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2022 年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）2022．06．
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设全集 ，集合 ，则 （ ）
.
A B. C. D.
2. “ 为整数”是“ 为整数”的（ ）
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不允分也不必要
3. 函数 的图像为（ ）
A. B.
C. D.
4. 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： ）的分
组区间为 ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，
…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有
疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A. 8 B. 12 C. 16 D. 18
5. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
6. 化简 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
7. 已知抛物线 分别是双曲线 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲
线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为
，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）A. 23 B. 24 C. 26 D. 27
9. 已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确 的个数为（ ）
A. B. C. D.
第II卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给
3分，全部答对的给5分．
10. 已知 是虚数单位，化简 的结果为_______．
11. 的展开式中的常数项为______.
12. 若直线 与圆 相交所得的弦长为 ，则 _____．
13. 52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次
抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________
14. 在 中， ，D是AC中点， ，试用 表示 为___________，若，则 的最大值为____________
15. 设 ，对任意实数x，记 ．若 至少有3个零点，则实
数 的取值范围为______.
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知 .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
的
17. 直三棱柱 中， ，D为 中点，E为
的中点，F为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求平面 与平面 所成二面角的余弦值．
18. 设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
（1）求 与 的通项公式；
（2）设 的前n项和为 ，求证： ；（3）求 ．
19. 椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足 ．
（1）求椭圆 的离心率 ；
（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若 ，
且 的面积为 ，求椭圆的标准方程．
20. 已知 ，函数
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）若 和 有公共点，
的
（i）当 时，求 取值范围；
（ii）求证： ．
