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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北大附中石景山学校 2023-2024 学年第二学期 3 月监测
初三年级数学学科试卷
（时间：120分钟，满分：100分）
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 五棱柱 B. 圆柱 C. 长方体 D. 五棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图
是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得到答案．
【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视
图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知这个几何体是五棱柱，
故选A．
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视图．
2. 国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的光伏电站每年可
输出约 万度清洁电力．将 用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整
数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值大于 与小数点移动的位数相
同．
【详解】解： ，
故选：C．
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3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一
判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图
形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴 对称图形，本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
4. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据a，b，c对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可．
【详解】解：由题意得：−3＜a＜−2＜−1＜b＜0＜3＜c＜4
∴a＜b＜c，|b|<|c|，a+c＞0，ab，＜，
=”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．先根据反比例函数的解析式判断出函数的图象所
在的象限，再由 、 两点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解： 反比例函数 ，
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此函数图象的两个分支分别在一三象限，且在每一象限内 随 的增大而减小．
，
．
故答案为： ．
12. 关于x的一元二次方程 有两个实数根，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 有两个实数根，
∴
∴ ．
故答案为： ．
13. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得
了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只．
【答案】460
【解析】
【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可．
【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 （只），
故答案为：460．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确．
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14. 如图，直线AD，BC交于点O， .若 ， ， .则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例可得， ， ，得出 ，
，从而 .
【详解】 ， ， ，
，
，
，
，
；
故答案为： .
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决
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本题的关键.
15. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱
半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m．
【答案】8．
【解析】
【分析】连结OA，先计算OD的长，由勾股定理解得AD的长，再根据垂径定理可得AB=2AD，据此解
题．
【详解】连结OA，
拱桥半径OC为5cm，
cm，
m，
cm，
m
m，
故答案为：8．
【点睛】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关
键．
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16. 某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地
面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每
个步骤所花费时间如下表所示：
步骤
时间（分钟） 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具
桌别
大桌 5 3 2
小桌 3 2 1
现有三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张
桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完
毕最短需要 ___分钟．
【答案】
【解析】
【分析】设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员
3负责③摆放新餐具，当工作人员1清理大桌子同时，工作人员2清理两张小桌子；第5分钟，当工作人员
1清理小桌子①的同时，工作人员2开始清理1张大桌子；第8分钟，当工作人员1清理小桌子②的同时，
工作人员3开始在大桌子和小桌子①上摆放新餐具；第 分钟，工作人员3开始在小桌子②上摆放新餐具，
进而即可求解．
【详解】解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作
人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图：
由流程图可知：将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实际问题的方案设计，事件的统筹安排，尽可能让①回收餐具与剩菜、清洁桌面，与
②清洁椅面与地面，在同一时间段进行，节约时间是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，
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每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用绝对值的性质以及非零数的零次幂、特殊角三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简
即可得到答案．
【详解】解：
=
＝
＝ ．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各式是解答此题的关键．
18. 解不等式组： ．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
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【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】3
【解析】
【分析】先对分式通分、因式分解、化简，化成最简分式，后变形已知条件，整体代入求值．
【详解】解：
，
，
，
【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用完全平方公式，通分，约分等技巧化简是解题的关键，整体代
入求值是解题的灵魂．
20. 某校举办初中生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每
个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖．如表为甲、
乙、丙三位同学的得分情况（单位：分），其中甲的部分信息不小心被涂黑了．
项目
得分项目 七巧拼图 趣题巧解 数学应用 魔方复原 折算后总分
学生
甲 66 95 68
乙 66 80 60 68 70
丙 66 90 80 68 80
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据悉，甲、乙、丙三位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为20分．设趣题巧解和数
学应用两个项目的折算百分比分别为 和 ，请用含 和 的二元一次方程表示乙同学“趣题巧解和数学
应用”两项得分折算后的分数之和为 ；如果甲获得了大赛一等奖，那么甲的“数学应用”项目至
少获得 分．
【答案】 ；90．
【解析】
【分析】根据加权平均数的公式和乙的折算后总分，即可用含x和y的二元一次方程表示乙同学“趣题巧
解和数学应用”两项得分折算后的分数之和；再与丙的折算后总分，联立求得x和y，可设甲的“数学应
用”项目获得z分，根据总分在85分以．上(含85分) 设为一等奖，列出不等式即可求解．
【详解】解：用含 和 的二元一次方程表示乙同学“趣题巧解和数学应用”两项得分折算后的分数之和
为:80x+60y=70-20；
依题意有 ，
解得： ，
设甲的“数学应用”项目获得 分，依题意有
，
解得 ．
故甲的“数学应用”项目至少获得90分．
故答案为： ；90．
【点睛】考查了一元一次不等式的应用，加权平均数，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找
到所求的量的不等关系，
21. 如图，在平行四边形ABCD中，AC平分 ，点E为AD边中点，过点E作AC的垂线交AB于点
M，交CB延长线于点F．
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（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若 ， ，求AC 长．
的
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线性质得∠DAC=∠ACB，根据角平分线定义得∠DAC=∠BAC，进而得出
∠BCA=∠BAC，推出BA=BC，最后证得结果；
（2）连接BD，根据平行四边形的判定证明四边形EFBD是平行四边形，再求得BC及 的值，
最后求得AC的长．
【小问1详解】
证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分 ，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴BA=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
【小问2详解】
连接BD，
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DE∥BF，
∵AC⊥EF，
∴EF∥BD，
∴四边形EFBD是平行四边形，∠OBC=∠F，
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∴DE=BF=2，
∵点E为AD边中点，
∴AD=4，
∴BC=AD=4，
∵ ，∠OBC=∠F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的性质及判定、等腰三角形的判定及性质、解直角三
角形等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定及性质．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经
过点 ．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值且小于3，直
接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的平移，待定系数法求解析式；
（1）由平移可知平移前后平移后的直线平行，所以 ，然后将点 代入 可得 ．
（2）当 时，得到点 是临界点，此时可得由函数图象知道函数值大于代表对应的函数图象在上
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方，可得到 ，分析图象另外的临界为两条直线平行即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，
∴ ，把 代入 ，
解得 ，
∴这个一次函数的表达式为 ．
【小问2详解】
分析两个临界图象如图所示：
当 时，得到点 是临界点，此时可得由函数图象知道函数值大于代表对应的函数图象在上方，可
得到 ，即
当 时，两直线平行，
∴ ．
23. 如图， 中， ， ，在 上截取 ，过点 作 于点 ，
连接 ，以点 为圆心， 长为半径作圆 ．
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（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 ， 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ，
【解析】
【分析】本题考查了切线判定、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定及性质；
（1）过点 作 于 ，根据同旁内角互补证得 ，可证得 ，利用
可证得 ，则可证得 ，根据切线的判定即可求证结论．
（2）根据角相等即可得 ，利用相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
过点 作 于 ，如图所示，
，
，
，
，
，
，
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，
，
，
在 和 中，
，
，
，且 为 的半径，
是 的半径，
是 的切线．
【小问2详解】
，
，
，
在 中，
， ，
，
，
，解得 ，
∴ ．
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24. 某校初三年级有400名学生，为了提高学生的体育锻炼兴趣，体育老师自主开发了一套体育锻炼方法，
并在全年级实施．为了检验此种方法的锻炼效果，随机抽取了20名学生在应用此种方法锻炼前进行了第一
次体育测试，应用此种方法锻炼一段时间后，又进行了第二次体育测试，获得了他们的成绩（满分30分），
并对数据（成绩）进行整理描述和分析，下面给出了部分信息：
a．第一次体育测试成绩统计表：
分组/分 人数
1
1
9
m
3
b．第二次体育测试成绩统计图：
c．两次成绩的平均数、中位数、众数如下：
中位
平均数 众数
数
第一次成绩 19.7 n 19
第二次成绩 25 26.5 28
d．第一次体育测试成绩在 这一组的数据是：
15，16，17，17，18，18，19，19，19
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e．第二次体育测试成绩在 这一组的数据是：17，19
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） ______， ________；
（2）求第二次体育测试成绩的及格率（大于或等于18分为及格）；
（3）下列推断合理的是_________．
①第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过此种方法锻炼一段时间后成绩提升
了．
②被抽测的学生小明的第二次测试成绩是24分，他觉得年级里大概有240人的测试成绩比他高，所以他决
心努力锻炼提高身体素质．
【答案】（1）m = 6，n =19；（2） 90% ；（3）①②
【解析】
【分析】(1)根据抽样的总数减去各组的人数可得出m，根据中位数的定义可以求出n;
(2)根据扇形图可以求出 ， ，人数在加上 有一位同学及格，再除以总人数，
即可得出及格率；
的
(3)由扇形图和C表可以得出①②是正确 ；
【详解】（1）m = 20-1-1-9-3=6；
第一次体育测试成绩在 这一组的数据是：
15，16，17，17，18，18，19，19，19
一共是20人， ， 各一人
所以中位数为19
故答案为：m = 6，n =19；
（2）
第二次体育测试成绩的及格率为
（3）从C表格中清楚的知道平均分提高了因此①正确；从扇形图中可以看出经过锻炼后 的占了
