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北京市石景山区2020-2021学年八年级下学期数学期末试卷
阅卷人
一、单选题
得分
1．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(−2，3) 关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．(−2，−3) B．(2，−3) C．(2，3) D．(−2，3)
2．下列标识中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，小山为了测量某湖两岸A，B两点间的距离，先在AB外选定一点C，然后测量得到CA，CB
的中点D，E，且DE＝8m，从而计算出A，B两点间的距离是（ ）m
A．8 B．12 C．16 D．20
5．关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．如图是某动物园的示意图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表
示狮虎山的点的坐标为 (0，1) ，表示熊猫馆的点的坐标为 (2.5，−0.5) ，则表示百鸟园的点的坐标
为（ ）
1 / 27A．(−2，−1) B．(−1，−2) C．(2，−1) D．(−1，2)
7．在下列关于变量 x ， y 的关系式中，能够表示 y 是 x 的函数关系的是（ ）
A．y2=x B．y=±√x C．y=x D．|y|=x
8．在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，点E，M为AD边上任意两个不重合的动点（不与端点重
合），EO的延长线与BC交于点F，MO的延长线与BC交于点N．下面四个推断：① EF＝MN；②
EN∥MF ；③ 若平行四边形ABCD是菱形，则至少存在一个四边形ENFM是菱形；④ 对于任意的平行
四边形ABCD，存在无数个四边形ENFM是矩形，其中，所有正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
阅卷人
二、填空题
得分
2x
9．在函数 y= 中，自变量x的取值范围是 ．
x−3
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AC=6cm，BC=8cm则CD的长为
cm．
11．如图，请给矩形ABCD添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为 ．
2 / 2712．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，DB＝DC， CE⊥BD于E，则∠BCE＝ ．
13．已知一次函数 y=(k−3)x+1 中， y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是 ．
14．关于 x 的一元二次方程 x2−x+a−2=0 的一个根为1，则 a 的值为 ．
15．平面直角坐标系 xOy 中，点A，B，C，D的位置如图所示，当 k>0 且 b<0 时，A，B，C，D
四点中，一定不在一次函数 y=kx+b 图象上的点为 ．
16．为庆祝中国共产党建党100周年，某高校组织党史知识竞赛．根据小明、小刚5次预赛成绩绘制成如
图的统计图．下面有四个推断：①小明、小刚5次成绩的平均数相同；②与小刚相比，小明5次成绩的
极差大；③与小刚相比，小明5次成绩的方差小；④与小明相比，小刚的成绩比较稳定，其中，所有合
理推断的序号是 ．
阅卷人
三、解答题
得分
17．下面是小阳设计的作矩形的尺规作图过程．
3 / 27已知：Rt△ABC，∠ABC＝90°．
求作：矩形 ABCD．
作法：
①以A为圆心，BC的长为半径画弧，再以C为圆心，
AB的长为半径画弧，两弧交于点D；
②连接DA，DC．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形．
根据小阳设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AD＝BC，CD＝AB，
∴四边形ABCD是 ▲ （ ▲ ）．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（ ▲ ）．
18．选择适当的方法解方程： x2−8x+5=0 ．
19．已知，如图，E、F分别为□ABCD的边BC、AD上的点，且∠1=∠2,.求证：AE=CF.
