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初三上学期数学期末模拟（一）2022．12
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 在北京冬奥会举办之前，北京冬奥会组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，
共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形。故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
2. 如图，四边形ABCD内接于 ，若 ，则 的度数为（ ）
A. 50° B. 100° C. 130° D. 150°
【答案】B
【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠DCB=180°，
∵∠DCB=130°，
∴∠A=50°，
由圆周角定理得， =2∠A=100°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
3. 对于二次函数 的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上 B. 经过原点
C. 对称轴是y轴 D. 顶点在x轴上
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数 的性质判断即可．
【详解】在二次函数 中，
∵ ，
∴图像开口向下，故A错误；
令 ，则 ，
∴图像不经过原点，故B错误；
二次函数 的对称轴为直线 ，故C错误；
二次函数 的顶点坐标为 ，
∴顶点在x轴上，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数 的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键．
4. 若关于x的一元二次方程 有一个根是 ，则a的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 或1【答案】A
【解析】
【分析】把 代入方程得出 ，再求出方程的解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程 有一个根是
∴
解得
∵一元二次方程
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
5. 如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则 是（ ）
A. 优弧 B. 劣弧 C. 半圆 D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．
【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．故选：B．
【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．
6. 参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人
参加活动，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为 次，并且每个人与其他人握手均重复
一次，由此列出方程即可．
【详解】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为 次，并且每个人与其他人握手均
重复一次，由此可得：
，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
7. 投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（ ）
A. 的值一定是
B. 的值一定不是C. m越大， 的值越接近
D. 随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可
【详解】投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是 ，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，
是它的频率，随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故选：D
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可
能发生的时间．
8. 如图，抛物线 与 轴交于 两点， 是以点 为圆心， 为半径的圆上的动点，
是线段 的中点，连接 ，则线段 的最小值是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形
中位线性质可知OE= BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可.
【详解】∵ ，
∴当 时， ，
解得： ，
∴A点与B点坐标分别为：( ，0)，(3，0)，
即：AO=BO=3，
∴O点为AB的中点，
又∵圆心C坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∴BC长度= ，
∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
即：OE= BD，
∵D点是圆上的动点，
由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，
∴BD的最小值为4，
∴OE= BD=2，
即OE的最小值为2，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是__________．【答案】
【解析】
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称则两点的横、纵坐标互为相反数，
点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对
称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10. 若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．
【答案】六
【解析】
【分析】由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．
【详解】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：
∵半径与边长相等，
∴这个三角形是等边三角形，
∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，
∴这个正多边形是正六边形
故答案为：六．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键．
11. 用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．
