2018年江苏高考数学试题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_江苏08-23

2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时 间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 锥体的体积 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位 置上． 1．已知集合 ， ，那么 ▲ ． 2．若复数 满足 ，其中i是虚数单位，则 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的 平均数为 ▲ ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 ▲ ．5．函数 的定义域为 ▲ ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名 女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐 近线的距离为 ，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数 满足 ，且在区间 上， 则 的值为 ▲ ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上的 最大值与最小值的和为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系 中，A为直线 上在第一象限内的点， ，以AB为 直径的圆C与直线l交于另一点D．若 ，则点A的横坐标为 ▲ ． 13．在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点D，且 ，则 的最小值为 ▲ ． 14．已知集合 ， ．将 的所有元素从小 到大依次排列构成一个数列 ．记 为数列 的前n项和，则使得 成 立的n的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在平行六面体 中， ． 求证：（1） ； （2） ． 16．（本小题满分14分） 已知 为锐角， ， ．（1）求 的值； （2）求 的值． 17．（本小题满分14分） 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O的一段圆弧 （P为此圆弧的中 点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划 在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形 状为 ，要求 均在线段 上， 均在圆弧上． 设OC与MN所成的角为 ． （1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且 甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 ．求当 为何值 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．（本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系 中，椭圆C过点 ，焦 点 ，圆O的直径为 ． （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于 两点．若 的面积为 ， 求直线l的方程． 19．（本小题满分16分） 记 分别为函数 的导函数．若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个“S点”． （1）证明：函数 与 不存在“S点”； （2）若函数 与 存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数 ， ．对任意 ，判断是否存在 ，使函 数 与 在区间 内存在“S点”，并说明理由． 20．（本小题满分16分） 设 是首项为 ，公差为d的等差数列， 是首项为 ，公比为q的等比数列． （1）设 ，若 对 均成立，求d的取值范围； （ 2 ） 若 ， 证 明 ： 存 在 ， 使 得 对 均成立，并求 的取值范围（用 表示）． 数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8} 2．2 3．90 4．8 5．[2，+∞） 6． 7． 8．2 9． 10． 11．–3 12．3 13．9 14．27 二、解答题 15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象 能力和推理论证能力．满分14分． 证明：（1）在平行六面体ABCD-A B C D 中，AB∥A B ． 1 1 1 1 1 1 因为AB 平面A B C，A B 平面A B C， 1 1 1 1 1 1 所以AB∥平面A B C． 1 1 （2）在平行六面体ABCD-A B C D 中，四边形ABB A 为平行四边形． 1 1 1 1 1 1 又因为AA =AB，所以四边形ABB A 为菱形， 1 1 1 因此AB ⊥A B． 1 1 又因为AB ⊥B C ，BC∥B C ， 1 1 1 1 1 所以AB ⊥BC． 1 又因为A B∩BC=B，A B 平面A BC，BC 平面A BC， 1 1 1 1所以AB ⊥平面A BC． 1 1 因为AB 平面ABB A ， 1 1 1 所以平面ABB A ⊥平面A BC． 1 1 1 16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求 解能力．满分14分． 4 sin 4 解：（1）因为tan ，tan ，所以sin cos． 3 cos 3 9 因为sin2cos21，所以cos2 ， 25 7 因此，cos22cos21 ． 25 （2）因为,为锐角，所以(0,π)． 5 2 5 又因为cos() ，所以sin() 1cos2()  ， 5 5 因此tan()2． 4 2tan 24 因为tan ，所以tan2  ， 3 1tan2 7 tan2tan() 2 因此，tan()tan[2()]  ． 1+tan2tan() 11 17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建 模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10． 过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ， 故OE=40cosθ，EC=40sinθ， 则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP的面积为 ×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10． 令∠GOK=θ ，则sinθ = ，θ ∈（0， ）． 0 0 0 当θ∈[θ ， ）时，才能作出满足条件的矩形ABCD， 0 所以sinθ的取值范围是[ ，1）．答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[ ，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3， 设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0）， 则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ ， ）． 0 设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ ， ）， 0 则 ． 令 ，得θ= ， 当θ∈（θ ， ）时， ，所以f（θ）为增函数； 0 当θ∈（ ， ）时， ，所以f（θ）为减函数， 因此，当θ= 时，f（θ）取到最大值． 答：当θ= 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、 直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C的焦点为 ， 可设椭圆C的方程为 ．又点 在椭圆C上， 所以 ，解得 因此，椭圆C的方程为 ． 因为圆O的直径为 ，所以其方程为 ．（2）①设直线l与圆O相切于 ，则 ， 所以直线l的方程为 ，即 ． 由 ，消去y，得 ．（*） 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点， 所以 ． 因为 ，所以 ． 因此，点P的坐标为 ． ②因为三角形OAB的面积为 ，所以 ，从而 ． 设 ， 由（*）得 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ，即 ， 解得 舍去），则 ，因此P的坐标为 ． 综上，直线l的方程为 ．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解 决问题以及逻辑推理能力．满分16分． 解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f′（x）=1，g′（x）=2x+2． 由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得 ，此方程组无解， 因此，f（x）与g（x）不存在“S”点． （2）函数 ， ， 则 ． 设x 为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x ）=g（x ）且f′（x ）=g′（x ），得 0 0 0 0 0 ，即 ，（*） 得 ，即 ，则 ． 当 时， 满足方程组（*），即 为f（x）与g（x）的“S”点． 因此，a的值为 ． （3）对任意a>0，设 ． 因为 ，且h（x）的图象是不间断的，所以存在 ∈（0，1），使得 ，令 ，则b>0． 函数 ， 则 ． 由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得 ，即 （**） 此时， 满足方程组（**），即 是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个 “S点”． 因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、 转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：a (n1)d,b 2n1． n n 因为 对n=1，2，3，4均成立， 即|(n 1)d 2n1|1对n=1，2，3，4均成立， 7 5 即11，1d3，32d5，73d9，得 d  ． 3 2 7 5 因此，d的取值范围为[ , ]． 3 2 （2）由条件知：a b (n1)d,b bqn1． n 1 n 1 若存在d，使得 （n=2，3，···，m+1）成立， 即 |b (n1)d bqn1|b(n2,3, ,m1)， 1 1 1  qn12 qn1 即当n2,3, ,m1时，d满足 b d  b ．  n1 1 n1 1因为 ，则 ， q(1,m2] 1qn1 qm 2 qn12 qn1 从而 b 0， b 0，对n2,3, ,m1均成立． n1 1 n1 1  因此，取d=0时， 对 均成立． n2,3, ,m1  qn12 qn1 下面讨论数列{ }的最大值和数列{ }的最小值（n2,3, ,m1）．  n1 n1 qn 2 qn12 nqn qn nqn12 n(qn qn1)qn 2 ①当2nm时，    ， n n1 n(n1) n(n1) 当 1 时，有 ，从而 ． 1q2m qn qm 2 n(qn qn1)qn  20 qn12 因此，当2nm1时，数列{ }单调递增， n1 qn12 qm 2 故数列{ }的最大值为 ． n1 m ②设 f(x)2x(1x)，当x>0时， f(x)(ln21xln2)2x 0， 所以 f(x)单调递减，从而 f(x)