专题1-6二倍角的解题策略：倍半角模型与绝配角（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_教师版（含答案解析）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 1－6 二倍角的解题策略：倍半角模型与绝配角 导语：见到2倍角的条件，首先想到“导”，将图形中的角度都推导出来，挖掘出隐藏边的信息，再观察 角度的位置，结合其他条件，这里做题的经验，总结了六个字：翻、延、倍、分、导、造 目录 知识点梳理............................................................................................................................................................... 策略一：向外构造等腰（大角减半）.......................................................................................................... 策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半）...................................................................................... 策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍）.................................................................................................. 策略四：邻二倍角的处理.............................................................................................................................. 【经典例题讲解】.......................................................................................................................................... 【一题多解1】围绕2倍角条件，解法围绕“翻” “延” 倍”“分”........................................... 【一题多解2】常规法与倍半角处理对比................................................................................................... 策略五：绝配角模型...................................................................................................................................... 题型一 向外构造等腰三角形（大角减半）...................................................................................................... 2023·深圳南山区联考二模............................................................................................................................. 2023·山西·统考中考真题................................................................................................................................ 题型二 向内构造等腰（小角加倍或大角减半）.............................................................................................. 题型三 沿直角边翻折半角（小角加倍）.......................................................................................................... 2023·深圳宝安区二模................................................................................................................................. 2023·深圳中学联考二模............................................................................................................................. 题型四 邻二倍角的处理...................................................................................................................................... 题型五 绝配角....................................................................................................................................................... 题型六 坐标系中的二倍角问题.......................................................................................................................... 宿迁·中考......................................................................................................................................................... 盐城·中考......................................................................................................................................................... 河南·中考......................................................................................................................................................... 2023·内蒙古赤峰·统考中考真题.................................................................................................................... 江苏苏州·统考中考真题................................................................................................................................. 内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题..................................................................................................................... 2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题........................................................................................................... 2023·湖北黄冈·统考中考真题........................................................................................................................ 题型七 其它构造方式.......................................................................................................................................... 资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 知识点梳理 策略一：向外构造等腰（大角减半） 已知条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB A D B C 辅助线作法：延长CB到D，使BD＝BA，连接AD 结论：AD＝AC，△BDA∽△ADC 策略二：向内构造等腰（小角加倍或大角减半） 已知条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠B A B C 辅助线作法：法一：作∠ABC的平分线交AC于点D，结论：∠DBC＝∠C，DB＝DC A D B C 法二：在BC上取一点E，使AE＝CE，则∠AEB＝2∠C＝∠B（作AC中垂线得到点E） A B E C 总结：策略一和策略二都是当2倍角和1倍角共边时对应的构造方法，下面我们再来看看不在同一个三角 形中时该如何处理 策略三：沿直角边翻折半角（小角加倍） 已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，连接AD，∠B＝2∠CAD A B D C E 辅助线作法：沿AC翻折△ACD得到△ACE 资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 结论：AD＝AE，∠DAE＝∠B，BA＝BE，△ADE∽△BAE 策略四：邻二倍角的处理 已知条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边BC上一点，∠BAD＝2∠CAD A 2αα B D C 辅助线作法： 法一：向外构造等腰（导角得相似） 延长AD到E，使AE＝AB，连接BE 结论：BD＝BE，∠DBE＝∠BAD，△BDE∽△ABE A 2αα B 2α D C E 法二：作平行线，把二倍角转到同一个三角形中 延长AD到F，使CE∥AB，则∠F＝∠BAD A 2αα B D C F 【经典例题讲解】 例题1如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF 的长是( ) A． B． C． D． 