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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 北京延庆初一（上）期末数学
满分100分，考试时间120分钟．
一、选择题：（共16分，每小题2分）第1--8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥的特征进行判断即可．
【详解】解：圆锥是由一个圆形的底面，和一个弯曲的侧面围成的，
因此选项C中的几何体符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握几种常见几何体的形体特征是正确判断的前提．
2. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫
做正数与负数．如果向东走5米记为+5米，则向西走3米记为（ ）
A. +5米 B. ﹣5米 C. +3米 D. ﹣3米
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，向西走则记为“－”．
【详解】∵向东走5米记为+5米，
∴向西走3米可记为﹣3米，
故选D．
【点睛】考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．
3. 据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000
亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（ ）
A. 3.386×108 B. 0.3386×109 C. 33.86×107 D. 3.386×109
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
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成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当
原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为3.386×108
故选∶A
【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数，解题的关键是正确的找到a，n的值．
4. 下列4个算式中，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键；因此此题可根据整
式的加减运算进行求解即可．
【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、 ，计算正确，故符合题意；
C、 ，原计算错误，故不符合题意；
D、 与 不是同类项，不能合并，故不符合题意；
故选B．
5. 下列4个式子中结果为负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方、相反数、绝对值，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方的运算法则和
相反数、绝对值的定义．
【详解】解：A． ，不是负数，不符合题意；
B． ，是负数，符合题意；
C． ，不是负数，不符合题意；
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D． ，不是负数，不符合题意．
故选：B．
6. 如图，数轴上有 ， ， ， 四个点，其中所对应的数的绝对值最小的点是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和数轴，绝对值的定义可以解答本题．
【详解】解：由数轴可得，
绝对值最小的数离原点最近，所以绝对值最小的点是点B，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用绝对值和数形结合的思想解答．
7. 如图，∠BDC＝90°，点A在线段DC上，点B到直线AC的距离是指哪条线段长( )
A. 线段DA B. 线段BA
.
C 线段DC D. 线段BD
【答案】D
【解析】
【分析】根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”作答．
【详解】解：∵∠BDC=90°，
∴BD⊥CD，即BD⊥AC，
∴点B到直线AC的距离是线段BD．
故选D．
【点睛】本题主要考查了直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
8. 下列说法：①单项式 的系数是1；②单项式 的次数是2；③多项式 的次数是3．正确的是
（ ）
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A. ① B. ② C. ③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查单项式、多项式的系数、次数．根据题意逐一对序号进行分析判断即可得到本题答案．
【详解】解：∵单项式 的系数是1，故①正确；
∵单项式 的次数是 ，故②不正确；
∵多项式 的次数是 ，故③不正确，
故选：A．
二、填空题．（共16分，每小题2分）
9. ﹣4的相反数为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，
0的相反数还是0．
【详解】－4的相反数是4．
故答案为：4
【点睛】本题考查了求一个数的相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
10. 写出一个大于 的负整数是________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查实数的比较，绝对值定义．根据题意可知负数绝对值越大数值越小，即可写出本题答案．
【详解】解：∵
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）．
11. 比较大小： ______ （填“ ”或“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查有理数的大小比较，两个负数，绝对值大的反而小，掌握两个负数比较大小的方法是解
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题的关键．
【详解】解： ， ，且 ，
，
故答案为： ．
12. 如果 是关于x的方程 的解，那么a的值是________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的求解是解题的关键．根据题意，把
代入方程式，得到关于a的一元一次方程式求解即可．
【详解】解：把 代入方程 得： ，
解得： ，
故答案为：4．
13. 如果单项式 与 是同类项，那么 的值是________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项是解题的关键；因此此题根据同类项“具有相同的字母，
并且字母的指数也相同的项”可进行求解．
是
【详解】解：由单项式 与 同类项，可知： ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：9．
14. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查角度计算．先将 化成度数形式，再进行运算即可得到本题答案．
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【详解】解： ，
故答案为： ．
15. 中国古代算书《算法统宗》中有这样一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏
问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？
译文：甲赶了一群羊在草地上往前走．乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面．乙问甲：“你这群羊有一百只
吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满 只”．
设甲原有 只羊，根据题可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设甲原来赶的羊一共有 只，根据“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的
一只凑进来，才满 只”，即可得出关于 的一元一次方程，即可求解．
【详解】解：设甲原有 只羊，根据题意得：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程 的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的
关键．
16. 下面的框图是解方程 的流程：
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在上述五个步骤中，依据是“等式的基本性质2”的步骤有________．（只填序号）
【答案】①⑤##⑤①
【解析】