60%年级里大概有240人在这个范围内因此②正确；
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为
故答案 ①②
【点睛】本题考查了频数分布表、中位数、平均数、众数和扇形图等知识，解题的关键是仔细的读图并从
中找到进一步解题的有关信息．
25. 某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条
抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为 米的地点，水柱距离湖面高度为 米．
（米） 0 1 2.0 3 …
（米） 1.6 2.1 2.5 2.1 0 …
（1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接．
（2）结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？
（4）现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目．准备通过调节水枪高度使得公园的平顶游船能从喷泉最
高点的正下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同），如果游船宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，
为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米．问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请
通过计算说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）2.5米； （3）2.5米；
（4）水枪高度调节到2.1米以上，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；
（2）直接由图像可得结果；
（2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解即可；
（3）由题意知设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
【小问1详解】
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以水枪与湖面的交点为原点，水枪所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示：
【小问2详解】
由图象可知水柱最高点距离湖面的高度为2.5米；
【
小问3详解】
根据图象设二次函数的解析式为h=a（d-2）2+2.5
将（1，2.1）代入h=a（d-2）2+2.5得a=- ，
∴抛物线的解析式为 ，即 ，
令h=0，则 ，
解得： ，
4.5-2=2.5，
∴水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是2.5米；
【小问4详解】
设水枪高度至少向上调节m米，
由题意知调节后的水枪所喷出的抛物线的解析式为 ，
当横坐标为2+ =3.5时，纵坐标的值大于等于2 ++0.8=2.8，
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∴ ，
解得：m≥1.2，
∴水枪高度至少向上调节1.2米
.
09+1.2=2.1
∴水枪高度调节到2.1米以上．
【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练
掌握二次函数的图象建立二次函数模型．
26. 已知抛物线 经过点 ．
（1）用含 的式子表示 及抛物线的顶点坐标；
（2）若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）把点 代入 计算可求得含 的式子表示 的代数式，配方成顶点式，即
可求解；
（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则当
时，代入计算，解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
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【小问2详解】
解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
又∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，且 ，
∴当 时， ，
即 ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，函数的增减性，在本题的解答中，除了必要的理论依据外，还
需要学生具有比较强的解不等式的能力．
27. 在 中， ， ，点D在 边上（不与点B，C重合），将线段 绕点A
顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．
（1）根据题意补全图形，并证明： ；
（2）过点C作 的平行线，交 于点F，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见解析，证明见解析；
（2） ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出 ，
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，进而可得结论；
（2）作 于点M，与直线 交于点N，利用 证明 ，可得 ，
，然后求出 ，可得 ，再利用 证明 即可．
【小问1详解】
补全的图形如图所示：
证明：∵ ，
∴ ，
由旋转的性质可知 ，即 ，
∴ ；
【小问2详解】
；
证明：如图，作 于点M，与直线 交于点N，
∴ ，
由旋转的性质可知 ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ， ，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直
角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，已知 ．
对于点 给出如下定义：若 ，则称 为线段 的“等直点”．
（1）当 时，
①在点 中，线段 的“等直点”是______；
②点 在直线 上，若点 为线段 的“等直点”，直接写出点 的横坐标．
（2）当直线 上存在线段 的两个“等直点”时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① ， ；② 或
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（2） 且
【解析】
【分析】（1）①根据题意作等腰直角 ，且 ，此时点 的坐标为 或点 的坐标为
，圆的半径为 ，根据点 、 、 、 到圆心的距离与半径比较，即可判断；
②作 轴于点 ，连接 ，设 ，利用勾股定理列式计算即可求解；
（2）当圆与直线 相切时，直线上开始存在线段 的“等直点”，再根据圆与切线的关系求
出t的临界值，即可求t的取值范围．
【小问1详解】
解：①∵ ，
∴ ，
作等腰直角 ，且 ，
此时 ，
∴点 的坐标为 或点 的坐标为 ，
∴圆的半径为 ，
∵ ，
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∴点 是线段 的“等直点”；
∵ ，
∴点 不是线段 的“等直点”；
∵ ，
∴点 是线段 的“等直点”；
∵ ，
∴点 不是线段 的“等直点”；
故答案为： ， ；
②作 轴于点 ，连接 ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 （舍去 ），
∴点 的横坐标为 ；
同理，点 的横坐标为 ；
综上，点 的横坐标为 或 ；
【小问2详解】
解：作 轴交x轴于点 ，交直线 于点 ，作直线 的垂线，垂足为点 ，
则 ，
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∵ ，
∴ ，
∴点 的横坐标为 ，
∴点E的坐标为 ，
∴ ，
解得 ；
如图，同理求得 ；
当直线 经过点 或点 时，直线 上只存在线段 的一个“等直点”，
此时 或 ；
综上， 的取值范围为 且 ．
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【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆周角与圆心角的性质，切
线与圆的性质是解题的关键．
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