资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D F B E C 【简析】(1)方法一(常规解法)：如图，连接EF，易证△AEF为等边三角形， A D F B E C 且△ADF≌△ABE(HL)，则DF＝BE，从而CF＝CE，即△CEF为等腰直角三角形；设CF＝x， 则DF＝1－x，AF＝EF＝ x，在Rt△ADF中，由勾股定理可得1＋(1－x)2＝2x2， 解得x＝ －1(x＝－ －1舍去)，故选C； 方法二(倍半角模型)：如图，在边AD上取点P，使AP＝PF， A P D F B E C 同上可得△ADF≌△ABE(HL)，则∠DAF＝∠BAE＝15°，从而∠DPF＝30°；设DF＝x，则PD＝ x，AP ＝PF＝2x，故AD＝(2＋ )x＝1，解得x＝2－ ，∴CF＝ －1，选C 例题2如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE，交BC于点F，将△ADE绕点A 顺时针旋转90°得△ABG，则CF的长为 ． A D E G B F C 资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D E G B F C 图17-2-3 P 【简析】(1)方法一(常规解法)：由题可得∠AFG＝∠DAF＝∠DAE＋∠EAF＝∠BAG＋∠BAF＝∠FAG，即 ∠AFG＝∠FAG，故FG＝AG＝AE＝2 ，从而CF＝CG－FG＝6－2 ； 方法二(倍半角模型)：如图17－2－3，延长AF、DC交于点P，易得∠P＝∠BAF＝∠EAF，则PE＝AE ＝2 ，故CP＝2 －2，DP＝2 ＋2：又易证△PCF∽△PDA，故 ，即 ， 从而CF＝6－ ； 【反思】方法一的关键是通过导角得到等腰△AFG，方法二由“倍角∠AED”造“半角∠P”，并且这里的 构造是通过“角平分线＋平行线→等腰三角形”自然衍生出来的 例题3 如图，面积为24的□ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD 交BC的延长线于点 E，DE＝6，则sin∠DCE的值为( ) A D B C E 【简析】方法一(常规解法)：如图，作DG⊥BE于点G，由题易得∠CBD＝∠ABD＝∠CDB，则BC＝CD； 进一步由DE⊥BD，可得∠CDE＝∠E，则CD＝CE＝BC，从而 S□ABCD＝2S BCD＝S BDE，即S BDE＝ 24，故BD＝8，BE＝10，所以DG＝ ，CD＝5，sin∠DCE＝ ，选A△ △ △ A D B C G E 方法二(倍半角模型)：如图，在BD上取点F，使EF＝BF，易证∠DFE＝2∠EBF，∠DCE＝2∠EBF，故 ∠DFE＝∠DCE，要求sin∠DCE的值，只需求sin∠DFE；设EF＝BF＝x，同上可得BD＝8，则DF＝8－x， 在Rt△DEF中，由勾股定理可得 36＋(8－x)2＝x2，解得 x＝ ，从面 sin∠DFE＝ ，即 资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 sin∠DCE＝ ，选A． A D F B C E 【反思】方法一通过作高是线构造 Rt△CDG，结合面积法求解，方法二由“半角∠CBD”造“倍角 ∠DFE”，结合勾股定理列方程求． 例题4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点 E，则DE＝_________． A D E B C 简析(1)方法一(常规解法)：由题得∠CBD＝∠ABD＝∠D，则CD＝BC＝6；又易得△CDE∽△ABE，则 ＝ ＝ ＝ ，故CE＝ AC＝3，从而BE＝3 ，DE＝ BE＝ ； 方法二(倍半角模型)：如图，延长CB至点F，使BF＝AB＝10，连接AF，由题可得AC＝8，CF＝16，则 tan∠F＝ ；又易得∠CBE＝∠F，故 tan∠CBE＝ ，即 ＝ ，从而 CE＝3，BE＝3 ；再作 CG⊥BD于点G，易得BG＝ BC＝ ；同上可得CB＝CD，故BD＝2BG＝ ，因此DE＝BD－ BE＝ ； A D E G F B C 图17-3-3 总结：具体问题具体对待，并非哪一种方法绝对简单，需根据问题特征选取较为合适的方法． 【一题多解 1】围绕 2 倍角条件，解法围绕“翻” “延” 倍”“分” 如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AB＝3，BC＝5，求线段AC的长． 资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A 2α α B C 法1：延长或翻折向外构造等腰（双等腰） A α 3 α 2α α D 3 B 1 E 4 C 易知 法2：翻折或取点向内构造等腰（双等腰） A α 3 3 2α 2α α B E G 3 C 法3：作角平分线 A y H 3 x x α α α B 5 C 易知△ABH∽△ACB 法4：翻折一边+平行线向外作等腰(补成等腰梯形) 资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A 3 M α 3 3 α 2α α B 1 E C 法5：向外延长作等腰 易知△ABC∽△ADC A 3 2α α B 5 α C 5 α H 【一题多解 2】常规法与倍半角处理对比 如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是⊙O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段OB上的一个动点，连 接OD、CE、DE，已知AB＝2 ，BC＝2，当CE＋DE的值最小时，则 的值为( ) D C A O E B A． B． C． D． 简析(1)方法一(常规解法)：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，交AB于点E，连接CE，此时CE ＋DE取得最小值，且 ＝ ；再作DG⊥AB于点G，连接OC、BD，易证△OBC≌△ODC，则∠BOC 资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ＝∠DOC＝∠A，故sin∠A＝sin∠BOC＝ ，cos∠A＝cos∠BOC＝ ，从而BD＝ABsin∠A＝ ； 又易证∠BDG＝∠A，故DG＝BDcos∠BDG＝BDcos∠A＝ × ＝ ；由△C′BE∽△DGE，可得 ＝ ＝ ，因此 ＝10，选A； D C A OG E B C' 方法二(倍半角模型)：如图17－4－3，同上作相关辅助线，易得∠DOG＝2∠BOC；在OB上取点F，使OF ＝CF，则∠BFC＝2∠BOC＝∠DOG；设OF＝CF＝x，则BF＝ －x，在Rt△BCF中，由勾股定理得4＋( －x)2＝x2，解得x＝ ，故sin∠DOG＝sin∠BFC＝ ，从而DG＝ODsin∠DOG＝ ，下略； D C A OG E F B C' 方法三(面积法)：如图17－4－4，同上作相关辅助线(为说理方便，省去部分线段)，则∠DOG＝2∠BOC＝ ∠COC′；再作CH⊥OC′于点H′，易得CH＝ ＝ ，故sin∠DOG＝sin∠COC′＝ ，下略． D C G A O B H C' 反思：本题结构相当于已知“半角∠BOC”求“倍角∠DOG”，方法一通过作高法，构造直角三角形求解； 方法二构造“倍半角模型”，结合勾股定理列方程求解；方法三依然基于导角分析，借助对称性，结合面 积法求解．以上提供的三种方法都是“倍半角”处理的常见方法． 如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F． (1)求证：DO//AC； (2)求证： (3)若tan ，求sin∠CDA的值。 资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C D E F A B O 简析(1)如图，连接OC，易证DO⊥BC且AC⊥BC，故DO//AC； C D E F A O G B (2)由题可得∠BCD＝∠CAD，故△DCE∽△DAC，进一步可证 ； (3)方法一(母子型相似)：由 可得 ；又△DCE∽△DAC，故 ；设 DE＝k，则DC＝2k，DA＝4k，AE＝3k；又易证 ，故 ；由此再设FE＝m，则CE＝3m， CF＝4m，从而BC＝8m，AC＝6m，因此AB＝10m，sin∠B＝ ，即 ； 方法二(角平分线之双垂法)：如，作EG⊥AB于点G，易证△AEC≌△AEG；由tan∠CAD＝ ， C D E F A O G B 可设CE＝1，AC＝2，则EG＝1，AG＝2；又易得△BEG∽△BAC， ＝ ＝2，；再设BG＝x， 则BC＝2x，BA＝BG＋AG＝x＋2，BE＝BC－CE＝2x－1，从而有x＋2＝2(2x－1)，解得 所以AB＝ ，即 ； 方法三(角平分线之对称策略)：如图，连接BD并延长，交AC的延长线于点P，由题可设BD＝PD＝1， 资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 P C D E F A B O 则 AD＝2，AB＝AP＝ ；又 sin∠PBC＝sin∠PAD＝ ，故 PC＝PB·sin∠PBC＝ 从而 AC＝ 因此 即 方法四(倍半角模型)：如图17－14－4，在AC上取点M，使AM＝EM，则∠CME＝2∠CAD＝∠BAC； C D M E F A B O 由题可设 CE＝1，AC＝2，再设 AM＝ME＝x，则 CM＝2－x，在 Rt△CME 中，由勾股定理可得 解得 ，从而 ，故 ，即 ，所以 反思：本题的结构为已知“半角∠CAD"求"倍角∠BAC"，从而转化为其余角∠CDA。以上提供的前三种方 法都是借助相似或三角函数等进行计算，属常规思路，方法四基于导角分析，构造“倍半角模型”，显得 尤为简单、直接，直指问题本质。 策略五：绝配角模型 【释义】当m，n 两个角满足m＋2n＝180°时，称其为一对绝配角，或者：半角的余角与它本身称为绝配 角 【举例】常见的剧配角组合如下： 绝配角 组合1 组合2 组合3 组合4 组合5 m 2α 90＋2α 90－2α 60＋2α 60－2α n 90－α 45－α 45＋α 60－α 60－α 【解 决】 思路(一)：根据三角形内角和是180°，构造等腰三角形。 资11料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 思路(二)：根据平角是180°，m和2个n构成一个平角(有两条边在同一直线上) 用一句话概括为：有等腰找等腰，没等腰造等腰 其中“等腰”指的是以m为顶角、以n为底角的等腰三角形，了解绝配角模型，可以给我们提供一些辅助 线思路 （一）共顶共边翻折 当两个角满足两个角满足m＋2n＝180°时，且共顶点共一边，这样的两个角是什么样的呢? C B m 90°- 2 m A D O 发现 OD为∠AOB邻补角的平分线，此时处理问题一般用翻折，把 OB 沿 OD 翻折． 例题1：已知Rt△ABC中∠C＝90°， ， ，求 的值． A A 2t 90°-t 绝配角 E E t D C D C 方法一：分析： 与∠DAC是共点A的绝配角， 绝配角重叠，要翻折两次． 资12料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 F A E D C G 解：将△AEC关于AE作轴对称图形，将△ADC关于AC作轴对称图形，如图，△EFG为直角三角形 设 ， 则 ， 即可求出 方法二：分析：由于∠CAD＝2t，构造一个以∠A为顶点的等腰△ADK，然后出现△ECA~△DCK A 2t E t C D K 解：构造以∠A为顶点的等腰△ADK(AD＝AK)． 导角易得∠CDK＝∠AEC，△ECA~ADCK ，设CK＝x，AC＝4x，AD＝5x，DC＝3x，ED＝9x (二)共三角形等腰 (1)若 为同一个三角形的内角，则此时三角形为等腰三角形． (2)若 分别为同一个三角形的内角和外角，则另一内角为 ，此时三角形为等腰三角 形 (3)若 分别为同一个三角形的内角和外角，此时可以以 m为顶角作等腰三角形，此时会构成 资13料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 另一个相似的等腰三角形． (4)若 为同一个三角形的内角，与(3)的情况相同． 总结：“半角的余角，等腰形来找” 例题2：如图在矩形ABCD中，点E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，且∠ABE＝2∠FBC，若BE ＝5，则BF的长度为 ． A E D A E D F F 2α 90°-α α C B C B 解法一：将△BFC 沿 CB 翻折，交 DC 的延长线于点 G，延长 CD 交 BE 的延长线于点 H， , ，△BHG为等腰，5x＝10，x＝2，AE＝3，BC＝6，BF＝ ． H H 2α 2α 2x 5 E E A D A D x F 5 F 2α 90°-α 2α 90°-α x α C C B α B x 90°-α 90°-α G G 解法二： 连接并延长交BA的延长导角，得出△FHC为等腰三角形，平行不改变形状，△GBH为等腰三角形。