文档内容
准考证号 姓名
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
2008 年江西高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 l至2页，第Ⅱ卷3至4页，
共150分．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上
粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．
若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝ πR3
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
P(k)＝CP (1一P)
n
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．定义集合运算： ．设 ，则集合
的所有元素之和为
A．0 B．2 C．3 D．6
3．若函数 的值域是 ，则函数 的值域是
A．[ ，3] B．[2， ] C．[ ， ] D．[3， ]
4． ＝
A． B．0 C．－ D．不存在5．在数列 中， ，则 ＝
A． B． C． D．
6．函数 在区间( ， )内的图象大致是
A B C D
7．已知 是椭圆的两个焦点．满足 · ＝0的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率
的取值范围是
A．(0，1) B．(0， ] C．(0， ) D．[ ，1)
8．(1＋ )6(1＋ )10展开式中的常数项为
A．1 B．46 C．4245 D．4246
9．若 ，且 ，则下列代数式中值最大的是
A． B． C． D．
10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2 、4
，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N
③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l
其中真命题的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一
时刻显示的四个数字之和为23的概率为
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若对于任一实数 ， 与
的值至少有一个为正数，则实数 的取值范围是
A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)绝密★启用前
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13．直角坐标平面内三点 ，若 为线段 的三等分点，则
· ＝ ．
14．不等式 ≤ 的解集为 ．
15．过抛物线 的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点
(点A在y轴左侧)，则 ＝ ．
16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，
容器内盛有 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 ．如果将容器倒置，水面也恰好过
点 (图2)．有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好
经过点
D．若往容器内再注入 升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中．a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，
a＝2 ，tan ＋tan ＝4，sin B sin C＝cos2 ．求A、B及b、c．
18．（本小题满分12分）
因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方
案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9
倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、
1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2
倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的
1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令
表示方案 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
（1）写出ξ、ξ的分布列；
1 2
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利
润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?19．（本小题满分12分）
等差数列 各项均为正整数， ，前 项和为 ，等比数列 中， ，且
， 是公比为64的等比数列．
（1）求 与 ；
（2）证明： ＋ ＋……＋ ＜ ．
20．（本小题满分12分）
正三棱锥 的三条侧棱 两两垂
直，且长度均为2． 分别是 的中点，
是 的中点，过 的一个平面与侧棱
或其延长线分别相交于 ，
已知 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的大小．
21．（本小题满分12分）
设点 在直线
上， 过点 作双曲 线 的两条 切线
，切点为 ，定点 ( ，0)．
（1）过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
试求△ 的重心 所在的曲线方程；
（2）求证： 三点共线．22．（本小题满分14分）
已知函数 ＝ ＋ ＋ ，x∈(0，＋∞)．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）对任意正数 ，证明： ．
参考答案
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D B A A D C D A C C B
1． .因 所以 对应的点在第四象限，
2． .因 ，
3． .令 ，则 ，
4． .
5. . ， ，…，
6．D. 函数
7． .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则
又 ,所以
8． . 常数项为
9. A.10． . 解：①③④正确，②错误。易求得 、 到球心 的距离分别为3、2，若两弦交于
，则 ⊥ ， 中，有 ，矛盾。当 、 、 共线时分别取最大
值5最小值1。
11. . 一天显示的时间总共有 种,和为23总共有4种,故所求概率为 .
12． . 解：当 时，显然不成立
当 时，因 当 即 时结论显然成立；
当 时只要 即可
即
则
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13. 14. 15. 16. B、D
13. 由已知得 ,则
14．
15.
16． 解：真命题的代号是： B D 。易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A
错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位
置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。
三.解答题：本大题共6小题，共74分。
17.解：由 得
∴ ∴∴ ，又
∴
由 得
即 ∴
由正弦定理 得
18.解：（1） 的所有取值为
的所有取值为 ,
、 的分布列分别为：
0.8 0.9 1.0 1.125 1.25
P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15
0.8 0.96 1.0 1.2 1.44
P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08
（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，
,
可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大
（3）令 表示方案 所带来的效益，则
10 15 20
P 0.35 0.35 0.3
10 15 20
P 0.5 0.18 0.32所以
可见，方案一所带来的平均效益更大。
19．解：（1）设 的公差为 ， 的公比为 ，则 为正整数，
，
依题意有 ①
由 知 为正有理数，故 为 的因子 之一，
解①得
故
（2）
∴
20．解 ：（1）证明：依题设， 是 的中位线，所以 ∥ ，
则 ∥平面 ，所以 ∥ 。
O
又 是 的中点，所以 ⊥ ，则 ⊥ 。
因为 ⊥ ， ⊥ ， A M C
1 F
所以 ⊥面 ，则 ⊥ ，
H C
1
A
N
因此 ⊥面 。 E
B
（2）作 ⊥ 于 ，连 。因为 ⊥平面 ，
B
1
根据三垂线定理知， ⊥ ，
就是二面角 的平面角。作 ⊥ 于 ，则 ∥ ，则 是 的中点，则 。
设 ，由 得， ，解得 ，
在 中， ，则， 。
所以 ，故二面角 为 。
解法二：（1）以直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系， 则
所以
所以
所以 平面
由 ∥ 得 ∥ ，故： 平面
(2)由已知 设
则 O
由 与 共线得:存在 有 得
C
A 1 F
C
1
A H
x E y
B
同理: B
1
z
设 是平面 的一个法向量,则 令 得
又 是平面 的一个法量
所以二面角的大小为
（3）由（2）知， ， ，平面 的一个法向量为 。
则 。
则点 到平面 的距离为
21．证明：（1）设 ，由已知得到 ，且 ， ，
设切线 的方程为： 由 得
y
x m
从 而 ,
N
解得 A
因此 的方程为： O P M x
同理 的方程为：
B
又 在 上 ， 所 以 ，
即点 都在直线 上又 也在直线 上,所以三点 共线
（2）垂线 的方程为： ，
由 得垂足 ，
设重心
所以 解得
由 可得 即 为重心 所在曲线方
程
22．解： 、当 时， ，求得 ，
于是当 时， ；而当 时， ．
即 在 中单调递增，而在 中单调递减．
（2）.对任意给定的 ， ，由 ，
若令 ，则 … ① ，而 … ②
（一）、先证 ；因为 ， ， ，
又由 ，得 ．
所以．
（二）、再证 ；由①、②式中关于 的对称性，不妨设 ．则
（ⅰ）、当 ，则 ，所以 ，因为 ，
，此时 ．
（ⅱ）、当 …③，由①得 , ， ，
因为 所以 … ④
同理得 … ⑤ ，于是 …
⑥
今证明 … ⑦, 因为 ，
只要证 ，即 ，也即 ，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得 ．
综上所述，对任何正数 ，皆有 ．
