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2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集
合 （A∩B）中的元素共有（ ）
U
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
∁
2．（5分）已知 =2+i，则复数z=（ ）
A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i
3．（5分）不等式 ＜1的解集为（ ）
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＜0}
4．（5分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相
切，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．
若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同
选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
6．（5分）设 、 、 是单位向量，且 ，则 • 的最小值为
（ ）
A．﹣2 B． ﹣2 C．﹣1 D．1﹣
7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A B C 的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC
1 1 1 1
上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC 所成的角的余弦值为
1
（ ）A． B． C． D．
8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（ ，0）中心对称，那
么|φ|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
10．（5分）已知二面角 α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β
的距离为 ，Q 到 α 的距离为 ，则 P、Q 两点之间距离的最小值为（
）
A．1 B．2 C． D．4
11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，
则（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数
C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇函数
12．（5分）已知椭圆C： +y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A l，线段AF
∈
交C于点B，若 =3 ，则| |=（ ）
A． B．2 C． D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．
14．（5分）设等差数列{a }的前n项和为S ，若S =81，则a +a +a = ．
n n 9 2 5 8
15 ． （ 5 分 ） 直 三 棱 柱 ABC﹣A B C 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 ， 若
1 1 1
AB=AC=AA =2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ．
1
16．（5分）若 ，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣
c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．
18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，
AD= ，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3局者获得这次比赛的
胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期
望．
20．（12分）在数列{a }中，a =1，a =（1+ ）a + ．
n 1 n+1 n
（1）设b = ，求数列{b }的通项公式；
n n
（2）求数列{a }的前n项和S ．
n n
21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交
于A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12 分）设函数 f（x）=x3+3bx2+3cx 有两个极值点 x 、x ，且 x [﹣1，
1 2 1
0]，x
2
[1，2]．
∈
（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的
∈
点（b，c）的区域；
（2）证明： ．