根据 腰等得出10－x＝4x，可求BF＝ 资14料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 G G 2α 2α 2x 5 A E D A E D 5-x F 2x F 90°-α 90°-α H H 2α 2α 2α x 2α α α B C B C 解法三：取AB中点G，连接CG，延长BE交CD的延长线于点H，得到△BCF≅△CBG，导角得出△BGK为 等腰平行不改变形状，△HKC也为等腰。根据腰等得出10－x＝4x，可求BF G 5 2x E A D x G F 90-α 90-α x K x 2α x α B C 以上三种解法都是利用造全等，转移角，构等腰，得出边的等量关系来求解。 此题还可以构直接造等腰。用相似得出边的数量关系求解。请看解法四 解法四：可以直接利用∠ABE=2α,构等腰△GBE，△BCF △EAG .根据腰等得出 , 可求BF ∼ G x 90-α E D 2 α A x 2x F x 2α α B C 重点题型·归类精练 资15料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型一 向外构造等腰三角形（大角减半） 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BC＝a，AC＝b，AB＝c，探究a，b，c满足的关系． A B C 解：延长CB到D，使BD＝AB＝c，连接AD． A D B C 则∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝2∠D． ∵∠ABC＝2∠C，∴∠D＝∠C， ∴AD＝AC＝b，△BAD∽△ACD， ∴＝，∴＝， ∴b2＝c(a＋c)． 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AB＝3，AC＝2，求BC的长． A B C 解：延长CB到D，使DB＝AB＝3，连接AD． A D B C 则∠D＝∠DAB，∴∠ABC＝2∠D． ∵∠ABC＝2∠C，∴∠C＝∠D＝∠DAB， ∴AD＝AC＝2，△BDA∽△ADC， ∴＝，∴＝， ∴CD＝8，∴BC＝5． 2023·深圳南山区联考二模 3．一副三角板按如图1放置，图2为简图，D为AB中点，E、F分别是一个三角板与另一个三角板直角边 资16料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AC、BC的交点，已知AE=2，CE=5，连接DE，M为BC上一点，且满足∠CME=2∠ADE，EM= ． 【答案】 【分析】由CE=5， AE=2，得AC=7，利用勾股定理，得到AD的长度，过E作EN⊥AD于N，求出EN 和DN的长度，由于∠CME=2∠ADE，延长MB至P，是MP=ME，可以证明 ，MP=x，在 中，利用勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：如图，过E作EN⊥AD于N， ∴NE= NA， 同理， 资17料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 延长MB至P，使MP=ME，连接PE， ∴可设 又 设 则 在 中， 2023·山西·统考中考真题 4．如图，在四边形 中， ，对角线 相交于点 ．若 ，则 的长为 ． 【答案】 【思路点拨】过点 A 作 于点 H，延长 ， 交于点 E，根据等腰三角形性质得出 ，根据勾股定理求出 ，证明 ，得出 ， 根据等腰三角形性质得出 ，证明 ，得出 ，求出 ，根据勾股定理求 出 ，根据 ，得出 ，即 ，求出结果即 可． 资18料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：过点A作 于点H，延长 ， 交于点E，如图所示： 则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得： ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 解得： 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交 AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF． (1)求证：BC是⊙O的切线； 资19料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)求⊙O的半径r及∠3的正切值． B E 3 O D 1 2 C F A 图17-8-1 简析(1)如图，连接OD，由题易得∠2＝∠1＝∠ODA，则OD∥AC，故∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC， 所以BC是⊙O的切线； (2)方法一(常规解法)：由OD∥AC，可得△BOD∽△BAC，则 ＝ ，即 ＝ ，解得r＝ ； 又可 ＝ ，故 ＝ ，从而 ＝ ，即CD＝ BC＝3，所以tan∠3＝tan∠2＝ ＝ ； B E 3 D O 1 2 C F A 图17-8-2 方法二(倍半角模型)：如图17－8－3，延长CA至点P，使AP＝AB＝10，易证∠3＝∠2＝∠1＝∠P，故 tan∠3＝tan∠P＝ ＝ ；又由tan∠2＝ ，可得CD＝3，故BD＝5，从而易得r＝OD＝ BD＝ ． B E 3 O D 1 2 C F A P 6．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB·PA． (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)已知PC＝20，PB＝10，点D是弧AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长． C E A F O B P D 图17-9-1 资20料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 简析(1)如图，连接OC，由PC2＝PBPA，可得 ＝ ，又∠P＝∠P，故△PCB∽△PAC，从而∠PCB＝ ∠A＝∠ACO，进一步可证∠OCP＝∠ACB＝90°，即OC⊥CP，所以PC是⊙O的切线； (2)方法一(常规解法)：连接 OD，易证 OD⊥AB；由 PC2＝PBPA，可得 PA＝40，AB＝30；又由 △PCB∽△PAC，可得 ＝ ＝ ，故tan∠D＝tan∠A＝ ，从而OF＝ OD＝ ，AF＝OA－OF＝ ，进一步可得EF＝AFsin∠A＝ ； C E A F O B P D 方法二(倍半角模型)：同上可得AB＝30，则OC＝15，OP＝25，即OC：CP：OP＝3：4：5；如图17－9－ 3，延长CO至点Q，使OQ＝OP，易得tan∠D＝tan∠A＝tan∠Q＝ ，下略． C E O A F B P D Q 图17-9-3 反思：这是一个确定性问题，其结构相当于已知“倍角∠POC”求“半角∠A”，方法一利用“母子型相思 似”求解，方法二构造“倍半角模型”求解，相对而言，前者更简单，后者更通用 题型二 向内构造等腰（小角加倍或大角减半） 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB上一点，∠ACD＝2∠B，＝，求cosB的值． A D B C 解：过点C作CE⊥AB于点E． A E D B C 资21料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝90°－∠BCE＝∠B． ∵∠ACD＝2∠B，∴∠ACD＝2∠ACE， ∴∠ACE＝∠DCE，∴∠A＝∠CDE， ∴AC＝DC，∴AE＝DE． 设AE＝DE＝a，则AD＝2a，BD＝6a，BE＝7a． ∵∠ACE＝∠B，∠AEC＝∠CEB＝90°， ∴△CEA∽△BEC，∴＝， ∴＝，∴CE＝a，∴BC＝＝2a， ∴cosB＝＝＝． 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边BC上一点，∠BAD＝2∠C，BD＝2，CD＝3，求AD的 长． A B D C 解：过点A作AE⊥BC于点E． A B E D C ∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝90°－∠CAE＝∠C． ∵∠BAD＝2∠C，∴∠BAD＝2∠BAE， ∴∠BAE＝∠DAE，∴∠B＝∠ADE， ∴AB＝AD，∴BE＝DE＝ BD＝1，∴CE＝4． ∵∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠CEA＝90°， ∴△ABE∽△CAE，∴＝， ∴＝，∴AE＝2，∴AD＝＝． 9．如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE． (1)求证：△ACB是等腰直角三角形； (2)求证：OA2＝OEDC； (3)求tan∠ACD的值． C M A E O B D 图17-10-1 简析(1)由题易得∠ABC＝45°，从而易证△ACB是等腰直角三角形； 资22料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)如图，连接OC、OD，易证∠DOE＝∠D＝∠OCD，故△DOE∽△DCO，从而易得OD2＝DEDC，即 OA2＝OEDC； C M E A O B D 图17-10-2 (3)方法一(倍半角模型)：如图，连接AD、BD，设∠ACD＝x，则∠ABD＝x，∠AOD＝2x，从而∠CEO＝ 4x，∠CAE＝3x＝45°，所以x＝15°；在BD上取点F，使AF＝BF，则∠AFD＝30°；由此可设AD＝k，则 DF＝ k，AF＝BF＝2k，从而BD＝(2＋ )k，故tan∠ABD＝ ＝2－ ，即tan∠ACD＝2－ ； C M E O A B F D 图17-10-3 方法二(解三角形)：同上可得∠ACD＝15°，则∠BCE＝75°，∠BEC＝60°；如图17－10－4，作EG⊥BC于 点G，可设OE＝1，则OB＝OC＝ ，BC＝ ，BE＝ ＋1，从而BG＝EG＝ ＝ ，CG＝ BC－BG＝ ，故tan∠ACD＝tan∠CEG＝ ＝2－ ． C G M E O A B D 图17-10-4 反思：(2)主要通过换边，结合相似证乘积式；(3)通过导角得到15°，方法一借助“倍半角模型”，由特殊 角30°求“特殊半角”15°，方法二的本质是解△BCE，显然前者更为简便 10．如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝2∠BDC，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，求BC的长． A D B C 解：过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥BE于点F． 资23料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A E F D B C ∵AB＝BD，∴AE＝DE，∠ABE＝2∠DBE， ∴∠ABD＝2∠DBE． ∵∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDC＝∠DBE， ∴CD∥BE，∴CD⊥AD， ∴四边形CDEF是矩形，AD＝＝， ∴EF＝CD＝1，AE＝DE＝， ∴BE＝＝，∴BF＝BE－EF＝， ∴BC＝＝． 11．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC的中点，AE是BC边上的高，若AE＝4，CE＝2，求DE的 长． A B D E C 解：取AB的中点M，连接MD，ME． A M B D E C ∵点D是BC中点，∴MD是△ABC的中位线， ∴MD∥AC，MD＝ AC，∴∠BDM＝∠C． ∵∠C＝2∠B，∴∠BDM＝2∠B． ∵AE是BC边上的高，∴∠AEB＝90°， ∴ME＝ AB＝MB，∴∠B＝∠MED， ∴∠BDM＝2∠MED，∴∠DME＝∠MED， ∴DE＝DM＝ AC＝＝． 