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2020 北京房山初二（上）期末
数 学
本试卷共6页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结
束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在下列各题的四个选项中，只有一个是正确的. 请将正确
选项前的字母填在答题卡相应的位置上.
1．实数3的平方根是
A． 3 B．− 3 C． 3 D．9
2．生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业，加强生活垃圾管理，维护公共环境和
节约资源是全社会公共的责任. 2020年5月1日起北京将全面推行生活垃圾强制分类.下列四个垃圾分类标识
中的图形是轴对称图形的是
1
3．如果分式 有意义，那么x的取值范围是
x−2
A．x=2 B．x2 C．x=−2 D．x−2
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线．若CAD=25，则B的度数是
A．25 B．55
A
C．65 D．75
5. 下列事件中，是必然事件的是
A．直角三角形的两个锐角互余 B D C
B．买一张电影票，座位号是偶数号
C．投掷一个骰子，正面朝上的点数是7
D．打开“学习强国APP”，正在播放歌曲《我和我的祖国》
a2 1
6．计算 + 的结果正确的是
a−1 1−a
1 / 13A．a2 +1 B．a2 −1 C．a+1 D．a−1
7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是
A．ab B．−a＜b
C． −a ＜ −b D． a2＞ b2
8. 如图，线段AB=10，∠A=∠B=45，AC = BD=4 2 .点E，F 为线段AB
上两点.从下面4个条件中：
C D
① CE =DF =5；
② AF = BE；
③ CE =DF =7； A B
④ ∠CEB=∠DFA.
选择一个条件，使得△ACE一定和△BDF 全等.则所有满足条件的序号是
A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 四边形内角和等于__________．
10. 估算： 17 ≈ （结果精确到1）
x−1
11. 若分式 的值为0，则x的值为 .
x
12．若 x+2 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________．
13．等腰三角形中，一条边的长为4cm，另一条边的长是10cm.则这个三角形的周长是 cm.
14．一个不透明的摇奖箱内装有20张形状，大小，质地等完全相同的卡片，其中只有5张卡片标有中奖标志. 在
2020年新年联欢会的抽奖环节中，贝贝从这个摇奖箱内随机抽取一张卡片.则贝贝中奖的概率是__________．
15. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上 .
请按要求完成下列各题：
（1）判断△ABC是__________三角形；
（2）计算△ABC的面积S =__________.
ABC
2 / 13A
B
B C
D
O P A
C
(15题图) （16题图）
16．已知∠AOB=30，点C为射线OB上一点，点D为OC的中点，且OC=6.当点P在射线OA上运动
时 ，则PC与PD和的最小值为__________．
三、解答题（本大题共12小题，其中第17-18题每小题4分，第19-26题每小题5分，
第27-28题每小题6分，共60分）
17．计算：( 2)2 +(π−3)0− 16.
1
18．计算：4 − 6 3+ 12 3.
2
x 2
19. 解方程： − =1.
x−3 x+1
C
20. 已知：如图，点 B，D在线段AE上，AD=EB，AC∥EF ，
D E
C=F. A B
求证：BC=DF . F
21. 下面是圆圆设计的“作等腰三角形一腰上的高线”的尺规作图过程 .
A
已知：△ABC，AB=AC.
求作：AB边上的高线 ．
作法：如图，
B C
① 以点C为圆心，CB为半径画弧，交AB于点B和点D；
3 / 131
② 分别以点B和点D为圆心，大于 BD长为半径画弧，两弧相交于点M ；
2
③ 作射线CM 交AB于点E．
所以线段CE就是所求作的AB边上的高线．
根据圆圆设计的尺规作图过程，完成下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面证明.
证明：∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上（__________） （填推理的依据）．
∵__________=__________，
∴点M 在线段BD的垂直平分线上．
∴CM 是线段BD的垂直平分线.