【答案】1【解析】
【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r，
列出方程求解即可得．
【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为： ，
∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π
设圆锥的底面圆的半径为r，则：
，
解得： ，
故答案为：1．
【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是
解题关键．
12. 某件商品的销售利润y（元）与商品销售单价x（元）之间满足 ，不考虑其他因素，
销售一件该商品的最大利润为______元．
【答案】2
【解析】
【分析】 知 的最大值在 时取得，值为 ．
【详解】解：
根据函数图像性质可知在 时， 最大且取值为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数实际应用中的最值问题．解题的关键将二次函数化成顶点式．
13. 如图，一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6个大小相同的扇形，指针是固定的，当转盘停
止时，指针指向任意一个扇形的可能性相同（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．把部
分扇形涂上了灰色，则指针指向灰色区域的概率为______．【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】指针指向灰色区域的概率就是灰色区域的面积与总面积的比值，计算面积比即可．
【详解】解：观察转盘灰色区域的面积与总面积的比值为
故答案为： ．
【点睛】本题考查几何概率．解题的关键在于求出所求事件的面积与总面积的比值．
14. 抛物线 的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的两
根为______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】利用图象法可得 ，再根据抛物线的对称性求得 ，即可求解．
【详解】解：∵根据图象可得：抛物线与x轴的交点为
∴ ，
∵对称轴为
∴∴方程的解为 ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了用图象法解一元二次方程的问题，掌握图象法解一元二次方程的方法、抛物线的性质
是解题的关键．
15. 为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如
图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180 cm，小
明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为______cm．
【答案】
【解析】
【分析】如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，根据切线的性
质定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，
则OD⊥MN，
∴MD=DN，
在Rt△ODM中，OM=180cm，OD=60cm，
∴ cm，
∴ cm，
即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为 cm，
故答案为： ．【点睛】本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点 ， ， 为
的外接圆．
（1）点M的纵坐标为______；
（2）当 最大时，点P的坐标为______．
【答案】 ①. 5 ②. (4，0)
【解析】
【分析】（1）根据点M在线段AB的垂直平分线上求解即可；
（2）点P在⊙M切点处时， 最大，而四边形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）∵⊙M为 ABP的外接圆，
∴点M在线段AB的垂直平分△线上，
∵A(0，2)，B(0，8)，
∴点M的纵坐标为： ，
故答案为：5；（2）过点 ， ，作⊙M与x轴相切，则点M在切点处时， 最大，
理由：
若点 是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，
设 交⊙M于点E，连接AE，则∠AEB=∠APB，
∵∠AEB是ΔA E的外角，
∴∠AEB>∠A B，
∵∠APB>∠A B，即点P在切点处时，∠APB最大，
∵⊙M经过点A(0，2)、B(0，8)，
∴点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=5上，
∵⊙M与x轴相切于点P，ＭP⊥x轴，从而MP=5，即⊙M的半径为5，
设AB的中点为D，连接MD、AM，如上图，则MD⊥AB，AD=BD= AB=3，BM=MP=5，
而∠POD=90°，
∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD，
由勾股定理，得
MD= ，
∴OP=MD=4，
∴点P的坐标为(4，0)，
故答案为：(4，0)．
【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题
的关键．三、解答题（共68分，17-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分）
17. 解方程： ．
【答案】 或
【解析】
【分析】利用十字相乘因式分解，进而即可求解．
【详解】 ，
，
∴ 或 ，
解得： 或 ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键．
18. 已知：A，B是直线l上的两点．
在
求作： ABC，使得点C 直线l上方，且AC=BC， ．
作法：①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C；
④连接AC，BC． ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴ OAB是等边三角形．
∴ ．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝ ∠AOB（ ）（填推理的依据）．∴ ．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC（ ）（填推理的依据）．
∴ ABC就是所求作的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两
个端点的距离相等
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形；
（2）根据同一个圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，及垂直平分线上的点到两端点的距离相等
即可．
【详解】（1）作图正确；
