文档内容
2013 年江西高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。考试时间120分钟。
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘帖
的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若
在试题卷上答题，答案无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷
一.
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 复数z=i（-2-i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 若集合A=｛x∈R|ax2+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a=
A.4 B.2 C.0 D.0或4
3. （ ）
A. B. C. D.
4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是
A B. C. D.
5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，
选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来
的第5个个体的编号为
A.08 B.07 C.02 D.01
6. 下列选项中，使不等式x＜＜ 成立的x的取值范围是（ ）
A.（ ，-1） B. （-1，0） C.0，1） D.（1，+ ）7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是
A.S＜8 B. S＜9
C. S＜10 D. S＜11
8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为
A.200+9π
B. 200+18π
C. 140+9π
D. 140+18π
9. 已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相
交于点N，则|FM|：|MN|=
A.2: B.1:2 C. 1: D. 1:3
10.如图。已知l⊥l ，圆心在l 上、半径为1m的圆O在t=0时与l 相切
1 2 1 2于点A，圆O沿l 以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l 所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，
1 2
则y与时间t（0≤x≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图像大致为
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若曲线 （α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 。
12.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，
则需要的最少天数n（n∈N*）等于 。
13设f（x）= sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是 。
14.若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是 。
15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD,则直线EF与正方体的六
个面所在的平面相交的平面个数为 。
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分） 正项数列｛a｝满足 。
n
（1） 求数列｛a｝的通项公式a；
n n
（2） 令 ，求数列｛b｝的前n项和T。
n n
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.
（1） 求证：a，b，c成等差数列；
（2） 若C= ，求的值。
18．（本小题满分12分）
小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为以 O 为起点，再从
A,A,A,A,A,A（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量
1 2 3 4 5 6
积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋
（1）写出数量积X的所有可能取值
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率
19．（本小题满分12分）
如图，直四棱柱ABCD – ABCD 中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD= ，AA=3，E为CD上一点，
1 1 1 1 1
DE=1，EC=3
（1）证明：BE⊥平面BBCC;
1 1
（2）求点B1 到平面EAC 的距离
1 120.（本小题满分13分）
椭圆C: =1(a>b>0)的离心率 ，a+b=3
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶
点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点
M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值。
21．（本小题满分14分）
设函数 a 为 常数且a∈（0，1）.
（1）当a=时，求f（f（ ））；
（2）若x 满足f（f（x））= x 但f（x）≠x 则称x 为f（x）的二阶周期点，证明
0 0 0, 0 0， 0
函数 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x，x；
1 2
（3）对于（2）中x，x，设A（x,f（f（x））），B（x,f（f（x）））,C(a2,0)，
1 2 1 1 2 2
记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[ ,]上的最大值和最小值。2013 年江西高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。考试时间120分钟。
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘帖
的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若
在试题卷上答题，答案无效。
4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷
二.
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
3. 复数z=i（-2-i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[答案]：D
[解析]：Z＝-2i-i2 =1-2i 对应点这（1，-2）在第四象限
4. 若集合A=｛x∈R|ax2+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a=
A.4 B.2 C.0 D.0或4[答案]：A
[解析]：
3. （ ）
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析]：
4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是
A B. C. D.
[答案]：C
[解析]：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选C
5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，
选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来
的第5个个体的编号为
A.08 B.07 C.02 D.01
[答案]：D
[解析]：从第5列和第6列选出的两位数依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，
69，97，28，01，98，但编号必须不大于20的且不和前面重复的只能是08，02，14，07，01，
选D
6. 下列选项中，使不等式x＜＜ 成立的x的取值范围是（ ）
A.（ ，-1） B. （-1，0） C.0，1） D.（1，+ ）
[答案]：A
[解析]：令x=-2,不等式成立，只能选A。
7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是A.S＜8 B. S＜9
C. S＜10 D. S＜11
[答案]：B
[解析]：依次运行i=1,2,3,4,时s=0，5，8，9若输出i=4,则
表示s=8时运行是，s=9运行否，故选B
8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为
A.200+9π
B. 200+18π
C. 140+9π
D. 140+18π
[答案]：A
[解析]：还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5的长方体上面是半径为3高为2的半个
圆柱。
9. 已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相
交于点N，则|FM|：|MN|=
A.2: B.1:2 C. 1: D. 1:3
[答案]：C
[解析]：依题意可得 AF 所在直线方程为 代入 x2=4y 得
，又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）＝1:
10.如图。已知l⊥l，圆心在l 上、半径为1m的圆O
1 2 1
在t=0时与l 相切于点A，圆O沿l 以1m/s的速度匀
2 1
速向上移动，圆被直线l 所截上方圆弧长记为x，
2
令y=cosx，则y与时间t（0≤x≤1，单位：s）
的函数y=f（t）的图像大致为[答案]：B
[解析]：法1：取特值x=0时t=0,则y=1排除A，D，取 时 ,选B
法2：依题意可知 ，则 选B
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若曲线 （α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 。
[答案]：2
[解析]： ，则 ，故切线方程 过点（1，2）解得
12.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，
则需要的最少天数n（n∈N*）等于 。
[答案]：6
[解析]：直接计算2+4+8+16+32+64＝128得n=6, 或解 得
n为6.
