文档文本内容
2020-2021 学年北京市密云区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合
题意的．
1. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （2，1） D. （2，﹣1）
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数解析式的顶点式即可解答．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是（﹣2，﹣1），
故选：B．
【点睛】本题考查了根据二次函数解析式的顶点式求顶点坐标，熟练掌握和运用求二次函数顶点坐标的方
法是解决本题的关键．
2. 如图，直线l∥l∥l，直线l 被l，l，l 所截得的两条线段分别为CD、DE，直线l 被l，l，l 所截得
1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 3
的两条线段分别为FG、GH．若CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，则GH的长为（ ）
A. 0.6 B. 1.2 C. 2.4 D. 3.6
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ＝ ，代入数值即可求得 的值
【详解】∵直线l∥l∥l，
1 2 3
∴ ＝ ，
∵CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，∴ ＝ ，
.
∴GH＝2 4，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
3. 已知点 是反比例函数 图像上的两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用反比例函数的性质求解即可．
【详解】 ，
∴反比例函数位于第一、三象限，且在每个象限内都是y随着x的增大而减小，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
4. 将 的各边长都缩小为原来的 ，则锐角A的正弦值（ ）
A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的2倍 D. 缩小为原来的
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦的定义计算即可求解．
【详解】设AC＝b，AB＝c，BC＝a，
∴
当各边长都缩小为原来的 时， ， ， ，∴
∴锐角A的正弦值不变，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握正弦的定义．
5. 如图，二次函数 的图像经过点 ， ， ，则下列结论错误的是（
）
A. 二次函数图像的对称轴是
B. 方程 的两根是 ，
C. 当 时，函数值y随自变量x的增大而减小
D. 函数 的最小值是
【答案】D
【解析】
【分析】A：由点A、B的坐标得到二次函数图象的对称轴，即可求解；
B：由函数图象知， 与x轴交点坐标为（-1，0）、（3，0），即可求解；
C：抛物线的对称轴为x=1，根据对称轴左侧函数的增减性，即可求解；
D：由点A、B、C的坐标求出抛物线表达式，即可求解．【详解】解：A：由点A、B的坐标知，二次函数图象的对称轴是x=（3-1）=1，故不符合题意；
B：由函数图象知， 与x轴交点坐标为（-1，0）、（3，0），故方程ax2＋bx＋c=0的两根
是 ， ，故不符合题意；
C：抛物线的对称轴为x=1，从图象看，当x＜1时，函数值y随自变量x的增大而减小，故不符合题意；
D：设抛物线的表达式为 ，
当x=0时，y=a（0＋1）（0-3）=-1，
解得a= ，
故抛物线的表达式为y= （x＋1）（x-3），
当x=1时，函数 的最小值为 ，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数
与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
6. 如图，AB是 的直径，C，D是 上的两点， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据AB是直径得出 ，然后利用圆周角定理的推论得出 ，
最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．【详解】解：∵AB是 的直径，
．
∵ 和 都是 所对的圆周角，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，掌握圆周角定理及其推论的内容是解题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系 中有两点A（-2，0）和B（-2，-1），以原点O为位似中心作△COD，
△COD与△AOB的相似比为2，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且CD在y轴左侧，则点D的
坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质即可得出答案．
【详解】∵B（-2，-1），以原点O为位似中心作△COD，△COD与△AOB的相似比为2，点D与点B对
应，且CD在y轴左侧，
∴点D的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴点D的坐标为 ，故选：B．
【点睛】本题主要考查位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键．
8. 如图，AB是 的直径， ，P是圆周上一动点（点P与点A、点B不重合）， ，垂
足为C，点M是PC的中点．设AC长为x，AM长为y，则表示y与x之间函数关系的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】证明∠PAC＝∠BPC，则 ，进而求解．
【详解】解：∵AB是直径，则∠APB=90°，
则∠BPC＋∠APC=90°
而∠APC＋∠PAC=90°，
∴∠PAC=∠BPC，
则tan∠PAC=tan∠BPC，
∴ ，即 ，∵点M是PC的中点，则 ，
则 ，
∴ （0<x<4），
可知y与x之间的函数图像不是一次函数，故排除C，
当x=1时， ，故排除D，
当x=3时， ，故排除A，
故选：B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图像，确定函数的表达式是解题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是_____（结果保留 ）
【答案】
【解析】
【分析】已知扇形的圆心角为 ，半径为2，代入弧长公式计算．
【详解】解：依题意，n= ，r=2，
∴扇形的弧长= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长= ．
10. 已知 中，D是BC上一点，添加一个条件使得 ，则添加的条件可以是_________．
【答案】 （本题答案不唯一）
【解析】
【分析】由相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】添加：∠B＝∠DAC