（2）证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴ OAB是等边三角形．
∴ ．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝ ∠AOB（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．
∴ ．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）（填推理的依据）．
∴ ABC就是所求作的三角形，故答案是：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
【点睛】本题是圆的综合题、作图、考查了圆周角定理、垂直平分线、等腰三角形，解题的关键是熟练掌
握圆周角定理及作图的基本能力．
19. 如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CF
BD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由题意易得AB⊥CD， ，则有 ，由平行线的性质可得 ，然后
可得 ，进而问题可求证．
【详解】证明：∵AB为⊙O的直径，点E是弦CD的中点，
∴AB⊥CD，
∴ ，
∴ ，
∵CF∥BD，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查垂径定理、平行线的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、平行线的性质及圆周
角定理是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ．（1）以点 为旋转中心，把 顺时针旋转 ，画出旋转后的 ；
（2）点 的坐标为____________，在旋转过程中，点 经过的路径的长度为__________， 扫过的面
积为______________．（结果保留 ）
【答案】（1）见解析 （2） ； ；
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质找到 的对称点 ， ，画出旋转后的 即可求解；
（2）根据坐标系写出点的坐标，根据定理求得 的长，然后根据弧长公式与扇形面积公式进行计
算即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】根据坐标系可得：
∵ ， ， ，
∴ ，
点 经过的路径的长度为 ,
扫过的面积为
【点睛】本题考查了画旋转图形，写出点的坐标，求弧长与扇形面积，掌握性质的性质是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
【答案】（1）证明见详解；（2）a的最小值为0．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根；
（2）根据题意利用十字相乘法解方程，求得 ，再根据题意两个根都是正整数，从而可以
确定a的取值范围，即可求出a的最小值．
【详解】（1）证明：依题意得：
，
，
∴ ．
∴方程总有两个实数根；
（2）由 ，
可化为：得 ，
∵ 方程的两个实数根都是正整数，
∴ ．
∴ ．
的
∴a 最小值为0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟
知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，
判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键．
22. 小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值．
x … 0 1 2 …
y … 3 4 3 0 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数的图象与直线 有两个交点A，B，若 ，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）y=-（x+1）2+4；（2）n<-5．
【解析】
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，4），
则可设顶点式y=a（x+1）2+4，然后把（1，0）代入求出a即可；
（2）根据抛物线与一次函数有公共点，联系根的判别式求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点（-2，3），（0，3），（-1，4），
∴抛物线的对称轴为直线x= =-1，顶点坐标为（-1，4），
设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，
把（1，0）代入得a（1+1）2+4=0，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）2+4；
（2）∵二次函数的图象与直线 有两个交点，
∴-（x+1）2+4=n，即 ，
∴△= ，解得n<4，∴n的取值范围为n<4，
∵AB= ，
∴ >6，解得n<-5，
综上n的取值范围为n<-5．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交
点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
23. 一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：
的
活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余 球中再随机摸出一个球，摸出的两
个球都是红球的概率记为 ；
活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个
球，两次摸出的球都是红球的概率记为 ．
请你猜想 ， 的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．
【答案】 ，验证过程见解析
【解析】
【分析】首先根据题意分别根据列表法列出两个活动所有情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】活动1：
红球1 红球2 白球
红球1 （红1，红2） （红1，白）
红球2 （红2，红1） （红2，白）
白球 （白，红1） （白，红2）
∵共有6种等可能的结果，摸到两个红球的有2种情况，
∴摸出的两个球都是红球的概率记为
活动2：红球1 红球2 白球
红球1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白）
红球2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白）
白球 （白，红1） （白，红2） （白，白）
∵共有9种等可能的结果，摸到两个红球的有4种情况，
∴摸出的两个球都是红球的概率记为
∴
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．重
点需要注意球放回与不放回的区别．