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE为BC边上的中线，BD＝3，DE＝2，求AE 的长． 资24料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A B D E C 解：延长CB到F，使BF＝AB，连接AF． A F B D E C 则∠F＝∠BAF，∴∠ABC＝2∠F． ∵AE是中线，∴BE＝EC，∴BD＋DE＝EC． ∵∠ABC＝2∠C，∴∠F＝∠C，∴AF＝AC． ∵AD⊥BC，∴DF＝DC，∴BF＋BD＝DE＋EC， ∴AB＋BD＝DE＋BD＋DE，∴AB＝2DE＝4， ∴AD2＝AB2－BD2＝7，∴AE＝＝． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D为BC边上一点，BD＝2DC，点E在AD的延长线上，∠ABC＝ 2∠DEC，AD·DE＝18，求sin∠BAC的值． A C B D E 解：延长CB到F，使BE＝AB，连接AF，过点A作AG⊥BC于点G，过点B作BH⊥AC于点H． 则∠F＝∠BAF，∴∠ABC＝2∠F． A H C F B G D E ∵∠ABC＝2∠DEC，∴∠F＝∠DEC． ∵∠ADF＝∠CDE，∴＝， ∴CD·DF＝AD·DE＝18． 设CD＝a，则BD＝2a，DF＝2a＋5， ∴a(2a＋5)＝18，解得a＝－（舍去）或a＝2， ∴BC＝3a＝6，∴BG＝CG＝3，∴AG＝＝4， 资25料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴BH＝BC＝，∴sin∠BAC＝＝． 14．如图，在□ABCD中，∠D＝2∠ACB，AE平分∠BAC交BC于点E，若BE＝2，CE＝3，求AE的长． A D B E C 解：延长CB到F，使BF＝AB，连接AF，过点A作AH⊥BC于点H， 过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N． A D N M F BH E C 则∠F＝∠BAF，∴∠ABC＝2∠F． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D． ∵∠D＝2∠ACB，∴∠ABC＝2∠ACB， ∴∠F＝∠ACB，∴AF＝AC，△ABF∽△CAF，∴＝． ∵AE平分∠BAC，∴EM＝EN， ∴＝＝＝＝，∴＝． 设AB＝2x，则BF＝2x，AF＝3x，CF＝2x＋5， ∴＝，解得x＝2，∴CF＝9，AB＝BF＝4， ∴FH＝，∴BH＝，∴EH＝，AH2＝AB2－BH2＝， ∴AE＝＝3 15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC＝4，CD＝2，∠ABD＝2∠DBC，求BD的长． A D B C 解：延长BA到P，使PA＝AB，过点P作PE⊥BD于点E，连接AE，PD． 资26料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 P A D E B C ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC． ∵∠ABD＝2∠DBC，∴∠ABD＝2∠ADB． ∵AD∥BC，∴∠PAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB． ∵AB＝AC，∴PA＝AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠PAD＝∠CAD． ∵AD＝AD，∴△PAD≌△CAD，∴PD＝CD＝2． ∵PA＝AB，∠PEB＝90°，∴AE＝PB＝AB＝4， ∴∠AEB＝∠ABD＝2∠ADB，∴∠ADB＝∠DAE， ∴DE＝AE＝4，∴PE2＝PD2－DE2＝28， ∴BE＝＝6，∴BD＝BE＋DE＝10． 题型三 沿直角边翻折半角（小角加倍） 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，∠B＝2∠CAD，AB·CD＝5，求AD的长． A B D C 解：延长BC到E，使CE＝CD，连接AE． A B D C E ∵∠ACB＝90°，∴AD＝AE， ∴∠CAD＝∠CAE，∠ADC＝∠E． ∵∠B＝2∠CAD，∴∠B＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠ADE＝∠E，∴△ABE∽△DAE，BE＝AB， ∴＝，∴AE2＝BE·DE＝BE·2CD＝10， ∴AD＝AE＝． 17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边上一点，BD＝2CD，∠B＝2∠DAC，AB＝4，求 AD的长． 资27料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A B D C 解：延长BC到E，使CE＝CD，连接AE． A B D C E ∵∠ACB＝90°，∴AD＝AE， ∴∠ADE＝∠E，∠DAC＝∠EAC． ∵∠B＝2∠DAC，∴∠B＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠ADE＝∠E，∴BE＝AB＝4． 设CE＝CD＝x，则BD＝2x，BE＝4x， ∴4x＝4，∴x＝1，∴BC＝3，∴AC2＝42－32＝7， ∴AD＝＝2． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，∠B＝2∠DAC，BD＝3，DC＝2，求AD 的长． A B D C 解：延长BC到点E，使CE＝CD，连接AE． A B D C E ∵AC⊥BC，∴AD＝AE， ∴∠ADE＝∠E，∠DAC＝∠EAC． ∵∠B＝2∠DAC，∴∠B＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠ADE＝∠E，∴AB＝BE，△ABE∽△DAE， ∴＝． ∵BD＝3，DC＝2，∴DE＝4，BE＝7， ∴＝，∴AD＝AE＝2． 资28料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·深圳宝安区二模 19．如图，在 中， ，点 为 中点， ，则 的值为 ． 【答案】 【详解】解：延长 至E，使 ，连接 ，设 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ，又 ， ∴ ，故答案为： ． 资29料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AC的中点，连接BD，∠A＝2∠DBC，求tan∠ABD的值． A D C B C 【答案】 解：延长AC到E，使CE＝CD，连接BE，过点D作DH⊥AB于点H． A H D C C B E ∵∠ACB＝90°，∴BD＝BE， ∴∠DBC＝∠EBC，∠BDC＝∠E， ∴∠DBE＝2∠DBC． ∵∠A＝2∠DBC，∴∠A＝∠DBE， ∴∠ABE＝∠BDE＝∠E，∴AB＝AE，△ABE∽△BDE， ∴＝，∴＝． 设AD＝CD＝CE＝a，则AB＝AE＝3a，DE＝2a， ∴＝，∴BD＝a，∴BC＝a． ∵sinA＝＝，∴＝， ∴DH＝a，AH＝a，BH＝a， ∴tan∠ABD＝＝． 2023·深圳中学联考二模 21．如图，在 中，点 在边 上， ， ， 交 的延长线于点 ，若 ， ，则 ． 资30料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【详解】解：如图所示，延长 至 使 ，作 交 于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 22．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 平分∠ABC，点 D 为 BC 边上一点，BD＝2CD，∠ABC＝ 2∠DAC，求的值． 资31料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A E B D C 解：延长BC到F，使CF＝CD，连接AF． A E B D C F ∵∠ACB＝90°，∴AD＝AF， ∴∠ADF＝∠F，∠DAC＝∠FAC． ∵∠ABC＝2∠DAC，∴∠ABC＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠ADF＝∠F，∴AB＝BF，△ABF∽△DAF， ∴＝． 设CF＝CD＝a，则BD＝2a，DF＝2a，BF＝4a， ∴＝，∴AF2＝8a2，∴AC＝＝a． ∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠FAC． ∵∠BCE＝∠ACF＝90°，∴△BCE∽△ACF， ∴＝，∴＝，∴CE＝a， ∴AE＝a，∴＝ 23．如图，在△Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是边 AB，BC上的点，DC平分∠ADE，∠B＝ 2∠ACD，求CE的长． A D B E C 解：延长BA到F，使AF＝AD，连接CF，过点E作EH⊥AB于点H． F A D H B E C ∵∠BAC＝90°，∴CD＝CF，∴∠F＝∠CDF，∠ACD＝∠ACF． ∵∠B＝2∠ACD，∴∠B＝∠DCF，∴∠BCF＝∠CDF＝∠F， ∴BF＝BC． 设∠ACD＝α，则∠B＝2α，∠EDC＝∠ADC＝90°－α，∠BDE＝2α， 资32料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴BH＝DH． 设CE＝2x，则BF＝BC＝2x＋12，∴BH＝DH＝x＋1，AH＝x＋6． ∵EH⊥AB，∠BAC＝90°，∴EH∥AC， ∴＝，∴＝，解得x＝－4（舍去）或x＝9， ∴CE＝2x＝18． 24．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是中线，AB＝6，AD＝，求BC，AC的长． A B D C 解：过点A作AH⊥BC于点H，在HC上截取HE＝BH，连接AE． A B H ED C 则AE＝AB＝6，∴∠AEB＝∠B＝2∠C， ∴∠EAC＝∠C，∴CE＝AE＝6． 设BH＝EH＝x，则BC＝2x＋6，BD＝CD＝x＋3， ∴DH＝3，∴AH＝＝4， ∴BH＝＝2，∴BC＝10，CH＝8， ∴AC＝＝4． 25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别为边BC，AC上的点，连接AD，DE， ∠AED＝2∠DAE，CE＝7，BD＝18，求DE的长． A E B D C 解：过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC点H， A G F H E B D C 在AH上截取FH＝EH，连接DF． 则DE＝DF，∴∠DFE＝∠AED＝2∠DAE， ∴∠DFE＝∠AED，∴AF＝DF． ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°， 资33料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AH＝DG＝BD＝18，CH＝DH． 设CH＝DH＝x，则FH＝EH＝x－7，DF＝AF＝25－x， 在Rt△DFH中，DH2＋FH2＝DF2， ∴x2＋(x－7)2＝(25－x)2，解得x＝－48（舍去）或x＝12， ∴DE＝DF＝25－x＝13． 26．