =0⁡⁡的基础解系，而基础解系有⁡𝑛− 𝑟(𝐴)=4−2=2⁡个，(0,1,−3,0)T⁡是⁡𝐴𝑥 =0⁡的一个解，于是再求一个与⁡(0,1,−3,0)T⁡线 性无关的解即可. 注意到⁡𝛼 +𝛼 −2𝛼 ⁡是⁡𝐴𝑥 =0⁡的解，事实上， 1 2 3 𝐴(𝛼 +𝛼 −2𝛼 )=𝐴𝛼 +𝐴𝛼 −2𝐴𝛼 =𝑏+𝑏−2𝑏 =0， 1 2 3 1 2 3 且⁡𝛼 +𝛼 −2𝛼 =(4,6,−8,4)T−2(1,2,−1,1)T =(2,2,−6,2)T， 1 2 3 又⁡(2,2,−6,2)T⁡与⁡(0,1,−3,0)T⁡线性无关(分量不成比例)，所以⁡𝐴𝑥 =𝑏⁡的通解为 0 2 1 1 2 2 𝑘 ( )+𝑘 ( )+( )⁡(𝑘 ,𝑘 ⁡为任意常数). 1 −3 2 −6 −1 1 2 0 2 1 [易错点]：本题有结论：设⁡𝛼 ,𝛼 ,⋯,𝛼 ⁡是⁡𝐴𝑥 =𝑏⁡的⁡𝑛⁡个解，当⁡𝑘 +𝑘 +⋯+𝑘 =1⁡ 1 2 𝑛 1 2 𝑛 时，⁡𝑘 𝛼 +𝑘 𝛼 +⋯+𝑘 𝛼 ⁡也是⁡𝐴𝑥 =𝑏⁡的解. 1 1 2 2 𝑛 𝑛周周清 11.3-11.9 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1 1tanxsinkx 1.（数一二三）若lim  e，则k  ____ x01tanx2.（数一二三）若二阶常系数线性齐次微分方程 yayby0的通解为 y(C C x)ex, 1 2 则非齐次方程 yayby x满足条件 y(0)2,y(0)0的解为y ____3.（数一二三）设A(a )为3阶矩阵，A 为元素a 的代数余子式，若A的每行元素之和 ij ij ij 均为2，且 A 3，则A A A  ____ 11 21 314.（数一三）设随机变量 X ~2(n),Y ~ F(1,n) ，给定(00.5) ,常数 c 满足 P(X c),则P{Y c2}____ (A) (B)1 (C)2 (D)125.（数一二三）设 ，求 l n(1+ ) (ln )= =∫ ( )d .6.（数一二三） (Ⅰ)求积分 的递推关系； 1 =∫ 2 + 2 d ≥ 1, >0 (Ⅱ)计算 . 3 +4 =∫ 2 +2 +2 2 d 7.（数一二三）设 是 矩阵， ，已知 是非齐次线性方程组 的三 个解向量，且 5×4 ，=2 1, 2, ，3又 是 =的 解， 求 的通 解1+ 2 = 4,6,−8,4 3 = 1,2,−1,1 0,1,−3,0 =0 = .