在△ABC和△DAC中,
∵∠BAC＝∠C，∠B＝∠DAC
∴△ABC∽△DAC
故答案为：∠B＝∠DAC（答案不唯一）
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
11. 已知点 是反比例函数 图像上的两点，其中 ，则
_________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把两个点的坐标分别代入解析式得出： ，
，然后利用 即可求解．
【详解】∵点 是反比例函数 图像上的两点，
∴ ，
∵∴
故答案为：0
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的满足反比例
函数解析式．
12. 如图， 中，E是AD中点，BE与AC交于点F，则 与 的面积比为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可知AE∥BC，可证 AEF∽△CBF，相似比为 ，由相似三角
△
形的性质可求 与 的面积比．
【详解】解：∵平行四边形ABCD中，AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得出相似三角形，利用相似比求相似三角
形的面积．13. 二次函数 的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】求开口向上的抛物线的最小值即求其顶点的纵坐标，再由二次函数的顶点式解答即可．
【详解】∵二次函数y=x2-2x-3可化为y=（x-1）2-4，
∴最小值是-4．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得
出，第二种是配方法，第三种是公式法．
14. 如图， 是 上三点， ，垂足为D，已知 ， ，则BC长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】连接OB，先由垂径定理得BD=CD，再由勾股定理求出BD= ，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，如图所示：
∵BC⊥OA，
∴BD=CD，
∵OB=OA=3，AD=1，
∴OD=OA-AD=2，∴BD= ，
∴BC=2BD=2 ，
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
15. 如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶
端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度BD=_________m．（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到BC＝AC＝6cm，根据三角函数定义即可求解．
【详解】解：∵∠BAC＋∠ABC＝∠BCD＝60°，
又∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝AC＝6cm，
在Rt△BCD中，
cm
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，坡度坡角问题、含30°角的直角三角形，解题的
关键是掌握仰俯角的定义，求得BC＝AC＝6cm．
16. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有
勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，
股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，该直角
三角形内切圆的半径为____步．【答案】
【解析】
【分析】连接 ，可知四边形 为正方形，设半径为 ，根据切线长定理列方程求解即可．
【详解】解：连接 ，如下图：
由题意可得： ，
，
∴四边形 为矩形，
又∵
∴矩形 为正方形
设半径为 ，则
∴ ，∴
解得
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
三、解答题（本题共52分，其中17-21每题5分，22题6分，23-25题每题7分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先进行二次根式化简、求三角函数值、绝对值化简，再计算．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了包含二次根式、三角函数值、绝对值的实数运算，解题关键是准确的进行二次根式化
简，知道特殊角三角函数值．
18. 已知抛物线 经过两点A（4，0），B（2，-4）．
（1）求该抛物线的表达式；（2）在平面直角坐标系xOy内画出抛物线的示意图；
（3）若直线y=mx+n经过A，B两点，结合图象直接写出不等式 的解集．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法将点A、B坐标代入解析式即可求解；
（2）根据二次函数解析式画出函数图象即可；
（3）根据已求的图象即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线 经过两点
∴
解得：
∴该抛物线的表达式为 ；
（2）画出函数图象，如图所示：
（3）由图象可知： 即抛物线 图象在直线y=mx＋n图象的上方，即点A、
B之间的部分符合题意，
∴ 不等式的解集： ．【点睛】本题考查待定系数法求解析式、二次函数的图象和性质，正确画出二次函数图象，利用数形结合
的思想是解题的关键．
19. 如图，AB⊥BC，EC⊥BC，点D在BC上，AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6．
（1）求证： ABD∽△DCE；
（2）求∠AD△E的度数．
【答案】（1）见解析 （2）∠ADE＝90°
【解析】
【分析】（1）根据两边对应成比例夹角相等证明两三角形相似即可；
（2）根据（1）的结论可得∠BAD＝∠EDC，进而求得∠ADB+∠EDC＝90°，进而求得 的度数
【小问1详解】
证明：∵AB⊥BC，EC⊥BC，点D在BC上，
∴∠ABD＝∠DCE＝90°．
∵AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6，
∴ ＝ ， ＝ ．
∴ ＝ ．
∴△ABD∽△DCE；
【小问2详解】
由（1）知，△ABD∽△DCE，则∠BAD＝∠EDC．
∵∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠ADB+∠EDC＝90°．
∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDC＝90°．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20. 如图，四边形ABCD中， ， ， ， ，求AD的长．
【答案】
【解析】
【分析】首先在 中利用 求出AC的长度，然后在 中再利用
即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
21. 已知双曲线 与直线 交于 ， ．（1）求k，m值；
