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2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
参考公式：
样本数据 的方差 ，其中 。
棱锥的体积公式： ，其中 是锥体的底面积， 为高。
棱柱的体积公式： ，其中 是柱体的底面积， 为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应
位置上。
1、函数 的最小正周期为 ▲ 。
2、设 ( 为虚数单位)，则复数 的模为 ▲ 。
3、双曲线 的两条渐近线的方程为 ▲ 。
4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。
5、右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ▲ 。
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5次训练成绩（单位：环），
结果如下：
运动
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
员
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。
7、现有某类病毒记作为 ，其中正整数 可以任意
选取，则 都取到奇数的概率为 ▲ 。
8、如图，在三棱柱A B C -ABC中，D、E、F分别为AB、AC、A A 的中点，
1 1 1 1
设三棱锥F-ADE的体积为 ，三棱柱A B C -ABC的体积为 ，则 ：
1 1 1
= ▲ 。
9、抛物线 在 处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)。若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则 的取值范围是 ▲
。
10、设 D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，且 。若
( 、 均为实数)，则 + 的值为 ▲ 。
11、已知 是定义在R上的奇函数。当 时， ，则不等式
的解集用区间表示为 ▲ 。
12、在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的方程为 ，右焦点为F，右
准线为 ，短轴的一个端点为 B。设原点到直线 BF的距离为 ，F到 的距离为 。若
，则椭圆C的离心率为 ▲ 。
13、在平面直角坐标系xoy中，设定点A(a,a)，P是函数 图象上的一动点。若
点P、A之间的最短距离为 ，则满足条件的实数a的所有值为= ▲ 。
14、在正项等比数列 中， ，则满足
的最大正整数n的值为 ▲ 。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
已知向量 。
（1）若 ，求证： ；
（2）设 ，若 ，求 的值。
16、（本小题满分14分）如图，在三棱锥S-ABC中，平面 平面SBC, ，AS=AB。过A作 ，
垂足为F，点E、G分别为线段SA、SC的中点。
求证：（1）平面EFG//平面ABC；
（2） 。
17、（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线 ，设圆C的半径为1，圆心
在直线 上。
（1）若圆心C也在直线 上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标 的取值范围。
18、（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点 A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到
C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C。
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为
50米/分钟。在甲出发2分钟后，乙从A乘坐缆车到B，在B
处停留1分钟后，再从B匀速步行到C。假设缆车速度为130米/分钟，山路AC的长为1260米，经测量， 。
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围
内？
19、（本小题满分16分）
设 是 首 项 为 、 公 差 为 的 等 差 数 列 ， 为 其 前 项 和 。 记
，其中c为实数。
（1）若c=0，且 成等比数列，证明：
（2）若 为等差数列，证明：c=0。
20、（本小题满分16分）
设函数 ，其中 为实数。
（1）若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取值范围；
（2）若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论。21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若
多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC。
求证：AC=2AD。
B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵 ，求矩阵 ．
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线C的参数方程
为 （ 为参数）。试求直线 和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐
标。
D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知 ≥ ＞0，求证： ≥ 。
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱 中，AB⊥AC，AB=AC=2， =4，点D是BC的
中点。（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值。
23．（本小题满分10分）
设数列 ：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…， ，…
即 当 时 ， 。 记
。
对于 ，定义集合 =﹛ | 为 的整数倍， 且1≤ ≤ }
(1)求 中元素个数；
(2)求集合 中元素个数。
参考答案
1．【答案】π
【解析】T＝||＝||＝π．
2．【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝ ＝5．3．【答案】
【解析】令： ，得 ．
4．【答案】8
【解析】23＝8．
5．【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6．【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为： ．
方差为： ．
7．
【答案】
【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种