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，BD＝3，CD＝2，求AD的长． A B D C 解：在AB上截取AE＝AC，连接DE，过点A作AF⊥BC于点F， 过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H． A G E H B D FC ∵∠DAE＝∠DAC，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC， ∴DE＝CD＝2，∠AED＝∠C＝2∠B， ∴∠EDB＝∠B，∴BE＝DE＝2． ∵∠DAE＝∠DAC，∴DG＝DH， ∴＝＝＝＝＝， ∴AC＝4，∴AB＝6． ∵AF2＝AB2－BF2＝AC2－CF2， ∴62－BF2＝42－(5－BF)，解得BF＝， ∴DF＝，AF2＝62－BF2＝， ∴AD＝＝3． 题型四 邻二倍角的处理 27．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠DAC＝2∠DAB，BD＝4，DC＝9，求AD的长． A B D C 解：延长DA到E，使AE＝AC，连接EC． 资34料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 E A B D C 则∠E＝∠ACE，∴∠DAC＝2∠E． ∵∠DAC＝2∠DAB，∴∠DAB＝∠E． ∵∠ADB＝∠EDC＝90°，∴△ABD∽△ECD， ∴＝＝． 设AD＝4m，则ED＝9m，AC＝AE＝5m， ∴CD＝＝3m＝9，∴m＝3， ∴AD＝4m＝12． 28．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为边AC上一点，∠DBC＝2∠ABD，CD＝3，BC＝7，求BD 的长． A D B C 例1 解：延长BD到E，使BE＝BC，连接CE． A E D B C 设∠ABD＝α，则∠DBC＝2α，∠BCE＝∠E＝90°－α， ∠CDE＝∠ADB＝90°－α， ∴∠CDE＝∠E＝∠BCE，∴CE＝CD＝3，△CDE∽△BCE， ∴＝，∴＝，∴DE＝， ∴BD＝BE－DE＝7－＝． 29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边上一点，∠BAD＝2∠CAD，BD＝10，DC＝3，求 AD的长． 资35料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A B D C 解：延长AD到E，使AE＝AB，连接BE． A B D C E 设∠CAD＝α，则∠BAD＝2α，∠ABE＝∠E＝90°－α， ∠BDE＝∠ADC＝90°－α， ∴∠BDE＝∠E＝∠ABE，∴BE＝BD＝10，△BDE∽△ABE， ∴＝，∴AE·DE＝BE2＝100， ∴DE(AD＋DE)＝100，∴2DE2＋2AD·DE＝200． ∵AC2＝AB2－BC2＝AD2－DC2， ∴(AD＋DE)2－132＝AD2－32， ∴DE2＋2AD·DE＝160，∴DE2＋160＝200， ∴DE2＝40，DE＝2，∴2AE＝100， ∴AE＝5，∴AD＝3． 30．如图，在△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD⊥BE交BE的延长线于点D， BD＝8，AC＝11，则BC的长为_________． B E A C D 【答案】4 5 【解析】过点C作CF∥AB交BD的延长线于点F． B G E A C D F 则∠ECF＝∠A，∠F＝∠ABE． 资36料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵EB＝EA，∴∠A＝∠ABE， ∴∠ECF＝∠F，∴EF＝EC， ∴BF＝AC＝11，∴DF＝BF－BD＝11－8＝3． 在BD上取点G，使DG＝DF，连接CG． 则CF＝CG，∴∠CGF＝∠F＝∠ECF＝∠A＝2∠CBE， ∴∠CBG＝∠BCG，∴CG＝BG＝BD－DG＝5， ∴CD＝ CG2 DG2 ＝ 52 32 ＝4， ∴BC＝ BD2 CD2 ＝ 82 42 ＝4 5． 31．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠ABC＝2∠DBA，DE⊥BA交BA的延长线于 点E，若BE＝8，CD＝11，求BD的长． D E A B C 解：过点D作DF∥BC交BE的延长线于点F，在EB上截取EG＝EF，连接DG． D F A E G B C 则∠F＝∠ABC＝2∠DBA，∠ADF＝∠C． ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C， ∴∠F＝∠ADF，∴AF＝AD，∴BF＝CD＝11， ∴EG＝EF＝BF－BE＝11－8＝3． ∵DE⊥BA，∴DF＝DG，∴∠DGE＝∠F＝2∠DBA， ∴∠BDG＝∠DBA，∴DG＝BG＝BE－EG＝5， ∴DE＝＝4，∴BD＝＝4． 题型五 绝配角 32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为BC，AC上的点，∠B＝2∠CDE，∠ADE＝45°， AB＝5，AE＝3，则BD的长为_________． 资37料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A E B D C 【答案】2 【解析】在BA上截取BF＝BD，连接DF． A F E B D C 1 则∠BFD＝∠BDF＝90°－ ∠B＝90°－∠CDE＝∠CED， 2 ∴∠AFD＝∠AED，∠BDF＋∠CDE＝90°， ∴∠EDF＝90°，∠ADF＝∠ADE＝45°． ∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE， ∴AF＝AE＝3，∴BD＝BF＝AB－AF＝5－3＝2． 33．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边AB上一点，∠ACD＝2∠B，若BD＝2，AD＝4，求 CD的长． A D C B C 解：延长CA到点E，连接DE，使∠ADE＝∠B． E C A D C B C ∵AD＝3，BD＝1，∴AB＝4． ∵∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC＝90°． ∴△ADE∽△ABC，∴＝＝． 设∠ADE＝∠B＝α，则∠ACD＝2α， ∠ADC＝90°－2α，∠CDE＝∠E＝90°－α， 资38料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴CD＝CE． 设AE＝2x，则AC＝3x，CD＝CE＝5x， AD＝4x＝4，∴x＝1，∴CD＝5x＝5． 34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2CD，∠DAC＝2∠B，AD＝，求AB 的长． A B D C 解：延长AC到E，使AE＝AD，连接DE． A C B D E 设∠B＝α，则∠DAC＝2α，∠ADE＝∠E＝90°－α， ∠CDE＝α，∴∠B＝∠CDE． ∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴△ABC∽△EDC， ∴＝ ＝ ＝3． 设CE＝a，则AC＝3a，AD＝AE＝4a＝， ∴a＝，∴AC＝，∴DC＝＝， ∴DE＝＝1，∴AB＝3DE＝3． 35．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上，∠CED＝2∠BAD，若AE＝ 9，DE＝3，求BC的长． A E B D C 解：在AD上取点P，连接PC，使PC＝AP，过点B作BH⊥AC于点H． A P E H B D C 资39料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则∠PAC＝∠ACP． 设∠BAD＝α，则∠CED＝2α，∠DCE＝90°－2α， ∠PAC＝∠ACP＝45°－α，∠DPC＝90°－2α， ∴∠DCE＝∠DPC． ∵∠CDE＝∠PDC，∴△CDE∽△PDC， ∴＝，∴CD²＝DE·PD． 设PE＝x，则PD＝x＋3，PC＝AP＝9－x， CD2＝(9－x)2－(x＋3)2， ∴(9－x)2－(x＋3)2＝3(x＋3)，解得x＝， ∴CD2＝3(x＋3)＝16，∴CD＝4， ∴AC＝＝4． ∵∠BCH＝∠ACD，∠BHC＝∠ADC＝90°， ∴△BCH∽△ACD，∴＝＝＝3， ∴AH＝BH＝3CH＝AC＝3， ∴AB2＝2AH2＝180，∴BD＝＝6， ∴BC＝BD＋CD＝6＋4＝10． 36．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E在线段AD上，∠DAC＝2∠DBE，BE与AC 交于点F，若CF＝1，DE＝2，则CD的长为_________． A F E B C D 【答案】3 【解析】在AD上截取DG＝DC，连接CG． A G F E B C D 设∠DBE＝x，则∠DAC＝2x，∠BAD＝60°＋2x， ∠ABE＝∠AEB＝60°－x，∠D＝60°－2x， ∠DGC＝∠EFC＝60°＋x， ∴AE＝AB＝AC，∠AGC＝∠AFE． ∵∠CAG＝∠EAF，∴△ACG≌△AEF， ∴AG＝AF，∴EG＝CF＝1， ∴CD＝DG＝DE＋EG＝2＋1＝3 资40料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 37．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2CD，∠DAC＝2∠ABC，若AD＝ 2 ，求AB的长． A B D C 【答案】3 解：延长BC到点E，使CE＝CD，连接AE，过点B作AE的垂线，垂足为F． F A B D C E ∵∠ACB＝90°，∴AE＝AD，∴∠EAC＝∠DAC＝2∠ABC． ∵∠FBE＝∠EAC＝90°－∠E，∴∠FBE＝2∠ABC， ∴∠ABF＝∠ABC，∴AF＝AC，∴BF＝BC． 设CD＝a，则BD＝2a，BF＝BC＝3a，BE＝4a， 在△ABE中，由面积法得BE·AC＝AE·BF， AC 3 ∴4a·AC＝AE·3a，∴ ＝ ． AE 4 设AC＝3m，则AD＝AE＝4m，CD＝ 7m， 3 2 BC＝ ，AB＝ ＝ AD＝3 3 7m 6 2m 2 38．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥CD，AB＝AC，∠ABD＝2∠ADC，CD＝2，求AD的长． A D B C 解：延长BA到点E，使AE＝AC，延长AE到点F，使EF＝AE，连接DE，DF． 资41料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 F E A D B C ∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ABC，∠DAC＝∠ACB． ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠DAC． ∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC， ∴DE＝CD＝2，∠AED＝∠ACD＝90°，∠ADE＝∠ADC， ∴AD＝FD，∴∠F＝∠DAE，∠ADE＝∠FDE， ∵∠ABD＝2∠ADC，∴∠ABD＝2∠ADE＝∠ADF， ∴∠BDF＝∠DAE＝∠F，∴BD＝BF． 设AB＝AC＝x，则BE＝2x，BD＝BF＝3x， ∴DE＝＝x＝2，∴x＝2， ∴AE＝2，∴AD＝＝2． 39．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，∠ADC＝60°，∠BAD＝2∠CAD，BD＝5，CD＝1，求AD 的长． A B D C 解：延长BC到E，使BE＝BA，连接AE，过点A作AH⊥CE于点H． A B D CHE 设∠CAD＝α，则∠BAD＝2α，∠B＝60°－2α， ∠BAE＝∠E＝60°＋α，∠CAE＝60°－2α， ∴∠CAE＝∠B，∴∠ACE＝∠BAE＝∠E， ∴AC＝AE，△ACE∽△BAE， ∴CH＝EH，＝，∴AE2＝CE·BE． 设CH＝EH＝x，则DH＝x＋1，AH＝x＋，CE＝2x， BE＝2x＋6，AE2＝x2＋(x＋)2， ∴x2＋(x＋)2＝2x(2x＋6)，解得x＝， ∴AD＝2DH＝2x＋2＝3． 