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2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a A，b B}，则M
中元素的个数为（ ）
∈ ∈
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（5分） =（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i
3．（5分）已知向量 =（λ+1，1）， =（λ+2，2），若（ + ）⊥（ ﹣ ），
则λ=（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义
域为（ ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
5．（5分）函数f（x）=log （1+ ）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）
2
A． B． C．2x﹣1（x R） D．2x﹣1（x＞
∈
0）
6．（5分）已知数列{a }满足3a +a =0，a =﹣ ，则{a }的前10项和等于（
n n+1 n 2 n
）
A．﹣6（1﹣3﹣10）B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）
7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．18
8．（5分）椭圆C： 的左、右顶点分别为A 、A ，点P在C上且直线
1 2
PA 斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA 斜率的取值范围是（ ）
2 1A． B． C． D．
9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+ 是增函数，则a的取值范围是
（ ）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞）
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AA =2AB，则CD与平面BDC 所
1 1 1 1 1 1
成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜
率为k的直线与C交于A，B两点，若 ，则k=（ ）
A． B． C． D．2
12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣ ，则cotα= ．
14．（5 分）6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有
种．（用数字作答）
15．（5分）记不等式组 所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）
与D有公共点，则a的取值范围是 ．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径， ，则球 O的表面积等于
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列{a }的前n项和为S ．已知S =a 2，且S ，S ，S 成等比
n n 3 2 1 2 4
数列，求{a }的通项式．
n
18．（12 分）设△ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为 a，b，c，满足
（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC= ，求C．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB
与△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁
判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率
均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
21．（12分）已知双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为
F ，F ，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为 ．
1 2
（I）求a，b；
（II）设过 F 的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A、B 两点，且|AF |=|
2 1
BF |，证明：|AF |、|AB|、|BF |成等比数列．
1 2 2
22．（12分）已知函数 ．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{a }的通项a =1+ ．
n n