∴CM ⊥BD．
∴线段CE就是AB边上的高线．
22．现有A，B两个不透明的袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球，其中A 袋中装有2个白球，1
个红球；B袋中装有2个红球，1个白球．小林和小华商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中各
随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表
法或画树状图法,说明这个游戏对双方是否公平．
m2+n2 m−n
23．已知m−n=2 3，求代数式( −n) 的值．
2m m
C
24．在△ABC中，A=50，B=30，点D在AB边上，连接CD，若△ A B
ACD为直角三角形，求BCD的度数.
4 / 1325. 列分式方程解应用题：
“5G改变世界，5G创造未来”．2019年9月，全球首个5G上海虹桥火车站，完成
了5G网络深度覆盖，旅客可享受到高速便捷的5G网络服务．虹桥火车站中5G网
络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍．在峰值速率下传输7千兆数据，5G网络比4G网络快630秒，求5G
网络的峰值速率．
A
26. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，A=60，点E为AD边
上一点，连接CE，BD. CE与BD交于点F ，且CE∥AB.
E
（1）求证:CED=ADB；
F
B D
（2）若AB=8，CE=6. 求BC的长 .
C
27. 阅读下列材料，然后回答问题 .
1 1 1
已知 a0，S = ，S =−S −1，S = ，S =−S −1，S = ，….
1 a 2 1 3 S 4 3 5 S
2 4
1
当n为大于1的奇数时，S = ；当n为大于1的偶数时，S =−S −1.
n S n n−1
n−1
（1）求S ；（用含a的代数式表示）
3
（2）直接写出S = ；（用含a的代数式表示）
2020
（3）计算：S +S +S ++S = ．
1 2 3 2022
28.定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角
形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.
在钝角三角形ABC中，BAC＞90，ACB=，ABC =，过点A的直线l交BC边于点
D．点E在直线l上，且BC =BE．
（1）若AB=AC ，点E在AD延长线上．
① 当=30，点D恰好为BC 中点时，依据题意补全图1.请写出图中的
一个“半角三角形”：__________;
5 / 13② 如图2，若BAE=2，图中是否存在“半角三角形”（△ABD除外），若存在，请写出图中
的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；
A
A
B D C
B C
E
图1 图2 l
（2）如图3，若AB＜AC，保持BEA的度数与（1）中②的结论相同，
请直接写出BAE，， 满足的数量关系：__________．
A A
B C B C
图3 备用图
6 / 132020 北京房山初二（上）期末数学
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B C A C D D
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 360
10. 4
11. 1
12. x≥-2
13. 24
1
14.
4
15. 直角；5
16. 3 3
注：第15题一空一分.
三、解答题（本大题共12小题，其中第17-18题每小题4分，第19-26题每小题5分，第27-28题每小题6分，
共60分）
17．计算：( 2)2 +(π−3)0− 16.
解：( 2)2 +(π−3)0− 16.
= 2+1−4 ………….………..……….3分
=−1 ………….…………….4分
1
18. 计算：4 − 6 3+ 12 3.
2
1
解：4 − 6 3+ 12 3.
2
=2 2−3 2+2 ………….………..……….3分
7 / 13=2− 2 ………….………..……….4分
19．解：等式两边同时乘(x−3)(x+1)，去分母得:
x(x+1)−2(x−3)=(x−3)(x+1) ………….………..……….2分
x2 +x−2x+6=x2 −2x−3
x=−9 ………….………..……….4分
检验：当x=−9时，最简公分母(x−3)(x+1)0.
所以x=−9原分式方程的解. ………….………..……….5分
20. 证明：∵AD=BE，
C
∴AD−BD=BE−BD.
D E
∴AB=ED. ………..……….1分 A B
∵AC∥EF ，
F
∴
A=E. ………….………..……….2分
在△ABC和△EDF 中
C=F，
A=E，
AB= ED.