资42料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 40．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是边AC上一点，连接BE， DE，∠ABE＝2∠EDC，AE＝3，求DE的长． A E B D C 解：在EA上截取EF＝EC，延长CA到G，使AG＝AF，连接BF，BG． G A F E B D C ∵∠BAC＝90°，∴BF＝BG，∴∠G＝∠AFB． ∵点D是BC的中点，∴DE是△BCF的中位线，∴DE∥BF． ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°． 设∠EDC＝α，则∠ABE＝2α，∠G＝∠AFB＝∠AED＝45°＋α， ∠ABG＝45°－α，∠EBG＝45°＋α， ∴∠G＝∠EBG，∴BE＝GE． 设EF＝EC＝x，则AG＝AF＝3－x，AB＝AC＝3＋x， BE＝GE＝6－x． 在Rt△ABE中，(3＋x)2＋32＝(6－x)2， 解得x＝1，∴AF＝2，AB＝4， ∴BF＝＝2，∴DE＝BF＝． 41．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是边AC上一点，连接BE， DE，∠ABE＝2∠EDC，CE＝2，求AE的长． A E B D C 解：延长BA到F，使BF＝BE，连接AD，EF，过点E作EH⊥AF于点H． F H A E B D C ∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠EAF＝60°，∠ABC＝∠C＝30°． ∵点D是BC的中点，∴∠BAD＝∠EAD＝60°，∠ADC＝90°， ∴∠EAD＝∠EAF． 设∠EDC＝α，则∠ABE＝2α，∠F＝∠BEF＝90°－α， ∠ADE＝90°－α，∴∠ADE＝∠F． ∵AE＝AE，∴△ADE≌△AFE，∴AD＝AF． 资43料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设AE＝2x，则AH＝x，EH＝x，AB＝AC＝2x＋2， BH＝3x＋2，AF＝AD＝x＋，BE＝BF＝3x＋3． 在Rt△BEH中，BH2＋EH2＝BE2， ∴(3x＋2)2＋(x)2＝(3x＋3)2， 解得x＝－4（舍去）或x＝＋4， ∴AE＝2x＝2＋8． 42．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别为边AC，BC上的点，∠ABD＝2∠BAE，BE ＝3，CD＝7，求BD的长． A D C B E C 解：延长CA到F，使DF＝BD，连接BF，过点A作AH⊥BC于点H． F A D C B E H C ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°． 设∠BAE＝α，则∠AEH＝45°＋α，∠ABD＝2α， ∠ADB＝90°－2α，∠F＝∠DBF＝45°＋α， ∴∠AEH＝∠F． ∵∠AHE＝∠BAF＝90°，∴△AEH∽△BFA， ∴＝＝，∴AF＝EH． 设EH＝x，则AF＝2x，AH＝BH＝x＋3， AB＝AC＝2x＋6，AD＝2x－1，BD＝DF＝AD＋AF＝4x－1， 在Rt△ABD中，(2x＋6)2＋(2x－1)2＝(4x－1)2， 解得x＝－1或x＝，∴BD＝4x－1＝17 43．如图，在等边△ABC中，点D，E分别为边BC，AC上的点，连接AD，DE，∠ADB＝2∠CDE，BD＝ 3，CE＝4，求CD的长． A E B D C 解：在AC上截取AF＝BD，在CE上截取CG＝EF，连接DF，DG，过点D作DH⊥AB于点H． 资44料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A F E H G B D C ∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠C＝60°， ∴CF＝CD，∴△CDF是等边三角形， ∴DF＝DC，∠DFE＝∠C，∴△DEF≌△DGC， ∴DE＝DG，∠EDF＝∠GDC， ∴∠DEG＝∠DGE，∠GDF＝∠CDE． 设∠GDF＝∠CDE＝α，则∠ADB＝2α， ∠DGE＝∠DEG＝120°－α，∠EDG＝2α－60°， ∠DAG＝2α－60°，∴∠EDG＝∠DAG， ∴∠ADG＝∠DEG＝∠DGE， ∴AD＝AG＝AF＋FG＝BD＋CE＝3＋4＝7． BH＝BD＝，DH＝，∴AH＝＝， ∴BC＝AB＝AH＋BH＝8，∴CD＝BC－BD＝5． 44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上一点，AD＜BD，∠ADC＝2∠ACD，AB＝8，CD ＝3，求AD的长． A D B C 解：在DB上截取DE＝DC，延长BA到F，使DF＝DC，连接CE，CF． F A D E B C 则∠DCE＝∠AEC，∠DCF＝∠F． 设∠ACD＝α，则∠BCD＝90°－α，∠ADC＝2α， ∠DCE＝∠AEC＝α，∠DCF＝∠F＝90°－α， ∴∠ACD＝∠AEC，∠BCD＝∠F． ∵∠CAD＝∠EAC，∠CBD＝∠FBC， ∴△ACD∽△AEC，△BCD∽△BFC， ∴＝，＝， ∴AC2＝AD·AE，BC2＝BD·BF． 设AD＝x，则AE＝x＋3，BD＝8－x，BF＝11－x， ∴AC2＝x(x＋3)，BC2＝(8－x)(11－x)， ∵AC2＋BC2＝AB2，∴x(x＋3)＋(8－x)(11－x)＝82， 解得x＝2或x＝6（舍去），即AD的长为2． 资45料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 45．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D，E为边BC上两点（点D在点E左侧）， 且BD＝CE，∠DAE＝∠BAC，求DE的长． A B D E C 解：作∠BAC的角平分线AF交BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G， A G B D F E C H 过点A作AH⊥AF交BC的延长线于点G． ∵∠ACB＝90°，∴FG＝FC，∠H＝∠CAF＝90°－∠AFC． ∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10． 设FG＝FC＝x，则BF＝8－x． ∵S ＝AB·FG＝BF·AC，∴AB·FG＝BF·AC， △ABF ∴10x＝6(8－x)，解得x＝3，∴FC＝3， ∴＝tanH＝tan∠CAF＝＝，∴CH＝2AC＝12． 设BD＝CE＝x，则DE＝8－2x，DC＝8－x，DH＝20－x， ∴AD2＝(8－x)2＋62． ∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE＝∠CAF＝∠H． ∵∠ADE＝∠HDA，∴△ADE∽△HDA，∴＝， ∴AD2＝DE·DH，∴(8－x)2＋62＝(8－2x)(20－x)， 解得x＝30（舍去）或x＝2，∴DE＝8－2x＝4． 题型六 坐标系中的二倍角问题 宿迁·中考 46．如图，抛物线 交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1，0)，与y轴交于点 。 (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标； y B O A x C 资46料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 简析(1)抛物线的函数表达式为 (2)如图，在OC上取点E，使AE＝CE，则∠AEO＝2∠ACO＝∠PAB；设OE＝t，则AE＝3－t，在Rt△AOE 中，由勾股定理可得 ，解得 ，故 即 ； y P 1 G B O A x E P 2 C ①当点P在x轴上方时，作PG⊥x轴于点G，则 ；设PG＝3m＞0，则AG＝4m，点P的坐标为(1－ 4m，3m)，将其代人抛物线的解析式，可得3m＝（1－4m）²＋2（1－4m）－3，解得 舍去)， 故点P的坐标为( ②当点P在x轴下方时，同理可得 综上所述：点P的坐标为 )或( 盐城·中考 47．如图，二次函数 的图像与一次函数y＝kx－k＋2的图像交于A、B两点，点B在点A的 右侧，直线AB分别与x轴、y轴交于C、D两点，其中k＜0． (1)求AB两点的横坐标； (2)二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得 若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由。 y y A B C O x O x 图17-17-1 备用图 简析 (1)令 ，即 ，解得x＝1或2，即A、B两点的横坐标分别为1、2； 资47料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)由前知A(1，2)，B(2，k＋2)； ①情形一：当k＋2＞0，即－2＜k＜0时，点B在x轴上方， y D F A H B O E G C x 如图(已隐去抛物线)过点B分别向x轴、对称轴作垂线，垂足依次为G、H，则 ；在 EA的延长线上取点F，使AF＝AB，连接BF，则∠BAH＝2∠BFH，又∠BAH＝∠ODC＝2∠BEC，故∠BFH ＝∠BEC；易得 BH＝1，AH＝﹣k，则 ，从而 ，故 tan∠BFH＝ ，所以有k＋2 ，解得 舍去)； ②情形二：当k＋2＜0，即k＜－2时，点B在x轴下方， y F D A O C G x B 如图(已隐去抛物线)，同上作相关辅助线，同理有 ，从而 ，解得 ，故舍去)； 综上所述：k的值为－ 或 反思：（2）是一个等腰三角形存在性问题，可借助代数方法盲解盲算，这里并未展开；（3）中存在“倍 半角”关系，这里首先利用平行导角，将∠ODC转化为∠BAH，借助A、B两点的坐标来刻画其正切值， 然后构造其“半角”∠BFH，最后列方程求解需。要特别提醒的是，这里根据点B的纵坐标的正负性，即 点B与x轴的位置关系分两类讨论，很容易漏解。另外，本题还有其他解法，请自行探究。 河南·中考 48．如图，抛物线y＝ax²＋6x＋c交x轴于A、B两点，交y轴于点C。直线y＝x－5经过点B、C。 （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直 资48料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 接写出点M的坐标。 y y O A B x O A B x C C 图17-18-1 备用图 简析：(1)抛物线的解析式为 (2)如图，当∠ACM＝∠CAM时，有∠AMB＝2∠ACB，此时点M符合题意；再过点A作AC的垂线，交直 线BC于点R，作RS⊥x轴于点S， y S O A B x R M C 易证tan∠RAS＝tan∠ACO＝ ，即 ；又易证RS＝BS，故 ，从而 ，点R的坐 标为 ；易证点M为CR的中点，所以点M的坐标 如图，作AG⊥BC于点G，再作AM关于直线AG的对称线段AM′， y H O A B x M′ G M C 则∠AM′M＝∠AMM′＝2∠ACB，故点M′是符合题意的另一个点；作GH⊥x轴于点H，易证GH＝AH ＝BH＝2，则点G的坐标为(3，﹣2)；因为点G为MM的中点，所以点M的坐标为 ；因此，点M 的坐标为 )或( 反思：第(2)问看似“倍半角”问题，却采取了“垂直处理”策略，结合中点坐标公式加以解决。“成也模 型，败也模型”，切勿形成思维定式，盲目套用模型。当然，这两个问题都还有其他的处理方式，可自行 探索。 总结的话：数学中转化思想无处不在，所谓“倍半角”问题，其解题策略大体也是围绕着转化思想进行的， 或将“倍角”变为“半角”，或将“半角”变为“倍角”，最终转化为等角问题，当然变化手段可能不一， 资49料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 比如作“倍角”的角平分线或者构造等腰三角形，再如将“半角”翻折等。总之，具体问题需要具体对待， 并无绝对的通法、简法，一切都要依据题目的条件以及结论去分析、构造，以至于解决。 2023·内蒙古赤峰·统考中考真题 49．