20．一次函数 y=kx+b 的图象与正比例函数 y=−3x 的图象平行，且过点 (2，−4) ．
（1）求一次函数 y=kx+b 的表达式；
（2）画出一次函数 y=kx+b 的图象；
（3）结合图象解答下列问题：
①当 y<0 时， x 的取值范围是 ▲ ；
②当 0<x<2 时， y 的取值范围是 ▲ ；
21．关于 x 的一元二次方程 mx2−3x+2=0 有两个实数根．
4 / 27（1）求 m 的取值范围；
（2）若 m 为正整数，求此时方程的根．
22．袁隆平是我国研究与发展杂交水稻的开创者，被誉为“杂交水稻之父”，成功选育了世界上第一个
实用高产杂交水稻品种．某农业基地现有杂交水稻种植面积20公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增
至24.2公顷，求该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率．
23．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE于点H，交AD于
点F，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CF，若CE＝1，CF＝2， AB=√5 ，求菱形ABEF的面积．
24．某校为了解初二年级学生的身高情况，从中随机抽取了40名学生的身高数据，并对数据进行整理、
描述和分析．下面给出了部分信息．
a． 40名学生身高的频数分布表和频数分布直方图如下：
40名学生身高的频数分布表（表1）
身高x（cm） 频数 频率
150≤x＜155 4 0.100
155≤x＜160 a 0.300
160≤x＜165 7 0.175
165≤x＜170 b m
170≤x＜175 8 0.200
175≤x＜180 2 0.050
合计 40 1.000
40名学生身高的频数分布直方图
5 / 27b． 40名学生身高在160≤x＜165这一组的数据如下表（表2）所示：
身高（cm） 160 161 162 163 164
频数 1 0 1 2 3
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表1中a的值为 ；
（2）补全该校40名学生身高频数分布直方图；
（3）样本数据的中位数是 ；
（4）若该校初二年级共400名学生，估计身高不低于165cm的学生有 人．
1
25．平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ： y=2x+b 与直线 l ： y= x 交于点 P(2，m) ．
1 2 2
（1）求 m ， b 的值；
（2）直线 x=n(n≠0) 与直线 l ， l 分别交于M，N两点，当MN＝3时，若以M，N，P，Q为
1 2
顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
26．小明从学校出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆，小明出发的同时，同学小阳以每分钟80米的速
度从图书馆沿同一条道路步行回学校，两人离学校的路程 y （单位：米）与时间x（单位：分钟）的函
6 / 27数图象如图所示．
（1）阅读分析题目的文字及图象信息，直接写出能推理得到的三条不同的结论；
（2）若小明在图书馆停留5分钟后沿原路按原速返回，请补全小明离学校的路程 y 与x的函数图象；
（3）小明从学校出发，经过多长时间在返校途中追上小阳？
27．已知：如图， E 为正方形 ABCD 的边BC延长线上一动点，且 CE<BC ，连接 DE ．点F与点
E关于直线DC对称，过点F作 FH⊥DE 于点H，直线FH与直线DB交于点M．
（1）依题意补全图形；
（2）若 ∠EDC=α ，请直接写出 ∠DMF ＝ （用含 α 的式子表示）；
（3）用等式表示BM与CF的数量关系，并证明．
28．对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 PQ 与点R，给出如下定义：若 PR=PQ ，则称点R为线段
PQ 的“ P− 等长点”．如图，已知点 A(1，0) ， B(0，2) ．
（1）在点 R (2，0) ， R (−1，0) ， R (1，−1) 中，线段 AO 的“ A− 等长点”为
1 2 3
；
7 / 27（2）若直线 y=x+b 上存在线段 BO 的“ B− 等长点”，求b的取值范围；
（3）连接AB，
①若第一象限内的点R是线段 BA 的“ B− 等长点”，且△ABR是直角三角形，则点R的坐标为
▲ ；
②矩形CDEF中，DE＝2， C(t，1) ， D(t+1，1) ，若矩形CDEF上存在线段 BA 的“ B− 等
长点”，直接写出 t 的取值范围．
8 / 27答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】解：点 A(−2，3) 关于原点对称的点的坐标为点 (2，−3) ．
故答案为：B．
【分析】两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，因而点（a，b）关于原点对称的点
是（-a，-b）。
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A.不是中心对称图形，故不符合题意；
B. 是中心对称图形，故符合题意；
C.不是中心对称图形，故不符合题意；
D.不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的定义即可得出。
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n
因为一个多边形的内角和等于(n-2)×180
又因为多边形的外角和等于360度（无论是几边形都是360)
所以 根据题意：（n-2)×180=360×2
解之 n-2=4
所以 n=6，选C
4．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别为CA，CB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝16m，
故答案为：C．
9 / 271
【分析】连接AB，根据三角形的中位线性质得出DE= AB，再代入求出答案即可。
2
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：△＝a2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4.
