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2025 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1. 集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足 ，则 （ ）
A. B. C. 4 D. 8
3. 双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. 为得到函数 的图象，只需把函数 的图象上的所有点（ ）
A. 横坐标变成原来的 倍，纵坐标不变 B. 横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C. 纵坐标变成原来的 倍，横坐标不变 D. 纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
5. 已知 是公差不为0 的等差数列， ，若 成等比数列，则 （ ）
A. B. C. 16 D. 18
6. 已知 ，则（ ）A. B.
C. D.
7. 已知函数 的定义域为 D，则“函数 的值域为 ”是“对任意 ，存在 ，使得
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 设函数 ，若 恒成立，且 在 上存在零点，
则 的最小值为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
9. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间 （单位：小时），
其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加
20小时；当训练数据量N从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加（单位：小
时）（ ）
A. 2 B. 4 C. 20 D. 40
10. 已知平面直角坐标系 中， ， ，设 ，则 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 抛物线 的顶点到焦点的距离为3，则 ________．
12. 已知 ，则 ________； ________．13. 已知 ，且 ， ，写出满足条件的一组
________， _________．
14. 某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多
边 形 ， 平 面 平 面 ABC ， 平 面 平 面 ABC ， ，
，若 ，则该多面体的体积
为________．
15. 关于定义域为R的函数 ，以下说法正确的有________．
①存在在R上单调递增的函数 使得 恒成立；
②存在在R上单调递减的函数 使得 恒成立；
③使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个；
④使得 恒成立的函数 存在且有无穷多个．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， ．
（1）求c；
（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求BC的高．① ；② ；③ 面积为 ．
17. 四棱锥 中， 与 为等腰直角三角形， ，E为BC
的中点．
的
（1）F为 中点，G为PE的中点，证明： 面PAB；
（2）若 面ABCD， ，求AB与面PCD所成角的正弦值．
18. 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对
用频率估计概率．
（1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．
的
（2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对 人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．
的
（3）若甲校同学掌握这个知识点则有 概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有
的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点
的概率为 ，乙校学生掌握该知识点的概率为 ，试比较 与 的大小（结论不要求证明）
19. 已知 的离心率为 ，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，
（1）求椭圆方程；
（2）设O为原点， 为椭圆上一点，直线 与直线 ， 交
于A，B． 与 的面积为 ，比较 与 的大小．20. 函数 的定义域为 ， 为 处的切线．
（1） 的最大值；
（2） ，除点A外，曲线 均在 上方；
（3）若 时，直线 过A且与 垂直， ， 分别于x轴的交点为 与 ，求 的取值范
围．
21. ，从M中选出n个有序数对构成一列：
．相邻两项 满足： 或 ，称为k列．
（1）若k列的第一项为 ，求第二项．
（2）若 为k列，且满足i为奇数时， ：i为偶数时， ；判断： 与
能否同时在 中，并说明；
（3）证明：M中所有元素都不构成k列．