如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点 在抛物线上，点E在直 线 上，若 ，则点E的坐标是 ． 【答案】 和 【分析】先根据题意画出图形，先求出 点坐标，当 点在线段 上时: 是△DCE 的外角， ，而 ，所以此时 ，有 ，可求出 所在 直线的解析式 ，设 点 坐标，再根据两点距离公式， ，得到关于 的方程， 求解 的值，即可求出 点坐标；当 点在线段 的延长线上时，根据题中条件，可以证明 ， 得 到 为 直 角 三 角 形 ， 延 长 至 ， 取 ， 此 时 ， ，从而证明 是要找的点，应为 ， 为等腰直角三角形， 点 和 关于 点对称，可以根据 点坐标求出 点坐标． 【详解】解：在 中，当 时， ，则有 ， 令 ，则有 ， 解得： ， ∴ ， 根据 点坐标，有 所以 点坐标 资50料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设 所在直线解析式为 ，其过点 、 有 ， 解得 ∴ 所在直线的解析式为： 当 点在线段 上时，设 而 ∴ ∴ 因为： ， ， 有 解得： ， 所以 点的坐标为: 当 在 的延长线上时， 在 中， ， , ∴ ∴ 如图延长 至 ，取 ， 则有 为等腰三角形， ， ∴ 又∵ ∴ 则 为符合题意的点， ∵ ∴ 的横坐标： ，纵坐标为 ； 资51料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 综上E点的坐标为： 或 ， 故答案为： 或 江苏苏州·统考中考真题 50．如图，在平面直角坐标系中，点 、 的坐标分别为 、 ，点 在第一象限内，连接 、 ．已知 ，则 ． 【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证 CDE≌ CDB（ASA），进而可得DE ＝DB＝4－n，再证 AOE∽ CDE，进而可得 ，由此计算即可求得答案． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO， ∴∠DCE＝∠CAO， ∵∠BCA＝2∠CAO， ∴∠BCA＝2∠DCE， ∴∠DCE＝∠DCB， ∵CD⊥y轴， ∴∠CDE＝∠CDB＝90°， 又∵CD＝CD， ∴ CDE≌ CDB（ASA）， ∴DE＝DB， ∵B（0，4），C（3，n）， ∴CD＝3，OD＝n，OB＝4， ∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n， ∴OE＝OD－DE ＝n－（4－n） 资52料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ＝2n－4， ∵A（－4，0）， ∴AO＝4， ∵CD∥AO， ∴ AOE∽ CDE， ∴ ， ∴ ， 解得： 内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题 51．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C（(0，﹣ 3)． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）(﹣ ， )，(﹣ ，﹣ ) 【分析】（1）将点A，点C坐标代入解析式可求解； （2）在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，由“SAS”可证 OCE≌△OCA，可得∠ACO ＝∠ECO，CE＝AC＝ ，由面积法可求EF的长，由勾股定理可求CF的长，可求tan∠ECA＝tan∠PAB △ ＝ ，分点P在AB上方和下方两种情况讨论，求出AP解析式，联立方程组可求点P坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）， ∴ ，解得： ，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3； 资53料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）如图，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC， ∵点A（1，0），点C（0，﹣3）， ∴OA＝1，OC＝3， ∴AC＝ ＝ ＝ ， ∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC， ∴△OCE≌△OCA（SAS）， ∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝ ， ∴∠ECA＝2∠ACO， ∵∠PAB＝2∠ACO， ∴∠PAB＝∠ECA， ∵S ＝ AE×OC＝ AC×EF， AEC △ ∴EF＝ ＝ ， ∴CF＝ ＝ ＝ ， ∴tan∠ECA＝ ＝ ， 如图2，当点P在AB的下方时，设AO与y轴交于点N， ∵∠PAB＝∠ECA， ∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝ ＝ ， ∴ON＝ ， ∴点N（0， ）， 又∵点A（1，0）， ∴直线AP解析式为：y＝ x﹣ ， 资54料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 联立方程组得： ， 解得： 或 ， ∴点P坐标为：（﹣ ，﹣ ） 当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣ x+ ， 联立方程组得： ， 解得： 或 ， ∴点P坐标为：（﹣ ， ）， 综上所述：点P的坐标为（﹣ ， ），（﹣ ，﹣ ） 2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题 52．如图，抛物线 经过点 和点 ，与 轴的另一个交点为 ，连接 、 ． (1)求抛物线的解析式及点 的坐标； (2)如图，点 是第一象限内抛物线上的动点，过点 作 轴，分别交 、 轴于点 、 ，当 中有某个角的度数等于 度数的2倍时，请求出满足条件的点 的横坐标． 【答案】(1) ；A（-1，0）； 资55料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)2或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出 ，再求出直线 BC 的解析式，然后设点 ，则 ，CF=a，可得 ，再分三种情况讨论：若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF x 轴交 PM 于点 F；若∠PMC=2∠OBC；若∠CPM=2∠OBC，过点 P 作 PG 平分∠CPM，则 ∠MPG=∠OBC，即可求解． 【详解】（1）解：把点 和点 代入，得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为 ， 令y=0，则 ， 解得： ， ∴点A（-1，0）； （2）解：∵点B（4，0），C（0，2）， ∴OB=4，OC=2， ∴ ， 设直线BC的解析式为 ， 把点B（4，0），C（0，2）代入得： ，解得： ， ∴直线BC的解析式为 ， 设点 ，则 ，CF=a， ∴ ， 若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF x轴交PM于点F，如图甲所示， ∴∠FCM=∠OBC，即 ， ∴∠PCF=∠FCM， ∵ 轴， ∴CF⊥PQ， ∴PM=2FM， 资56料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ，解得：解得：a=2或0（舍去）， ∴点P的横坐标为2； 若∠PMC=2∠OBC， ∵∠PMC=∠BMN， ∴∠BMN=2∠OBC， ∵∠OBC+∠BMN=90°， ∴∠OBC=30°，与 相矛盾，不合题意，舍去； 若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC， ∵∠PMG=∠BMN， ∴△PMG∽△BMN， ∴∠PGM=∠BNM=90°， ∴∠PGC=90°， ∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG， ∴∠PCM=∠PMC， ∴PC=PM， ∴ ， 解得： 或0（舍去）， ∴点P的横坐标为 ； 综上所述，点P的横坐标为2或 ． 图甲 图乙 2023·湖北黄冈·统考中考真题 53．已知抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点 ，点P为第一象限抛物线 上的点，连接 ． 资57料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)直接写出结果； _____， _____，点A的坐标为_____， ______； (2)如图1，当 时，求点P的坐标； 【答案】(1) ，2， ， ；(2) 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求得 、 ，从而可得 ， ，由 ，可得 ，求得 ，在 中，根据正切的定义求值即可； （ 2 ） 过 点 C 作 轴 ， 交 于 点 D ， 过 点 P 作 轴 ， 交 y 轴 于 点 E ， 由 ， 即 ， 再 由 ， 可 得 ， 证 明 ，可得 ，设点P坐标为 ，可得 ，再进行求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ， ∴ ，解得： ， ∴抛物线解析式为： ， ∵抛物线 与x轴交于A、 两点， ∴ 时， ，解得： ， ， ∴ ， ∴ ， ， 资58料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在 中， ， 故答案为： ，2， ， ； （2）解：过点C作 轴，交 于点D，过点P作 轴，交y轴于点E， ∵ ， ， ， ∴ ， 由（1）可得， ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 轴， 轴， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 设点P坐标为 ，则 ， ， ∴ ，解得： （舍）， ， ∴点P坐标为 ． 54．（2020·湖南张家界·中考真题）如图，抛物线 交x轴于 两点，交y轴于点C．直线 经过点 ． 资59料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 上是否存在点M，使 与直线 的夹角等于 的2倍？若存在，请求出点M的坐 标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ； （2）存在使 与直线 的夹角等于 的2倍的点，且坐标为M（ ），M（ ， ）． 1 2 【分析】（1）先根据直线 经过点 ，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可； （2）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为 等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定ME的解析式；然后联立直线BC 1 和ME的解析式即可求得M 的坐标；在直线BC上作点M 关于N点的对称点M，利用中点坐标公式即可 1 1 1 2 确定点M 的坐标 2 【详解】解：（1）∵直线 经过点 ∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5） 当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0） ∴ 解得 ∴该抛物线的解析式为 （2）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E， ∵MA=MC， 1 1 ∴∠ACM =∠CAM 1 1 ∴∠AM B=2∠ACB 1 ∵△ANB为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2 ∴N（3，2） 设AC的函数解析式为y=kx+b ∵C(0，5),A(1，0) ∴ 解得b=5，k=-5 ∴AC的函数解析式为y=-5x+5 资60料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设EM 的函数解析式为y= x+n 1 ∵点E的坐标为（ ） ∴ = × +n，解得：n= ∴EM 的函数解析式为y= x+ 1 ∵ 解得 ∴M 的坐标为（ ）； 1 在直线BC上作点M 关于N点的对称点M 1 2 设M（a，-a+5） 2 则有：3= ，解得a= ∴-a+5= ∴M 的坐标为（ ， ）． 2 综上，存在使 与直线 的夹角等于 的2倍的点，且坐标为M（ ），M（ ， ）． 1 2 题型七 其它构造方式 55．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，且∠DBC＝2∠BAE， AE＝2，BD＝，求AB的长． A D B E C 资61料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解：延长BC到F，使CF＝CD，连接AF． A D B E C F ∵∠ACF＝∠BCD＝90°，AC＝BC，∴△ACF≌△BCD， ∴AF＝BD＝，∠FAC＝∠DBC＝2∠BAE． 设∠BAE＝α，则∠FAC＝∠DBC＝2α， ∠AEF＝45°＋α，∠EAC＝45°－α，∠EAF＝45°＋α， ∴∠AEF＝∠EAF，∴EF＝AF＝． ∵AC2＝AE2－EC2＝AF2－CF2， ∴22－EC2＝()2－(－EC)2，解得EC＝， ∴AC2＝22－EC2＝，∴AB＝AC＝． 56．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，∠ACD＝2∠ABD，AD＝19，CD＝25，求AB的长． A D B C 解：过点D作DH⊥AC于点H，延长CA到F，使FH＝CH，连接DF， E F A D H B C 延长CF到E，使EF＝DF，连接DE． 则EF＝DF＝DC＝25，∠E＝∠EDF， ∴∠DFH＝∠ACD＝2∠ABD，∠DFH＝2∠E，∴∠E＝∠ABD． ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB． ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠DAC＝∠ABC，∴∠DAE＝∠DAB． ∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB，∴AE＝AB＝AC． 设CH＝FH＝x，则EH＝x＋25，CE＝2x＋25，AC＝AE＝x＋， ∴AH＝，∴DH2＝AD2－AH2＝， ∴x＝FH＝＝，∴AB＝AC＝x＋＝33 57．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，D为△ABC内一点，∠BDC＝2∠BAD，BD＝CD，求△ABD的 面积． 资62料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D B C 解：将△CDA绕点D顺时针旋转到△BDE，连接AE，过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AE于点H． A H G E D B C 则BE＝AC＝5，AD＝DE，∠ADE＝∠BDC＝2∠BAD， ∴AH＝EH，∠ADE＝2∠ADH，∴∠BAD＝∠ADH， ∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAH＝∠ADH＋∠DAH＝90°， ∴AE＝＝3，∴DG＝AH＝EH＝， ∴S ＝AB·DG＝×4×＝3． △ABD 58．如图，在等边△ABC中，点D在边AB上，点E在BC的延长线上，∠CAE＝2∠DCB，BD＝2，AD＝ 6，求CE的长． A D B C E 解：在BC上截取BF＝BD，连接AF，过点A作AH⊥BC于点H． A D B F H C E ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC． ∵∠ABF＝∠CBD，∴△ABF≌△CBD， ∴∠FAB＝∠DCB， ∵BD＝2，AD＝6，∴CF＝6，AB＝8，AH＝4． 设∠FAB＝∠DCB＝α，则∠CAE＝2α，∠CAF＝60°－α， ∠EAF＝60°＋α，∠AFE＝60°＋α， ∴AE＝EF． 设CE＝x，则AE＝EF＝x＋6，EH＝x＋4． 在Rt△AHE中，AH2＋EH2＝AE2， ∴(4)2＋(x＋4)2＝(x＋6)2，解得x＝7， ∴CE的长为7． 资63料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 59．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，∠DAC＝2∠ADB，若CD＝4，BD＝10，求 △ACD的面积． A D B C 解：过点A作AE⊥BD于点E，AF⊥CD于点F． A D E F B C ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，BE＝DE＝BD＝5． ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB． ∵∠DAC＝2∠ADB，∴∠ACB＝2∠ADB＝2∠DBC， ∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB＝AD， ∴∠CAF＝∠DAF，∴∠DAC＝2∠DAF，∴∠DAF＝∠ADB． ∵∠AFD＝∠DEA＝90°，AD＝DA，∴△ADF≌△DAE， ∴AF＝DE＝5，∴S ＝CD·AF＝×4×5＝10． △ACD 60．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AC，BC上的点，连接AE与BD交于点F，∠BFE＝ ∠BAC＝2∠AEB，探究AF，EF与BF的数量关系，并证明． A D F B E C 解：在BD上截取BG＝AE，连接AG． A D F G B E C ∵AB＝AC，∴∠ABE＝∠C， ∴∠BAC＝180°－2∠C， ∴∠AEB＝∠BAC＝90°－∠C， ∴∠ABE＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°． ∵∠AFD＝∠BFE＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABG， ∴△ABG≌△CAE，∴∠AGB＝∠AEC，∠BAG＝∠C， ∴∠AGF＝∠AEB＝90°－∠C，∠GAF＝90°－∠BAG＝90°－∠C， ∴∠AGF＝∠GAF，∴AF＝GF＝BF－BG＝BF－AE＝BF－AF－EF， ∴BF＝2AF＋EF． 资64料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 61．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，＝，点E为AD的中点，若∠BAC＝∠BED＝2∠CED，求 的值． A E B D C 解：过点C作CG∥BE交AD的延长线于点G，在AG上取点F，连接CF，使CF＝CG． A E B D C F G 则△BDE∽△CDG，∴＝＝． 设∠CED＝α，则∠CFG＝∠G＝∠BED＝∠BAC＝2α， ∴∠ECF＝∠CED，∠AEB＝∠CFA，∠BAE＝∠ACF＝2α－∠CAF， ∴EF＝CF＝CG，△ABE∽△CAF，∴＝＝． 设BE＝3，AE＝DE＝a，则EF＝CF＝CG＝4，DF＝4－a，AF＝a＋4， ∴＝，解得a＝－6（舍去）或a＝2， ∴AF＝a＋4＝6，∴＝＝． 62．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P为BC边上一点，连接AP，分别过点B，C作AP的垂线， 垂足为D，E，若∠ADC＝2∠ABC，＝，求tan∠ACB的值． A D B P C E 解：延长AE到F，使DF＝DC，连接BF，CF． A D B P C E F 则∠EFC＝∠DCF，∴∠ADC＝2∠EFC． ∵∠ADC＝2∠ABC，∴∠EFC＝∠ABC． ∵∠FEC＝∠BAC＝90°，∴△EFC∽△ABC， ∴＝，∠ECF＝∠ACB， ∴∠BCF＝∠ACE，∴△BCF∽△ACE， ∴∠CBF＝∠CAF，∴∠DFB＝∠ACB＝∠ECF， ∴△DBF∽△EFC，∴＝，∴DF·EF＝BD·CE． 资65料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵∠BDP＝∠CEP＝90°，∠BPD＝∠CPE， ∴△BDP∽△CEP，＝＝． 设BD＝3，CE＝4，DE＝a，EF＝b，则DC＝DF＝a＋b， ∴(a＋b)b＝3×4＝12，∴b2＋ab＝12，∴2ab＝24－2b2． ∵DC2＝CE2＋DE2，∴(a＋b)2＝16＋a2， ∴b2＋2ab＝16，∴b2＋24－2b2＝16，∴b＝2， ∴tan∠ACB＝tan∠ECF＝＝＝． 63．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E为边BC上两点（点D在点E左侧），∠BAD＝∠CAE， ∠AED＝2∠ADE，BD＝7，CE＝2，求AE，DE的长． A B D E C 解：取BC中点G，过点A作AH⊥BC于点H，在HC上截取FH＝EH，连接AG，AF． A B G D EHFC 则AG＝BG＝CG，∴∠BAG＝∠B． 设∠BAD＝∠CAE＝3α，则∠DAE＝90°－6α，∠ADE＝30°＋2α， ∠AED＝60°＋4α，∠BAG＝∠B＝30°－α，∠AGE＝60°－2α， ∠GAE＝60°－2α，∠AFE＝∠AEF＝120°－4α，∠DAF＝30°＋2α， ∴∠AGE＝∠GAE，∠ADE＝∠DAF， ∴DF＝AF＝AE＝GE，∴EF＝DG． 设DF＝AF＝AE＝GE＝x，则AG＝BG＝CG＝x＋2， BC＝2x＋4，EF＝DG＝7－(x＋2)＝5－x， EH＝FH＝EF＝，DE＝x－(5－x)＝2x－5， GH＝x＋－x＝． ∵AH2＝AG2－GH2＝AE2－EH2， ∴(x＋2)2－()2＝x2－()2 解得x＝4，∴AE＝4，DE＝2x－5＝3 64．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BA，BC的延长线上，连接DE，EF，DE＝，EF＝5，∠BEF ＝2∠DEF，求BF的长． A D B C 解：如图1，图2，过点D作DG⊥DE交射线CB于点G，连接EG． 资66料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 E E A D B G C F H 图1 A D G B C F 图2 ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠DAE＝∠DCG＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG， ∴DE＝DG＝，∴EG2＝DE2＋DG2＝14． 如图1，当EF在∠BED内部时，延长BF到H，使FH＝EF，连接EH． 设∠DEF＝α，则∠BEF＝2α，∠EFB＝90°－2α， ∠FEG＝45°－α，∠EHG＝∠FEH＝45°－α， ∴∠FEG＝∠EHG． ∵∠EGF＝∠HGE，∴△EGF∽△HGE， ∴＝，∴GF·GH＝EG2，∴GF(GF＋5)＝14， 解得GF＝－7（舍去）或GF＝2． ∵BE2＝EF2－BF2＝EG2－BG2， ∴BF2－BG2＝EF2－EG2， ∴BF2－(BF－GF)2＝EF2－EG2， ∴2GF·BF－GF2＝EF2－EG2， ∴4BF－22＝52－14，∴BF＝． ②如图2，当EF在∠BED外部时 ∵∠BEF＝2∠DEF，∴∠AED＝∠DEF． ∵△ADE≌△CDG，∴∠AED＝∠CGD， ∴∠DEF＝∠CGD． ∵DE＝DG，∴∠DEG＝∠DGE， ∴∠GEF＝∠EGF，∴GF＝EF＝5． 由①知，2GF·BF－GF2＝EF2－EG2， ∴10BF－52＝52－14，∴BF＝． 资67料整理【淘宝店铺：向阳百分百】