情况，则 都取到奇数的概率为 ．
8．
【答案】1：24 C
【解析】三棱锥 与三棱锥 的相似比为1：2，故体积之比为 1 B
1
A
1：8．又因三棱锥 与三棱柱 的体积之比为1：3．所
1
以，三棱锥 与三棱柱 的体积之比为1：24． F
C
E B
9．
A D
【答案】[—2，]
【解析】抛物线 在 处的切线易得为y＝2x—1，令z＝ ，y＝—x＋．
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z ＝—2，过点(，0)时，z ＝．
min max
y
y＝2x—
1
O
x
y＝—x
10．
【答案】【解析】
所以， ， ， ．
11．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出 ( )的图像，如下图所示。由于 是定义在 上的奇函
数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式 ，表示函数y＝
的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。
y
P(5,5)
y ＝
x y＝x2—4
x
x
Q( ﹣ 5, ﹣
5)
12． 【答案】
y l
【解析】如图，l：x＝ ， ＝ －c＝ ，由等
B
a
b
面积得： ＝ 。若 ，则 ＝ ，
c
O F x
整理得： ，两边同除以： ，
得： ，解之得： ＝ ，所
以，离心率为： ．
13．
【答案】1或
【解析】
14．
【答案】12【解析】设正项等比数列 首项为a ，公比为q，则： ，得：a ＝，
1 1
q ＝ 2 ， a ＝ 26 － n ． 记 ， ．
n
，则 ，化简得： ，当 时，
．当n＝12时， ，当n＝13时， ，故n ＝
max
12．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15．
解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，
所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，
所以， ．
（2） ，①2＋②2得：cos(α－β)＝－．
所以，α－β＝ ，α＝ ＋β，
带入②得：sin( ＋β)＋sinβ＝ cosβ＋sinβ＝sin( ＋β)＝1，
所以， ＋β＝ ．
所以，α＝ ，β＝ ．
16．
证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB， S
所以F为SB的中点．
E G
又E，G分别为SA，SC的中点，
F
所以，EF∥AB，EG∥AC．
C
又AB∩AC＝A，AB 面SBC，AC 面ABC， A
所以，平面 平面 ．
（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
B
AF 平面ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面SBC．
又BC 平面SBC，
所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以，BC⊥平面SAB．
又SA 平面SAB，
所以， ．
17． 解：（1）联立： ，得圆心为：C(3，2)．
设切线为： ，
y
d＝ ，得： ． l
A
故所求切线为： ． O x
（2）设点M(x，y)，由 ，知： ，
化简得： ，
即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．
又因为点 在圆 上，故圆C圆D的关系为相交或相切．
故：1≤|CD|≤3，其中 ．
解之得：0≤a≤．
18．
A
解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
M
设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，
B
N
AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，
D
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M， C
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，
其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：＝(min)．
若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．
此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．
若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．
此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．
故乙步行的速度应控制在[，]范围内．
19．
证：（1）若 ，则 ， ， ．
当 成等比数列， ，
即： ，得： ，又 ，故 ．由此： ， ， ．
故： （ ）．
（2） ，
． (※)
若 是等差数列，则 型．
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有： ，即 ，而 ≠0，
故 ．
经检验，当 时 是等差数列．
{b }
n
20．
1 1
解：（1） f (x) a≤0在(1,)上恒成立，则a≥ ， x (1，)．
x x
故：a≥1．
，
g(x) ex a
若1≤ ≤e，则 ≥0在 上恒成立，
a g(x) ex a (1,)
此时， 在 上是单调增函数，无最小值，不合；
g(x)ex ax (1,)
若 ＞e，则 在 上是单调减函数，在 上是单
a g(x)ex ax (1，lna) (lna，)
调增函数， ，满足．
g (x) g(lna)
min
故a的取值范围为：a＞e．
（2） ≥0在 上恒成立，则 ≤ex，
g(x) ex a (1,) a
故：a≤．
1 1ax
f (x) a (x 0)．
x x
(ⅰ)若0＜ ≤，令 ＞0得增区间为(0，)；
a f (x)令 ＜0得减区间为(，﹢∞)．
f (x)
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；
当x＝时，f()＝﹣lna－1≥0，当且仅当a＝时取等号．
故：当a＝时，f(x)有1个零点；当0＜a＜时，f(x)有2个零点．
(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．
1
(ⅲ)若a＜0，则 f (x) a 0在(0，)上恒成立，
x
即： 在 上是单调增函数，
f(x)lnxax (0，)
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．
此时，f(x)有1个零点．
综上所述：当a＝或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜a＜时，f(x)有2个零点．
