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10.2 平面向量的数量积（精练）（提升版）
题组一 平面向量的坐标运算
1．（2022·河南·高三开学考试（文））已知向量 ， ，且 ，若 ，
则实数m的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为向量 ， ，且 ，
所以 ，得 （舍）或 ，即 ，
所以， ,
所以 ，解得 ．
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知向量 ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 的最小值为7 D．若 ，则 与 的夹角为钝角
【答案】AC
【解析】 若 ，则 ，解得 ，故选项A正确；
若 ，则 ，解得 或 ，故选项B错误；
由题得 ，故 ，当且仅当 时取得最小值，故选项C正确；当 时， ， 与 的夹角不为钝角，故选项D错误．
故选：AC．
3．（2022·全国·模拟预测）（多选）已知向量 ， ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．若向量 与 的夹角为 ，则
C．若 ，则向量
D．若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
【答案】AB
【解析】对于A，由题可得 ，所以由 ，
得
，解得 ，所以A正确；
对于B，因为 ，故 ，所以B正
确；
对于C，因为 ，所以存在 ，使得 ，则由 ，得 或 ，
所以 或 ，所以C不正确；
对于D，若 与 的夹角为锐角，则 ，且 与 不共线，
所以 ，即 ，解得 ，
又 ， ，
与 不共线，所以 ，得 ，所以实数 的取值范围为 ，所以D不正确．
故选：AB
4．（2022·山东日照·二模）（多选）已知向量 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由 ， ， ，
对于A，若 ，由 ，故A错误；
对于B，若 ，则 ，符合题意，故B正确；
对于C，若 ，由 ，故C错误；
对于D， ， ，故D正确.
故选：BD.
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 , ,其中 ，则以下结
论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 或
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 或 或 ，故A不正确；对于B，若 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 或 ，
所以 或 ，故B正确；
对于C， ，则
，故C正确；
对于D，若 ，则 ，则 ，则 ，即 ，所以
，故D正确.
故选：BCD.
6．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． ， 的夹角为
C． 在 上的投影向量为 D． 在 上的投影向量为
【答案】AC
【解析】由 ， ，可知 ， ，
对于A选项， ，故 ，故A正确；对于B选项，
设 为 ， 的夹角，则 ，故B错误；对于C选项， 在 上的投影向量为
，故C正确；对于D选项， 在 上的投影向量为 ，故D错误.
故选：AC.7．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知向量 ， ， ， ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C． 的最小值为
D．若向量 与向量 的夹角为锐角，则 的取值范围是
【答案】ABC
【解析】对于A，因为 ， ， ，所以 ，解得 ，所以A
正确.
对于B，由 ，得 ，
则 解得 ，故 ，所以B正确.
对于C，因为 ，
所以 ，
则当 时， 取得最小值，为 ，所以C正确.
对于D，因为 ， ，向量 与向量 的夹角为锐角，
所以 ，解得 ；
当向量 与向量 共线时， ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，所以D不正确.故选：ABC.
题组二 平面向量的数量积
1．（2022·昆明模拟）四边形 中， ， ， ， ，则
（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】D
【解析】 ，
故 ，
所以 .
故答案为：D.
2．（2022·江苏）在 ABC中，若 （ ）
△
A． B． C． D．【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又 ，故 ，
所以 .
故选：B.
3．（2022·江苏南京·模拟预测）在 中， ， ， ， 为 的重心， 在
边 上，且 ，则 ______．
【答案】
【解析】因为 为 的重心，
所以 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
在 中， ．
方法一：因为 ，
，
所以 ，
．
方法二：以 坐标原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ，
由方法一可知 ， ，
所以 ．
4．（2022·浙江·高三开学考试）在 中， ，若 ，则
___________.【答案】
【解析】 ,
所以
.
故答案为：
题组三 巧建坐标
1．（2022·全国·模拟预测）已知 是等边三角形， ， 分别是 和 的中点， 是 边上一
动点，则满足 的点 的个数为______．
【答案】4
【解析】以 的中点 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直
角坐标系．
设 的边长为4，则 ， ， ， ， ， ，
，
设 ，则 ， ，
由 得 ，
所以 ，即点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，也就是以 为直径的圆，易
知该圆与 的三边有4个公共点．故答案为：
2．（2022·全国·模拟预测）在△ABC中，H，D分别是边BC，AC上一点， ， ， ，
则 ___________.