∴△ABC≌△EDF . ………….………..……….4分
∴BC=DF . ………….………..……….5分
21. 解：（1）补全的图形如图. ………….………..……….2分
A
D
M
E
B C
（2）到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ………….3分
MB MD ………….………..……….5分
8 / 1322. 解:
列表法如下：
A B 红 红 白
1 2
白 （白 ，红 ） （白 ，红 ） （白 ，白）
1 1 1 1 2 1
白 （白 ，红 ） （白 ，红 ） （白 ，白）
2 2 1 2 2 2
红 （红，红 ） （红，红 ） （红，白）
1 2
或画树状图如下：
开始
A 白 白 红
1 2
B 红 红 白 红 红 白 红 红 白
1 2 1 2 1 2
………….………..……….3分
由上表或树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种.
4 5
∴P（颜色相同）= ，P（颜色不同）= .
9 9
4 5
∵ ＜ ，
9 9
∴这个游戏规则对双方不公平. ………….………..……….5分
m2+n2−2mn m−n
23. 解: 原式=( ) ………….………..……….1分
2m m
（m−n）2 m
= ………….………..……….3分
2m m−n
m−n
= ………….………..……….4分
2
∵m−n=2 3
9 / 13m−n 2 3
所以原式= = = 3. ………….………..……….5分
2 2
C
24. 解：①当ADC=90时，
∵ADC=B+BCD，B=30，
BCD=ADC−B=90−30=60. A D B
……….………..……….3分 C
②当ACD=90时，
∵A=50，B=30，
A D B
∴ACB=180−A−B=180−50−30=100，
∴BCD=ACB−ACD=100−90=10. …….………..……….5分
∴BCD=10或BCD=60.
注：画出图形，计算错误给1分.
25．解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据． ….………..……….1分
7 7
依题意，得 − =630 ….………..……….2分
x 10x
解得 x=0.01． ….………..……….3分
经检验：x=0.01是原方程的解，且满足实际意义． ……..……….4分
10x=100.01=0.1
答：5G网络的峰值速率为每秒传输0.1千兆数据． ….………..……….5分
26．（1）证明：∵AB= AD，A=60，
∴△ABD是等边三角形.
∴ADB=60. …….………..……….1分
∵CE∥AB，
∴CED=A=60. …….………..……….2分
∴CED=ADB.
10 / 13（2）解：连接AC交BD于点O，
A
∵AB= AD，BC=DC，
∴AC垂直平分BD.
E
∴BAO=DAO=30.
F
B D
O
∵△ABD是等边三角形，AB=8
∴AD=BD= AB=8， C
∴BO=OD=4. ………….………..……….3分
∵CE∥AB，
∴ACE=BAO.
∴AE =CE =6, DE = AD−AE =2.
∵CED=ADB=60.
∴EFD=60.
∴△EDF 是等边三角形.
∴EF = DF = DE =2,
∴CF =CE−EF =4,OF =OD−DF =2.
在Rt△COF 中，
∴OC = CF2 −OF2 =2 3. …….………..……….4分
在Rt△BOC中，
∴BC = BO2 +OC2 = 42 +(2 3)2 =2 7 . …….………..……….5分
27．解：
1
（1）∵ S = ，
1 a
1 a+1
∴S =−S −1=− −1=− . ….………..……….2分
2 1 a a
1 a
∴S = =− . ….………..……….3分
3 S a+1
2
1
（2）S =− ….………..……….4分
2020 a+1
11 / 13（3）−1011. ….………..……….6分
28.解：（1）① 如图， ….………..……….1分
A
B D C
E
l
图中的一个 “半角三角形”：△ABD或△ACD或△BDE或△ABE;
….………..……….2分
② 存在，“半角三角形”为△BAE. ….………..……….3分
延长DA到F ，使得AF = AC，连接BF ．
F
∵AB= AC，
∴ =.
A
∴ BAC =180−2.
∵BAE =2， B D C
∴BAF =180−2．
E
∴BAF =BAC． l
在△BAF和△BAC中，
AF = AC,
BAF =BAC,
BA= BA,
∴ △BAF≌△BAC. ….………..……….4分
∴ F =C，BF =BC.
∵ BE=BC，
12 / 13∴ BF = BE.
∴BEA=F =C =． ….………..……….5分
（2）BAE =+或BAE++=180． ….………..……….6分
13 / 13