（2）将直线 ，平移得到 ： ，且 与双曲线围成的封闭区域内（不含边界）恰有3个整点
（把横纵坐标均为整数的点称为整点）结合图象，直接写出b的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2） 或
【解析】
【分析】（1）由A点坐标可求出反比例函数解析式，从而求出B点的坐标，即可得出结论；
（2）作图并观察，若直线 在直线 的下方时，则有整点（1，1），（0，0），（-1，-1），若直线 在
直线 的上方时，则有整点（-2，0），（-1，1），（0，2），据此解答即可．
【详解】解：（1）∵点 在双曲线 上，
∴ ，
∴ ，
∴双曲线 的表达式为 ，
∵点 在双曲线 上，∴ ，
∴ ， ；
（2）如图所示，
当直线 在直线 的下方时， ，
当直线 在直线 的上方时， ，
∴b的取值范围是： 或 ．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查待定系数法求解析式，数形结合的思想是
解题关键．
22. 如图，AB是 的直径，C、D是圆上两点，CD=BD，过点D作AC的垂线分别交AC，AB延长线
于点E，F．
（1）求证：EF是 的切线；
（2）若AE-3， ，求 的半径．【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，AD，由等腰三角形的性质得出∠CAD=∠DAB，∠ADO=∠DAB，由直角三角形
的性质可得出EF⊥OD，则可得出结论；
（2）设EF=4k，AF=5k（k＞0），则AE=3k，求出k=1，证明△FOD∽△FAE，由相似三角形的性质得出
，则可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，AD
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴ 是 的切线（2）在 中，
∴
∵
∴设 ， （ ），解得
∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
解得：
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角
三角函数，解题的关键是熟练掌握切线的判定．
23. 已知抛物线 与y轴交于点P，将点P向右平移4个单位得到点Q，点Q也在抛物线
上．（1）抛物线的对称轴是直线 ；
（2）用含 的代数式表示b；
（3）已知点 ， ，抛物线与线段MN恰有一个公共点，求 的取值范围．
【答案】（1）2；（2） ；（3） 或
【解析】
【分析】（1）先求得点P的坐标，再根据平移的性质得到点Q的坐标；由于点P、点Q的坐标关于对称
轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；
（2）根据对称轴公式即可求得；
（3）根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到a的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3a与y轴交于点P，
∴P（0，3a），
∵将点P向右平移4个单位得到点Q，
∴Q（4，3a）；
∵P与Q关于对称轴x=2对称，
∴抛物线对称轴直线x=2，
故答案为2；
（2）∵抛物线的对称轴是直线
∴
∴ ；
（3）解：由（2）知，抛物线的表达式为令 ，解得：
∴抛物线经过 和
设点 ， 在抛物线上，则 ， ，故此点M在R上方
在
①当 时，若抛物线与线段恰有一个公共点，需满足点N与点S重合（如图1）或点N 点S下方
（如图2），即 ，解得： ，即
②当 时， ，故此点N在点S下方，此时抛物线与线段恰有一个公共点（如图3）综上所述： 的取值范围是： 或
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合是解题的关键．
.
24 如图，矩形ABCD中，AD>AB，DE平分∠ADC交BC于点E，将线段AE绕点A逆时针旋转90°
得到线段AF，连接EF，AD与FE交于点O．
（1）①补全图形；
②设∠EAB的度数为 ，直接写出∠AOE的度数（用含 的代数式表示）．
（2）连接DF，用等式表示线段DF，DE，AE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；② ；（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；
②首先根据旋转 的性质和等腰直角三角形的性质得出 ，然后通过等量代换得出
，最后利用 即可求解；
（2）延长DE，AB交于点G，首先利用矩形的性质和角平分线的定义得出 ，则
，进而得出 ，根据勾股定理有
，然后再通过等量代换即可得出 ．
【详解】（1）①如图，
②∵将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，
，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ．
，
，
；
（2） ，
证明：延长DE，AB交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，掌握这些性质及定理是解题
的关键．
25. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P是图形M上的任意一点，Q是图形N上
任意一点，如果P，Q两点间距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N的“最小距离”，记作d（M，
N）．已知 的半径为1．
（1）如图，P（4，3），则 （点 ， ）= ，d（点P， ）= ．
（2）已知A、B是 上两点，且弧AB的度数为60°．
①若 轴且在x轴上方，直线 ，求d（ ，AB）的值；
的
②若点R坐标为（ ，1），直接写出点d(点R，AB） 取值范围．
【答案】（1）1，4；（2）①1；② ≤d(点R，AB）≤
【解析】【分析】（1）根据定义可知， （点 ， ）=r，d（点P， ）=PO-r，求解即可；
（2）①假设设点B在点A右侧，AB与 轴交于点P，连接OA、OB，可求得∴ ，直线 与
轴交于点C，与 轴交于点D，则点 ， ，继而求出 ，可知点B到CD的
距离就是AB与直线 的“最小距离”，然后过点O作 ，垂足为E，即可求得 ；
②d(点R，AB）最短为：OR-r，最长为：OR+r，求出OR即可求解．
【详解】解：（1） （点 ， ）=r=1，
d（点P， ）=PO-r= ，
故答案为：1，4；
（2）①如图，不妨设点B在点A右侧，AB与 轴交于点P，连接OA、OB，
∵AB的度数为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 与 轴交于点C，与 轴交于点D，则点 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
观察图形可知，点B到CD的距离就是AB与直线 的“最小距离”，
过点O作 ，垂足为E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②d(点R，AB）最短为：OR-r，最长为：OR+r，
∵ ，
∴ ≤d(点R，AB）≤ ．
【点睛】本题考查点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系，解题的关键是综合运用相关知识解决问题．