【答案】12
【解析】如图，以H为坐标原点，BC所在直线为x轴，HD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则
， ，设 ，所以 ， ，所以 .
故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 是边长为 的正三角形， 为线段 上一点（包含端
点），则 的取值范围为________.
【答案】
【解析】取线段 的中点 ，连接 ，则 ，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设 ，则 ， 、 ， ， ，
故 .
[ 1 ]
故答案为： − ,2
4
4．（2022·山西二模）在菱形 中， ，点 在菱形 所在平面内，则
的最小值为（ ）
A． B．-3 C． D．
【答案】C
【解析】由菱形 中， ，可得 且 ，
设 交于点 ，以 为坐标原点，直线 分别为 轴， 轴建立直角坐标系，如图，取 中点 ，则 ， ，
设 ，
则
，
所以当 ， 时， 取得最小值 。
故答案为：C．
5．（2022·湖北模拟）（多选）正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半
圆上任意点， ，则（ ）A． 最大值为 B． 最大值为1
C． 最大值是2 D． 最大值是
【答案】B,C,D
【解析】以AB中点O为原点建立平面直角坐标系， ， ， ，设 ，
则 ， ， ，
由 ，得 且 ，
，A不符合题意；
时 ，B符合题意；
，C符合题意；
，D符合题意．
故答案为：BCD.
6（2020高三上·连云港期中）（多选）已知 是边长为2的等边三角形， 是边 上的点，
且 ， 是 的中点， 与 交于点 ，那么（ ）A． B．
C． D．
【答案】A,C
【解析】建立平面直角坐标系如下图所示：取 中点 ，连接 ，
因为 为 中点，所以 ，又因为 ，
所以 ，所以易知 ，所以 为 中点，
A．因为 为 中点，所以 成立，故正确；
B．因为 为 中点，所以 ，所以 ，故错误；
C．因为 ，所以
，
所以 ，故正确；
D．因为 ，所以 ，所以 ，故错误，故答案为：AC.
7．（2022·广东二模）（多选）如图，已知扇形OAB的半径为1， ，点C、D分别为线段
OA、OB上的动点，且 ，点E为 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为0 B． 的最小值为
C． 的最大值为1 D． 的最小值为0
【答案】BCD
【解析】以 为原点建立如图所示的直角坐标系，
所以 ， ，
设 ，则 ， ，，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， 的最小值为-1，A不符合题意；
， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，
的最小值为 ，B符合题意；
设 ，又 ，所以 ，可得 ，
， ，
所以
，其中 ，
又 ，所以 ，所以 ， ，
， ，所以 ，
的最小值为0，CD符合题意.
故答案为：BCD.8．（2021高三上·五华月考）如图，矩形 中， ， ，以 为直径的半圆
上有一点 ，若 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】建立如图平面直角坐标系，
由题意知，点P的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，其方程为(x-2)2+y2=4(0≤y≤2)，题组四 最值
则其参数方程为 ，
其中A(0，-3)，B(4，-3)，D(0，0)，P(x，y)
则
则由 得 ，即 ，
则 ，其中
当 时，λ+μ取得最大值为
故答案为：
1．（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、
D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则 的最大值是（ ）A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】如图令 ，由于 ，故 ， ，
如图 ， ，故 ， ，
故
同理可求得 ，即 ，
所以
所以当 时， 取得最大值为2，
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）在平面内，定点 满足 ，
，动点P，M满足 ， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 ，即点 到 三点的距离相等，可得 为 的外心，
又由 ，
可得 ，所以 ，同理可得 ，所以 为 的垂心，
所以 的外心与垂心重合，所以 为正三角形，且 为 的中心，
因为 ，解得 ，
所以 为边长为 的正三角形，
如图所示，以 为原点建立直角坐标系，则 ，
因为 ，可得设 ，其中 ，
又因为 ，即 为 的中点，可得 ，
所以 .
即 的最大值为 .