13设f（x）= sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是 。
[答案]：
[解析]： 得 故
14.若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是 。
[答案]：[解析]：设圆心坐标为（x，y）,半径为 r，则 x=2,又 故 r= ，则
。
15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD,则直线EF与正方体的六
个面所在的平面相交的平面个数为 。
[答案]：4
[解析]：设CD的中点为M，连结EM，FM易证平面EFM 平面α，则EF与平面α平行，不会相
交，故EF只与其余四个面相交。
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分） 正项数列｛a｝满足 。
n
（3） 求数列｛a｝的通项公式a；
n n
（4） 令 ，求数列｛b｝的前n项和T。
n n
[解析]：
由于｛a｝是正项数列，则 。
n
（2）由（1）知 ，故
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.
（3） 求证：a，b，c成等差数列；
（4） 若C= ，求的值。
[解析]：（1）由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin2B因为sinB不为0，所以sinA+sinC=2sinB再由正弦定理得a+c=2b,所以a，b，c成等差数列
（2）由余弦定理知 得 化简得
18．（本小题满分12分）
小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏
规则为以 O为起点，再从 A,A,A,A,A,A （如图）这
1 2 3 4 5 6
6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两
个向量的数量积为 X，若X>0就去打球，若X=0就去唱
歌，若X<0就去下棋
（3）写出数量积X的所有可能取值
（4）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率
解：（1） x 的所有可能取值为-2 ，-1 ，0， 1。
（2）数量积为-2的只有 一种
数量积为-1的有 ， 六种
数量积为0的有 四种
数量积为1的有 四种
故所有可能的情况共有15种。
所以小波去下棋的概率为
因为去唱歌的概率为 ，所以小波不去唱歌的概率
19．（本小题满分12分）
如图，直四棱柱ABCD – ABCD 中，AB//CD，AD⊥AB，AB=2，AD= ，AA=3，E为CD上一点，
1 1 1 1 1
DE=1，EC=3
（3）证明：BE⊥平面BBCC;
1 1
（4）求点B1 到平面EAC 的距离
1 1解.（1）证明：过B作CD的垂线交CD于F，则
在
在 ，故
由
（2）
，
同理，
因此 。设点B1到平面 的距离为d，则
，从而
20.（本小题满分13分）
椭圆C: =1(a>b>0)的离心率 ，a+b=3
(3) 求椭圆C的方程；
(4) 如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶
点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点
M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值。
所 以 再 由 a+b=3 得
a=2,b=1,
①
将①代入 ，解得又直线AD的方程为 ②
①与②联立解得
由 三点共线可角得
所以MN的分斜率为m= ，则 （定值）
21．（本小题满分14分）
设函数 a 为 常数且a∈（0，1）.
（4）当a=时，求f（f（ ））；
（5）若x 满足f（f（x））= x 但f（x）≠x 则称x 为f（x）的二阶周期点，证明
0 0 0, 0 0， 0
函数 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x，x；
1 2
（6）对于（2）中x，x，设A（x,f（f（x））），B（x,f（f（x）））,C(a2,0)，
1 2 1 1 2 2
记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[ ,]上的最大值和最小值。
21.解：（1）当 时，
（
当 时，由 解得x=0,由于f（0）=0,故x=0不是f（x）的二阶周期点；
当 时由 解得
因故 是f（x）的二阶周期点；
当 时，由 解得
因 故 不是f（x）的二阶周期点；
当 时， 解得
因
故 是f（x）的二阶周期点。
因此，函数 有且仅有两个二阶周期点， ， 。
（3）由（2）得
则
因为a在[ ,]内，故 ，则
故