∵a2≥0，
∴a2+4＞0，即△＞0，
∴方程x2+ax﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】先求出b2-4ac的值，再利用平方的非负性可得到b2-4ac＞0，即可判断出已知方程根的情况.
6．【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】 ∵ 表示狮虎山的点的坐标为 (0，1) ，表示熊猫馆的点的坐标为 (2.5，−0.5)
以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，
故原点坐标在狮虎山的点的正南方1个单位的位置，
如图所示：
则百鸟园的点的坐标为： (−2，−1) ．
故答案为：A．
【分析】利用狮虎山的点坐标得出原点的位置，进而建立平面直角坐标系，得出百鸟园的点的坐标。
7．【答案】C
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】A. y2=x ，若 x=1 ，则 y=±1 ，不满足函数的定义，不符合题意；
B. y=±√x ，若 x=4 ，则 y=±2 ，不满足函数的定义，不符合题意；
C. y=x ，不论 x 取何值， y=x ， y 有唯一的一个值与之对应，满足函数定义，符合题意；
10 / 27D. |y|=x ，若 x=1 ，则 y=±1 ，不满足函数的定义，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据对于x的每一个确定的值，y是否有唯一的值与其对应进行判断。
8．【答案】D
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：①如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是中心对称图形，则其对称中心是对角线AC的中点O，
∴OE=OF，OM=ON
故有且仅有当OE=OM时，EF=MN，故①不符合题意；
②如图2，
由①得 OE=OF，OM=ON
∴四边形 ENFM 是平行四边形
∴EN//MF ，故②符合题意；
③如图3，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD 即∠APD=90°
∵点E，M在边AD上，且不与端点A，D重合，
11 / 27∴∠EOM<90°
∴不存在一个四边形ENFM是菱形，故③不符合题意；
④如图1，存在无数点使OE=OM，
∵平行四边形ABCD是中心对称图形，
∴OE=OF，OM=ON，
∴四边形 ENFM 是平行四边形
又EF，MN有无数次垂直，
所以，存在无数个四边形ENFM是矩形，故④符合题意，
∴正确的结论是②④
故答案为：D．
【分析】分别根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定与性质，矩形的判定进行判断即可得到正确的
结论。
9．【答案】x≠3
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知： x−3≠0 ，
解得x≠3，
故答案为x≠3．
【分析】先求出 x−3≠0 ，再求出x≠3即可。
10．【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】由勾股定理得， AB=√AC2+BC2=√62+82=10 ( cm )，
∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，
1 1
∴CD= AB= ×10=5 ( cm )，
2 2
故答案为：5．
【分析】利用勾股定理列式求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
11．【答案】AB=BC
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：添加的条件是：AB=BC．
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．
12 / 27故答案为：AB=BC．
【分析】根据正方形的判定添加条件即可。
12．【答案】20°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BCD=∠A=70°
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB=70°
∵CE⊥BD
∴∠CEB=90°
∴∠BCE=90°-∠DBC=20°．
故填20°．
【分析】有平行四边形的性质可得∠BCD=∠A=70°，又由于DB=DC，得出∠DBC=∠DCB=70°，再根据
三角形内角和即可解答。
13．【答案】k<3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 y=(k−3)x+1 的值 y 随 x 的增大而减小，
∴k-3＜0，即k＜3．
故答案为： k<3 ．
【分析】由题意，得出k-3＜0，解得k＜3，即可得出k的范围。
14．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可知：将 x=1 代入方程 x2−x+a−2=0 中，
得到： 1−1+a−2=0 ，
解得 a=2 ，
故答案为： 2 ．
【分析】把x=1代入一元二次方程x2−x+a−2=0即可得a的值。
15．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
13 / 27【解析】【解答】解：∵k>0 且 b<0 ，
∴一次函数 y=kx+b 的图象过一、三、四象限，
∴点D一定不在一次函数 y=kx+b 的图象上
故答案为：D
【分析】根据一次函数性质解答即可。
16．【答案】①③
【知识点】折线统计图；方差
92+94+100+91+93
【解析】【解答】小明的成绩为92，94，100，91，93，故平均数为 =94 （分）；
5
极差为100-91=9（分）；
(92−94) 2+(94−94) 2+(100−94) 2+(91−94) 2+(93−94) 2
方差为 =10
5
88+100+93+98+91
小刚的成绩为88，100，93，98，91，故平均数为 =94 （分）；
5
极差为100-88=12（分）；
(88−94) 2+(100−94) 2+(93−94) 2+(98−94) 2+(91−94) 2
方差为 =19.6
5
∴①小明、小刚5次成绩的平均数相同，符合题意；②与小刚相比，小明5次成绩的极差小，不符合题
意；③与小刚相比，小明5次成绩的方差小，符合题意；④与小刚相比，小明的成绩比较稳定，不符合
题意
故答案为：①③．
【分析】分别求出小刚和小明的平均数、方差、极差后进行判断即可。
17．【答案】（1）解：使用直尺和圆规，补全图形如图所示：
（2）证明：∵AD＝BC，CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
14 / 27故答案为：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【知识点】矩形的判定；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）根据几何语言画出 对应的几何图形；
（2）利用作法先证明四边形ABCD是平行四边形，在利用∠B＝90°，可判断出四边形ABCD是矩形。
18．【答案】解：原方程可化为： x2−8x=−5
x2−8x+16=−5+16 ．
(x−4) 2=11 ．
x−4=±√11 ．
∴x =4+√11 ， x =4−√11 ．
1 2
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用一元二次方程的配方法求解即可。
19．【答案】证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠B=∠D，AB=CD
在△ABE与△CDF中，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=CD
∴△ABE≌△CDF
∴AE=CF
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】利用平行四边形的对应边相等，对应角相等，可证得∠B=∠D，AB=CD，再利用AAS
证明△ABE≌△CDF，然后利用全等三角形的对应边相等，即可证得结论。
20．【答案】（1）解：∵一次函数 y=kx+b 的图象与正比例函数 y=−3x 的图象平行，
k=−3 ，
又∵一次函数 y=kx+b 的图象过点 (2，−4) ．
根据题意得： 2×(−3)+b=−4 ，
解得 b=2 ，
∴一次函数的表达式为 y=−3x+2 ．
（2）解：图象如图所示：
取x=0，y=2，描点（0，2）与（2，-4），
连线得图像如图，
15 / 272
（3）①x> ；②−4<y<2
3
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象
2 2
【解析】【解答】解：（3）①当 y=0 时， x = ，直线与x轴的交点（ ，0），
3 3
当 y<0 时，直线位于x轴下方，自变量 x 的取值范围在交点的右侧，
2
∴x> ；
3
2
故答案为 x> ；
3
②当 0<x<2 时，取x=0， y=−3×0+2=2 ，取x=2， y=−3×2+2=−4 ，
∴−4<y<2 ，
故答案 −4<y<2 ．
【分析】（1）根据两条直线相交或平行问题由一次函数的图象与正比例函数的图象平行得出k=-3，再把
点（2，-4）代入一次函解析式可求出b的值；
（2）过（0，2），（2，-4）作直线即可得到一次函数的图象；
（3）根据函数图象中的信息即可得到结论。
21．【答案】（1）解：∵Δ=(−3) 2−4m×2 =9−8m ，
{ m≠0
依题意，得 ，
9−8m≥0
9
解得 m≤ 且 m≠0 ．
8
（2）解：∵m 为正整数，
∴m=1 ．
∴原方程为 x2−3x+2=0 ．
解得 x =1 ， x =2 ．
1 2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由方程由两个相等的实数根得出△=b2−4ac≥0，可得关于m的不等式，解之可
16 / 27得m的范围，结合一元二次方程的定义可得答案；
（2）由（1）知m=2，得出方程，再由因式分解法求得可得。
22．【答案】解：设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为 x ，
根据题意，得 20(1+x) 2=24.2 .
整理，得 (1+x) 2=1.21 .
解得 x =0.1，x =−2.1 （不合题意，舍去）
1 2
∴x=0.1=10% ．
答：该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为10%．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为 x ，根据题意列出方程。解之即可。
23．【答案】（1）证明：如下图所示：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠2=∠3 ，
∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，即△BAE为等腰三角形，
∴AB=BE，
∵BF⊥AE，
∴∠AGB=∠AGF=90°，
又∠1=∠2，且AG=AG，
∴△ABG≌△AFG（ASA），
∴AB=AF，
∴AF=BE，又AF∥BE，
∴四边形 ABEF 是平行四边形．
又∵BF⊥AE，
∴四边形 ABEF 是菱形．
（2）解：连接CF，如下图所示：
17 / 27∵四边形 ABEF 是菱形，
∴EF=BE=AB=√5 .
∵CE=1，CF=2，
∴EC2+FC2=EF2 .
∴∠ECF=90° .
∴FC⊥BE .
∴菱形ABEF的面积为 BE×CF=√5×2=2√5 ．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明△BAE为等腰三角形，得出四边形 ABEF 是平行四边形．由此即可解决
问题；
（2）连接CF，由四边形 ABEF 是菱形，CE=1，CF=2，得出EC2+FC2=EF2 ，FC⊥BE .即可得
出菱形ABEF的面积．
24．【答案】（1）12
（2）解：b= 40−4−12−7−8−2=7
补全直方图：
（3）163.5
7+8+2
（4）解：身高不低于165cm的学生有 400× =170（人）．
40
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：（1） a=40×0.300=12 ，
故答案为：12；
（3）共40个数据，第20个数据为163cm，第21个数据为164cm，
163+164
故中位数为 =163.5cm；
2
18 / 27【分析】（1）根据频数=样本容量×频率求解即可；
（2）先根据频数之和等于样本容量求出b的值，从而补全图形；
（3）找到这组数据的第20、21个数据，求平均数即可得出答案；
（4）总人数乘以样本中身高不低于165cm的学生人数所占比例。
1
25．【答案】（1）解：∵直线 l ： y=2x+b 与直线 l ： y= x 交于点 P(2，m) ，
1 2 2
{m=4+b
∴ 1
m= ×2
2
∴m=1，b=−3.
（2）解：依题意可得直线 l ： y=2x−3
1
∴直线 l 与y轴的交点为（0，-3）
1
∵直线 x=n(n≠0) 与直线 l ， l 分别交于M，N两点， MN＝3，
1 2
∴M，N不是y轴上的点
1
设M（x，2x-3），则N（x， x ）
2
1
由MN＝3，得（2x-3）- x =3
2
解得x=4
∴M（4，5），则N（4，2）
∵以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当MN为四边形MPNQ的对角线时，MN的中点坐标为（4，3.5）
故 P(2，1) 、Q关于（4，3.5）对称，
∴点Q的坐标为 (6，6) ，
②当MN为四边形MNQP的一边时，MN=PQ=3，且PQ与y轴平行
故点Q的坐标为 (2，4) 或 (2，−2)
综上，点Q的坐标为 (2，4) ， (2，−2) 或 (6，6) ．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数-动态几何问题
1
【解析】【分析】（1）先将点P坐标代入y= x 求出m，再将点坐标代入y=2x+b 求解；
2
1 1
（2）设M（x，2x-3），则N（x， x ），由MN＝3，得（2x-3）- x =3，解得x=4，即得出M
2 2
（4，5），则N（4，2），因为以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，①当MN为四边形
MPNQ的对角线时，②当MN为四边形MNQP的一边时，两种情况分别讨论即可。
19 / 2726．【答案】（1）解：答案不唯一，如：
①小明骑车的速度为每分钟240米；
②点C的坐标为 (30，0) ；
③线段OA的函数表达式为 y=240x(0≤x≤10) ；
④线段BC是小阳离校的路程与时间的函数图象；
（2）解：用点D表休息5分钟后起点，则AD=5，
∵原路按原速返回，返回时间与去时时间相同，用E点表示返回学校点E（25，0）
补全图象如图所示：
（3）解：设DE的表达式为 y=kx+b(k≠0) ，
∵D(15，2400) ， E(25，0) ，
{15k+b=2400，
∴
25k+b=0.¿
{k=−240，
解得
b=6000.