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 是单位向量， ，若向量 满足 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】单位向量 满足 ，即 ，作 ，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半
轴建立平面直角坐标系，如图，，设 ，则 ，由 得： ，
令 ，即 ，
，其中锐角 满足 ，
因此，当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，则
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
如图所示：不妨设 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
表示点C在以 为圆心，以2为半径的圆上，
所以 最小值为 ，
故选：D
5．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知单位向量 与向量 垂直，若向量 满足 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意不妨设 ，设 ，则 ．
∵ ，∴ ，即表示圆心为 ，半径为1的圆，设圆心为P，∴
．∵ 表示圆P上的点到坐标原点的距离， ，∴ 的取值范围为
，
故选：C．
6．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，点 在以 为圆心2为半径的圆弧 上运动，且
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ，即 ，
设 (其中 )，
则 ，
所以
，
因为 ，则 ，可得 ，
所以当 时，即 时， 取的最小值，最小值为 .
故选：B.7．（2022·菏泽二模）已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且 ，则 的最
小值为 ．
【答案】
【解析】因为 ，又 ，所以 ，所以 ，
以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系：
则 ， ，设 ，则 ，
， ，
所以 ，
设 ，即 ，
依题意直线 与圆有交点，
所以 ，得 ，所以 的最小值为 .
故答案为：
8．（2022·枣庄模拟）已知 均为单位向量，且夹角为 ，若向量 满足 ，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】 ，
因为 均为单位向量，且夹角为 ，
所以有 ，
，
即 ，而 ，
所以有 ，
因此 的最大值为 ，
故答案为：
9．（2022·临沂模拟）边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足 ，若点P是其内部一点（包含边界），则 的最大值是 ．
【答案】1
【解析】由题，作图如下
因为 ，所以 为线段 中点，
由边长为1的正六边形ABCDEF，知 ，
因为点P是正六边形ABCDEF内部一点（包含边界），
显然，当点 与点 重合时， 在 方向上的投影最大，且两者同向共线，
又因为 ，
所以
故答案为：1.
10．（2022·河东模拟）在 中，点M，N是线段 上的两点， ，
，则 ， 的取值范围是 .
【答案】 ；【解析】由题意， ，
， ，
又 ， ， ，
，
由题意， ，则 为 外接圆的圆心，则 .
因为点 在线段 上，所以
①假设点 与点 重合，则 ，与 矛盾，
所以
②假设点 与点 重合，
则 ， ， ，
，
，
，即 ， ，假设点 与点 重合，
则 ， ， ，
此时 ， ，
综上， ， ，
， ，
，即 ，
故答案为： ； ．
11．（2022·天津市模拟）在梯形 中，
与 相交于点Q．若 ，则 ；若 ，N为线段 延长线上
的动点，则 的最小值为 ．
【答案】 ；
【解析】因为 ， 所以 ，所以四边形 为平行四边形，所以 且 ，
则可设 ，故
，
因为 共线，所以 ，解得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
如图以点 为原点建立平面直角坐标系，则 ，
设 ，
故 ，
则 ，
当 时， 取得最小值 .
故答案为： ； .
12．（2022·通州模拟）在矩形ABCD中， ， ，点P在AB边上，则向量 在向量 上
的投影向量的长度是 ， 的最大值是 ．
【答案】 ；-2
【解析】由题意可得 ，
即向量 在向量 上的投影向量的长度是 ；如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，
设 ，则 ，
故 ，
则 ，
当 时， 取最大值为-2 。
故答案为： ；-2。
13．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知向量 ， 是单位向量，若 ，且
，则 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】因为向量 ， 是单位向量，且 ，所以不妨设 ， ，设 ，
， ， ，
则由 得 ，
设 ， ，则 ，
所以 表示的点 在线段 上．
表示 到 的距离，如图，， ，
直线 方程为 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为：
14．（2022·辽宁·高三期末）已知O为坐标原点，向量 ，满足 ，
，若 ，则 的取值范围是
【答案】[11，13]
【解析】因为 ，
所以 三点在以 为圆心，1为半径的圆上，
又 ，
所以 ，所以 ，
所以 是圆 的直径，
所以 ，，
设 的夹角为 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .
