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2020-2021 学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合
题意的．
1. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （2，1） D. （2，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数解析式的顶点式即可解答．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是（﹣2，﹣1），
故选：B．
【点睛】本题考查了根据二次函数解析式的顶点式求顶点坐标，熟练掌握和运用求二次函数顶点坐标的方
法是解决本题的关键．
2. 如图，直线l∥l∥l，直线l 被l，l，l 所截得的两条线段分别为CD、DE，直线l 被l，l，l 所截得
1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 3
的两条线段分别为FG、GH．若CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，则GH的长为（ ）
A. 0.6 B. 1.2 C. 2.4 D. 3.6
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ＝ ，代入数值即可求得 的值
【详解】∵直线l∥l∥l，
1 2 3
∴ ＝ ，
∵CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，∴ ＝ ，
.
∴GH＝2 4，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
3. 已知点 是反比例函数 图像上的两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用反比例函数的性质求解即可．
【详解】 ，
∴反比例函数位于第一、三象限，且在每个象限内都是y随着x的增大而减小，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
4. 将 的各边长都缩小为原来的 ，则锐角A的正弦值（ ）
A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 缩小为原来的
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦的定义计算即可求解．
【详解】设AC＝b，AB＝c，BC＝a，
∴
当各边长都缩小为原来的 时， ， ， ，∴
∴锐角A的正弦值不变，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握正弦的定义．
5. 如图，二次函数 的图像经过点 ， ， ，则下列结论错误的是（
）
A. 二次函数图像的对称轴是
B. 方程 的两根是 ，
C. 当 时，函数值y随自变量x的增大而减小
D. 函数 的最小值是
【答案】D
【解析】
【分析】A：由点A、B的坐标得到二次函数图象的对称轴，即可求解；
B：由函数图象知， 与x轴交点坐标为（-1，0）、（3，0），即可求解；
C：抛物线的对称轴为x=1，根据对称轴左侧函数的增减性，即可求解；
D：由点A、B、C的坐标求出抛物线表达式，即可求解．【详解】解：A：由点A、B的坐标知，二次函数图象的对称轴是x=（3-1）=1，故不符合题意；
B：由函数图象知， 与x轴交点坐标为（-1，0）、（3，0），故方程ax2＋bx＋c=0的两根
是 ， ，故不符合题意；
C：抛物线的对称轴为x=1，从图象看，当x＜1时，函数值y随自变量x的增大而减小，故不符合题意；
D：设抛物线的表达式为 ，
当x=0时，y=a（0＋1）（0-3）=-1，
解得a= ，
故抛物线的表达式为y= （x＋1）（x-3），
当x=1时，函数 的最小值为 ，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数
与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
6. 如图，AB是 的直径，C，D是 上的两点， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据AB是直径得出 ，然后利用圆周角定理的推论得出 ，
最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．【详解】解：∵AB是 的直径，
．
∵ 和 都是 所对的圆周角，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，掌握圆周角定理及其推论的内容是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系 中有两点A（-2，0）和B（-2，-1），以原点O为位似中心作△COD，
△COD与△AOB的相似比为2，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且CD在y轴左侧，则点D的
坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质即可得出答案．
【详解】∵B（-2，-1），以原点O为位似中心作△COD，△COD与△AOB的相似比为2，点D与点B对
应，且CD在y轴左侧，
∴点D的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴点D的坐标为 ，故选：B．
【点睛】本题主要考查位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键．
8. 如图，AB是 的直径， ，P是圆周上一动点（点P与点A、点B不重合）， ，垂
足为C，点M是PC的中点．设AC长为x，AM长为y，则表示y与x之间函数关系的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】证明∠PAC＝∠BPC，则 ，进而求解．
【详解】解：∵AB是直径，则∠APB=90°，
则∠BPC＋∠APC=90°
而∠APC＋∠PAC=90°，
∴∠PAC=∠BPC，
则tan∠PAC=tan∠BPC，
∴ ，即 ，∵点M是PC的中点，则 ，
则 ，
∴ （0AB，DE平分∠ADC交BC于点E，将线段AE绕点A逆时针旋转90°
得到线段AF，连接EF，AD与FE交于点O．
（1）①补全图形；
②设∠EAB的度数为 ，直接写出∠AOE的度数（用含 的代数式表示）．
（2）连接DF，用等式表示线段DF，DE，AE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；② ；（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②首先根据旋转 的性质和等腰直角三角形的性质得出 ，然后通过等量代换得出
，最后利用 即可求解；
（2）延长DE，AB交于点G，首先利用矩形的性质和角平分线的定义得出 ，则
，进而得出 ，根据勾股定理有
，然后再通过等量代换即可得出 ．
【详解】（1）①如图，
②∵将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，
，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ．
，
，
；
（2） ，
证明：延长DE，AB交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，掌握这些性质及定理是解题
的关键．
25. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P是图形M上的任意一点，Q是图形N上
任意一点，如果P，Q两点间距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N的“最小距离”，记作d（M，
N）．已知 的半径为1．
（1）如图，P（4，3），则 （点 ， ）= ，d（点P， ）= ．
（2）已知A、B是 上两点，且弧AB的度数为60°．
①若 轴且在x轴上方，直线 ，求d（ ，AB）的值；
的
②若点R坐标为（ ，1），直接写出点d(点R，AB） 取值范围．
【答案】（1）1，4；（2）①1；② ≤d(点R，AB）≤
【解析】【分析】（1）根据定义可知， （点 ， ）=r，d（点P， ）=PO-r，求解即可；
（2）①假设设点B在点A右侧，AB与 轴交于点P，连接OA、OB，可求得∴ ，直线 与
轴交于点C，与 轴交于点D，则点 ， ，继而求出 ，可知点B到CD的
距离就是AB与直线 的“最小距离”，然后过点O作 ，垂足为E，即可求得 ；
②d(点R，AB）最短为：OR-r，最长为：OR+r，求出OR即可求解．
【详解】解：（1） （点 ， ）=r=1，
d（点P， ）=PO-r= ，
故答案为：1，4；
（2）①如图，不妨设点B在点A右侧，AB与 轴交于点P，连接OA、OB，
∵AB的度数为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 与 轴交于点C，与 轴交于点D，则点 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
观察图形可知，点B到CD的距离就是AB与直线 的“最小距离”，
过点O作 ，垂足为E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②d(点R，AB）最短为：OR-r，最长为：OR+r，
∵ ，
∴ ≤d(点R，AB）≤ ．
【点睛】本题考查点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系，解题的关键是综合运用相关知识解决问题．