∴y=−240x+6000(15≤x≤25) ．
∵小阳以每分钟80米的速度从图书馆沿同一条道路步行回学校，
所用时间2400÷80=30分钟，
∴点C（30，0），
设BC解析式为 y=k x+b (k≠0) ，
1 1
{ b =2400
代入坐标得 1 ，
30k +b =0
1 1
解得 y=−80x+2400 ，
小明从学校出发在返校途中追上小阳，
{ y=−80x+2400，
由
y=−240x+6000，
{x=22.5，
得
y=600.
答：小明从学校出发，经过22.5分钟追上小阳．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
20 / 27【解析】【分析】（1）根据图形解答即可；
（2）根据题意可知，小明在15分钟时返回，在25分钟到达，据此可得相应的图象；
（3）根据题意列方程解答即可。
27．【答案】（1）解：补全图形如图所示．
（2）45°−α
（3）BM与CF的数量关系为 BM=√2CF .
证明：在CD上取点G，使得CG=CE，连接GE.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠1=∠BDC=45° ， ∠2=90° ，BC=DC．
∴∠3=∠4=45° ．
∴∠5=∠6=135° ．
∵点F与点E关于直线DC对称，
∴CF=CE=CG，且点F在BC上．
∴BF=GD．
∵MH⊥DE 于 H ，
∴∠7=∠2=90° ．
∴∠8=∠HFE=∠9 ．
∴△BMF ≌ △GED ．
∴MB=EG ．
∵¿=√2CE=√2CF ，
∴BM=√2CF ．
【知识点】四边形的综合
21 / 27【解析】【解答】解：（2）∵四边形 ABCD 是正方形，BD是对角线
∴△BCD是等腰直角三角形
∴∠BDC=45°
∴∠MDH=∠BDC + ∠EDC=45°+α
∵FH⊥DE
∴∠DMF=90°−∠MDH=45°−α
故答案为： 45°−α ；
【分析】（1）由题意补全图形即可；
（2）由正方形的性质得出∠BDC=45°，由直角三角形的性质可得出答案；
（3）在CD上取点G，使得CG=CE，连接GE.由正方形的性质得出∠1=∠BDC=45° ， ∠2=90° ，
BC=DC．证明△BMF ≌ △GED ，由全等三角形的性质得出MB=EG，由等腰直角三角形的性质可得
答案。
28．【答案】（1）R ， R
1 3
（2）解：如图，过点B作直线 y=x+b 的垂线，垂足为H．
不妨设直线 y=x+b 与 x 轴交于点M，与 y 轴交于点N，
则易得 M(−b，0) ， N(0，b) ，
∴OM=ON ，
∴∠BNM=45° ，
当 BH=BO=2 时， BN=2√2 ，
i）若 b<2 ，则 b=2−2√2 ，
ii）若 b>2 ，则 b=2+2√2 ，
结合函数图象，可得 2−2√2≤b≤2+2√2 ；
（3）解：①点R是线段 BA 的“ B− 等长点”，
∴BA=BR=√5 ，
又∵△ABR是直角三角形，
∴∠ABR=90°，
过点R作PR⊥y轴于点P，如图，
22 / 27由图可知： ∠PRB=∠BOA=90° ，
∵∠PBR+∠OBA=90° ， ∠PBR+∠PRB=90° ，
∴∠PRB=∠OBA ，
在 △RPB 和 △BOA 中，
{∠BPR=∠BOA
∵ ∠PRB=∠OBA ，
BR=BA
∴△RPB ≅ △BOA(AAS) ，
∴PR=OB=2，PB=OA=1 ，
∴点R的坐标为 (2，3) ；
②设线段 BA 的“ B− 等长点”为M，
则 BA=BM=√5 ，
当线段EF在直线y=1下方时，
两个极限位置如图：
分析得 −3≤t≤2 ；
当线段EF在直线y=1上方时，
若矩形在y轴右侧，两个极限位置如图：
23 / 27分析得 1≤t≤√5 ；
若矩形在y轴左侧，两个极限位置如图：
分析得 −√5−1≤t≤−2 ；
综上所述： −√5−1≤t≤√5
【知识点】一次函数-动态几何问题；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） AO=1 ， AR =1 ， AR =2，AR =1 ，
1 2 3
∵AO=AR =AR ，
1 3
∴线段 AO 的“ A− 等长点”为 R ， R ；
1 3
【分析】（1）根据题意，分别求出 AR ， AR ， AR 的长度判断即可；
1 2 3
（2）过点B作直线 y=x+b 的垂线，垂足为H．设直线 y=x+b 与 x 轴交于点M，与 y 轴交于点
N，结合图象分类讨论b的取值范围即可；
（3）①点R是线段 BA 的“ B− 等长点”，且△ABR是直角三角形，由图象可知R的坐标；②根据
图象得出t的临界值，进而求得t的取值范围。
24 / 27试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：141分
客观题（占比） 16.0(11.3%)
分值分布
主观题（占比） 125.0(88.7%)
客观题（占比） 8(28.6%)
题量分布
主观题（占比） 20(71.4%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 8(28.6%) 9.0(6.4%)
解答题 12(42.9%) 116.0(82.3%)
单选题 8(28.6%) 16.0(11.3%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (82.1%)
2 容易 (10.7%)
3 困难 (7.1%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 分式有意义的条件 1.0(0.7%) 9
2 频数（率）分布表 12.0(8.5%) 24
3 三角形的中位线定理 2.0(1.4%) 4
25 / 274 配方法解一元二次方程 5.0(3.5%) 18
5 菱形的判定与性质 10.0(7.1%) 23
6 用样本估计总体 12.0(8.5%) 24
7 全等三角形的判定与性质 2.0(1.4%) 19
一元二次方程的实际应用-百分率
8 5.0(3.5%) 22
问题
9 一元二次方程根的判别式及应用 12.0(8.5%) 5,21
10 多边形内角与外角 2.0(1.4%) 3
11 定义新运算 11.0(7.8%) 28
12 频数（率）分布直方图 12.0(8.5%) 24
13 方差 1.0(0.7%) 16
14 一次函数的图象 16.0(11.3%) 15,20
15 正方形的判定 1.0(0.7%) 11
16 通过函数图象获取信息并解决问题 15.0(10.6%) 26
17 待定系数法求一次函数解析式 15.0(10.6%) 20
18 平行四边形的性质 13.0(9.2%) 12,19,23
19 四边形的综合 13.0(9.2%) 8,27
20 两一次函数图象相交或平行问题 10.0(7.1%) 25
21 中心对称及中心对称图形 2.0(1.4%) 2
22 矩形的判定 10.0(7.1%) 17
23 平面直角坐标系的构成 2.0(1.4%) 6
24 函数解析式 2.0(1.4%) 7
26 / 2725 描点法画函数图象 15.0(10.6%) 20
26 勾股定理 2.0(1.4%) 10
27 一次函数图象、性质与系数的关系 2.0(1.4%) 13,15
28 用坐标表示地理位置 2.0(1.4%) 6
29 一元二次方程的根 1.0(0.7%) 14
30 关于原点对称的坐标特征 2.0(1.4%) 1
31 直角三角形斜边上的中线 2.0(1.4%) 10
32 一次函数-动态几何问题 21.0(14.9%) 25,28
33 尺规作图的定义 10.0(7.1%) 17
34 一次函数的实际应用 15.0(10.6%) 26
35 折线统计图 1.0(0.7%) 16
27 / 27