24. 在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边 和 足够长），用
长的篱笆围成一个矩形花园 （篱笆只围 和 两边）．设 ， ．
（1）求 与 之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当矩形花园的面积为 时，求 的长；
（3）如果在点 处有一棵树（不考虑粗细），它与墙 和 的距离分别是 和 ，如果要将这
棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值．
【答案】（1）
（2） 的长为12米或16米
（3）当 时，面积的最大值为195米
【解析】
【分析】（1）依题意，按照矩形面积公式，列式化简，即可；（2）对（1）中的关系式赋值，求解对应方程的解，即可；
（3）结合（1）中的函数关系式，及到墙边的距离限制进行求解，即可；
【小问1详解】
由题意得 ． ∴ ．
【小问2详解】
由题意结合（1）可得： ．
解得 ， ．
答： 的长为12米或16米．
【小问3详解】
结合（1）中的函数关系式可得： ；
又树到墙 的距离为 m，所以 ，即为 ；
结合二次函数的性质，∴ 当 时，面积的最大值为195米 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质及其最值得求解，难点在于结合实际情况进行解答；
25. 如图，在Rt ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于
点E，F，过点E△作EG⊥BC于G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）8
【解析】
【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接EF，∵∠BAC=90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA=OE，
∴∠BAD=∠AEO，
∵点D是Rt ABC的斜边BC的中点，
∴AD=BD， △
∴∠B=∠BAD，
∴∠AEO=∠B，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为5，
∴EF=2OE=10，
在Rt AEF中，AF=6，
△
根据勾股定理得， ，
由（1）知OE∥BC，
∵OA=OD，
∴BE=AE=8．
【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，
能判断出EF∥BC是解本题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上．（1）若 ，求该抛物线的对称轴并比较 ， ， 的大小；
（2）已知抛物线的对称轴为 ，若 ，求t的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）将 代入函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解；
（2）由抛物线解析式可得抛物线经过原点，分别讨论 与 两种情况．
【小问1详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
把 代入 得 ，∴抛物线经过原点 ，
① 时，抛物线开口向上，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ；
当 时， ，
∴ 满足题意．
② 时，抛物线开口向下，
∵ ，
∴ ，
∴ 时，y随x增大而减小，
∴ ，不符合题意．综上所述， ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式
的关系．
27. 在等边 中，将线段AB绕点A顺时针旋转 得到线段AD．
（1）若线段DA的延长线与线段BC相交于点E（不与点B，C重合），写出满足条件的α的取值范围；
（2）在（1）的条件下连接BD，交CA的延长线于点F．
①依题意补全图形；②用等式表示线段AE，AF，CE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1） ；（2）①见解析；②AE=AF+CE，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据“线段DA的延长线与线段BC相交于点E”可求解；
（2）①根据要求画出图形，即可得出结论；②在AE上截取AH=AF，先证 AFD≌△AHC，再证
∠CHE=∠HCE，即可得出结果． △
【详解】（1）如图：AD只能在锐角∠EAF内旋转符合题意
故α的取值范围为： ；（2）补全图形如下：
（3）AE=AF+CE，
证明：在AE上截取AH=AF，由旋转可得：AB=AD，
∴∠D=∠ABF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴AD=AC，
∵∠DAF=∠CAH，
∴ AFD≌△AHC，
∴△∠AFD=∠AHC，∠D=∠ACH，
∴∠AFB=∠CHE，
∵∠AFB+∠ABF=∠ACH+∠HCE=60°，
∴∠CHE+∠D=∠D+∠HCE=60°，
∴∠CHE=∠HCE，
∴CE=HE，
∴AE=AH+HE=AF+CE．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等边三角形性质及应用，解题的关键是正确画出图
形和作出辅助线．
28. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间
距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．已知点N（3，0），A（1，0），B（0， ），C（ ，﹣1）．
（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 ；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）①B、C；② 或 ≤a≤2 ；
（2） ≤r≤1或3≤r≤9．
【解析】
【分析】（1）①计算每个点到ON的最大和最小值，可推断出结果；
②分为当最小值是1，和最大值是2两种情形；
（2）当AN上的点在圆外和外内两种情形；
【小问1详解】
解：①如图1，∵点A到ON的最大距离是2，到ON的最小距离是0，
∴点A不是ON的二分点，
∵OB= ，BN=2 ，
∴BN=2OB，
∴B点是ON的二分点，
∵CD=1，OC=2，
∴点C是ON的二分点，
故答案是：B、C；
②如图2，
当OC=2是最小值时，最大值是OD=4，
∴ ，
∴ （舍去）， ，
当最小值是1时，a≥ ，
最大值是2时，
∵OC=2，
∴a≤2 ，
∴ ≤a≤2 ，
综上所述：a= − 或 ≤a≤2 ；
【小问2详解】
解：如图3，当点A在⊙O外时，设点M在AN上，M（x，0），（1≤x≤3），
假设M是⊙O的二分点，
∴x+r=2（x-r），
∴x=3r，
∴1≤3r≤3，
∴ ≤r≤1；
如图4，
点M在⊙O内，
∴x+r=2（r-x），
∴x= ，
∴1≤ ≤3，
∴3≤r≤9，综上所述： ≤r≤1或3≤r≤9．
【点睛】本题考查了点到线段（上的点）的距离，及点到圆最值问题，解决问题的关键是分为点在圆外和
圆内两种情形讨论．
