文档内容
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试题类型：
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试题卷共5页，24题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题
卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对
应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合 ， ，则
（A）{1,3}（B）{3,5}（C）{5,7}（D）{1,7}
【答案】B
考点：集合运算
(2) 设 的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=
（A）−3（B）−2（C）2（D）3
【答案】A【解析】
试题分析： ，由已知，得 ，解得 ，选A.
考点：复数的概念
（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一
个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
考点：古典概
型
（4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知 ， ， ，则b=
（A） （B） （C）2（D）3
【答案】D
【解析】
试题分析：由余弦定理得 ，解得 （ 舍去），选D.
考点：余弦定理
1
（5）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的4，则该椭圆的离心率
为
1 1 2 3
（A）3（B）2（C）3（D）4
【答案】B
【解析】试题分析：如图，在椭圆中，
，
在 中， ，且 ，代入解得
，所以椭圆的离心率为： ，故选B.
考点：椭圆的几何性质
π 1
（6）将函数y=2sin (2x+6)的图像向右平移4个周期后，所得图像对应的函数为
π π π π
（A）y=2sin(2x+4) （B）y=2sin(2x+3) （C）y=2sin(2x–4) （D）y=2sin(2x–3)
【答案】D
考点：三角函
数图像的平移
（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是
28π
3 ，则它的表面积是（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图知：该几何体是 个球，设球的半径为 ，则 ，解得 ，
所以它的表面积是 ，故选A．学科&网
考点：三视图及球的表面积与体积
（8）若a>b>0，0cb
a b c c
【答案】B
考点：指数函
数与对数函数的性质
（9）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于 轴对称，因为 ，
所以排除 选项；当 时， 有一零点，设为 ，当 时， 为减
函数，当 时， 为增函数．故选D.
（10）执行右面的程序框图，如果输入的 n=1,则输出 的值满足
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】
试题分析：第一次循环： ，第二次循环： ，
第三次循环： 此时满足条件 ，循环结束，输出 ，满足 ．故
选C.
考点：程序框图与算法案例
（ 11 ） 平 面 过 正 方 体 ABCD—ABC D 的 顶 点 A ， , ，
1 1 1 1
，则m，n所成角的正弦值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
考点：平面的
截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角.（12）若函数 在 单调递增，则a的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
考点：三角变
换及导数的应用
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题
为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a b，则x= .
【答案】
【解析】
试题分析：由题意，
考点：向量的数量积及坐标运算
（14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+ )= ，则tan(θ– )= .【答案】
【解析】
试题分析：由题意， 解得
所以 ，
考点：三角变换
（15）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若 ，则圆C的面积
为 .
【答案】
考点：直线与
圆
（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，
乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产
品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在
不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
【答案】将 变形，得 ，作直线： 并平移，当直线 经过
点 时， 取得最大值.
解方程组 ，得 的坐标为 .
所以当 ， 时， .
故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.考点：线性规划的应用
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（ 17 ） （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 是 公 差 为 3 的 等 差 数 列 ， 数 列 满 足
.
（I）求 的通项公式；
（II）求 的前n项和.
【答案】（I） （II）
；
考点：等差数
列与等比数列
（18）（本小题满分12分）如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC
内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.
（I）证明：G是AB的中点；
（II）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【答案】（I）见解析；（II）作图见解析，体积为
.
【解析】
试题分析：证明 由 可得 是 的中点. （II）在平面 内，过点 作 的
平行线交 于点 ， 即为 在平面 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且 ，
可得 在等腰直角三角形 中，可得 四面体 的体积（II）在平面 内，过点 作 的平行线交 于点 ， 即为 在平面 内的正投影.
理由如下：由已知可得 ， ，又 ,所以 ,因此
平面 ，即点 为 在平面 内的正投影.
连结 ，因为 在平面 内的正投影为 ，所以 是正三角形 的中心.
由（I）知， 是 的中点，所以 在 上，故
由题设可得 平面 ， 平面 ，所以 ，因此
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 ，可得
在等腰直角三角形 中，可得
所以四面体 的体积
考点：线面位置关系及几何体体积的结束
（19）（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，
在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则
每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使
用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单
位：元）， 表示购机的同时购买的易损零件数.
（I）若 =19，求y与x的函数解析式；
（II）若要求“需更换的易损零件数不大于 ”的频率不小于0.5，求
的最小值；
（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计
算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19
个还是20个易损零件？
【答案】（I） （II）19；（III）19.
；
【解析】
（Ⅱ）由柱状
图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故 的最小值为19.
（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用
为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均
数为
.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为
4000，10 台的费用为 4500，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
.
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
考点：函数解析式、概率与统计（20）（本小题满分 12 分）在直角坐标系 中，直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：
于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.
（I）求 ；
（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
【答案】（I）2；（II）没有.
【解答】
（ Ⅱ ） 直 线
与 除 以外没有其它公共点.理由如下：
直 线 的 方 程 为 ， 即 . 代 入 得 ， 解 得
，即直线 与 只有一个公共点，所以除 以外直线 与 没有其它公共点.
考点：直线与抛物线
（21）（本小题满分12分）已知函数 .(I)讨论 的单调性；
(II)若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】(I)见解析；(II)
.考点：函数单
调性，导数应用
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心， OA为半径作圆.
(I)证明：直线AB与 O相切；
(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.
【答案】(I)见解析；(II)见解析.
【解析】
试题分析：(I)设 是 的中点，证明 ；(II) 设 是 四点所在圆的圆心，作直
线 ，证明 ， ，由此可证明 ．
试题解析：（Ⅰ）设 是 的中点，连结 ，
因为 ，所以 ， ．在 中， ，即 到直线 的距离等于⊙O半径，所以直线 与⊙ 相切．
（Ⅱ）因为 ，所以 不是 四点所在圆的圆心，设 是 四点所在圆
的圆心，作直线 ．
由已知得 在线段 的垂直平分线上，又 在线段 的垂直平分线上，所以 ．
同理可证， ，所以 ．
考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系x y中，曲线C 的参数方程为 （t为参数，a＞0）．在以坐
1
标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ= .
2
（I）说明C 是哪一种曲线，并将C 的方程化为极坐标方程；
1 1
（II）直线C 的极坐标方程为 ，其中 满足tan =2，若曲线C 与C 的公共点都在C 上，求a．
3 1 2 3
【答案】（I）圆， （II）1.
；
【解析】考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数 .
（I）画出 的图像；
（II）求不等式 的解集．【答案】（I）见解析；（II）
.考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法