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式基本性质．
【详解】解：等式的性质2：等式两边同时乘（或除）相等的数或式，两边依然相等；
若 ，
那么有 ，
或 ，
所以依据等式的性质2的步骤是①⑤．
故答案为：①⑤．
三、解答题（17-18题，每小题8分；19-26题，每小题5分；27-28题，每小题6分）
17. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是关键．
（1）先整算式整理，再从左到右依次计算即可；
（2）先计算乘除，再计算加减即可．
【小问1详解】
解：原式 ；
【小问2详解】
解： ，
，
．
18. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键．
（1）先通分计算括号内的，将结果乘以 即可得到本题答案；
（2）先计算括号内的再计算中括号内的，再计算乘法最后计算减法．
【小问1详解】
解：原式 ，
，
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；
【小问2详解】
解：原式 ，
，
．
19. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程；根据解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同
类项，化系数为1，即可求解．
【详解】解：
移项得，
解得：
20. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解即可．
【详解】 ，
去分母，得3（x+1）=2（2-3x），
去括号，得3x+3=4-6x，
移项，得3x+6x=4-3，
合并同类项，得9x=1，
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系数化为1，得 ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键．
注意去分母时不含分母的项不要漏乘．
21. 先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，2
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘多项式，整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则对原式进行化简．
原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式 ，
，
当 ， 时，
原式
22. 已知：点C是线段 的中点，点D在直线 上，且 ， ．
（1）求线段 的长；
（2）直接写出线段 的长．
【答案】（1）
（2） 或13
【解析】
【分析】本题主要考查线段中点的性质及线段的和差关系，熟练掌握线段的中点是解题的关键；
（1）根据线段中点的性质可直接进行求解；
（2）由题意可分当点D在线段 上时或点D在线段 的延长线上时，然后分类求解即可．
【小问1详解】
解：∵点C是线段 的中点， ，
∴ ；
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【小问2详解】
解：由题意可分：①当点D在线段 上时，则有 ；
②当点D在线段 的延长线上时，则有： ．
23. 按要求画图：如图，点A，B，C，D是同一平面内的四个点．
（1）画线段 和直线 ；
（2）在线段 的反向延长线上取一点E，使 ；
（3）过点D作 于点F；
（4）在直线 上找一点P，使得 最小．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4）见解析
【解析】
【分析】本题考查线段，直线，垂线的画法，掌握定义是解题的关键．
（1）连接 即可画出线段AB，连接 使得两端延长出去即为直线 ；
（2）延长 ，以点 为圆心， 长为半径画圆，与 延长线上交于一点即为点E；
（3）根据垂线的定义即可画出；
（4）根据两点间线段最短，可知点P应在 与 交点处时．
【小问1详解】
解；根据连接两点的间的距离为线段，所以如下图所示连接 ，两端无端点即为直线 ，如下图所示
连接 两端无限延长：
；
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【小问2详解】
解：延长 ，以点 为圆心， 长为半径画圆，与 延长线上交于一点即为点E，
即可 ，如下图所示：
；
【小问3详解】
解：以点D为圆心， 长为半径作圆，再以点D为圆心， 长为半径作圆，两圆交于 两点，连
接 即为 ，如下图所示：
；
【小问4详解】
解：∵两点间线段最短，可知点P应在 与 交点处时，即当 三点共线时 最小，如
下图所示：
．
24. 如图， ， 平分 ，交 边于点D， 平分 ，交 边于
点E．
（1）依题意补全图形；
（2）① ________；
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②补全证明过程．
证明：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
________．（理由：________）
∵ ，
∴ _____ ．
【答案】（1）见解析 （2）①45°；② ；角平分线定义；45°
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平
分线的定义．
（1）根据题意画出图形即可；
（ 2 ） 根 据 角 平 分 线 的 定 义 得 出 ， 根 据 得 出
即可．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
① ；
②补全证明过程．
证明：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
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．（理由：角平分线的定义）
∵ ，
∴ ．
故答案为：①45°；② ；角平分线定义；45°．
25. 本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程：
解方程：
解：原方程可化为： …………第一步
方程两边同时乘以15，去分母，得
…………第二步
去括号，得 …………第三步
移项，得 ………第四步
合并同类项，得 …………第五步
系数化1，得 …………第六步
所以 是原方程的解．
上述小明的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是____________．请你写出正确的解题过
程．
【答案】三，去括号未改变符号，解题过程见解析
【解析】
【分析】本题考查解整式方程．根据题意先判断哪步出错，并正确解答即可得到本题答案．
【详解】解： ，
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原方程可化为： ，
方程两边同时乘以15，去分母，得 ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化1得： ，
所以 是原方程的解．
26. 列方程解应用题：
延庆区张山营镇是著名的“苹果之乡”，出产的苹果色泽鲜艳、品种优良，红富士苹果获得“中华名果”
的称号，秋收季节，某公司打算到张山营果园基地购买一批苹果．果园基地对购买量在1000千克（含
1000千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克10元，由基地送货上门；方案二：每千克8元，由
顾客自己运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．
（1）公司购买多少千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同？
（2）如果公司打算购买3000千克苹果，选择哪种方案省钱？为什么？
【答案】（1）2500
（2）方案二，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用．
（1）根据题意设公司购买 千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方
程并正确解出即为本题答案；
（2）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：设公司购买 千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同，
方案一： ，
方案二： ，
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即： ，解得： ，
答：公司购买2500千克苹果时，选择两种购买方案所需的费用相同．
【小问2详解】
解：公司打算购买3000千克苹果，
∴方案一： （元），
方案二： （元），
∵ ，
∴方案二更省钱．
27. 阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“ ”：a b ．例如，2 5
．
（1）求3 的值；
（2）若 ，求x的值；
（3）试探究这种特别的运算“ ”是否具有交换律？
【答案】（1）1 （2）
（3）不具有，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查定义新运算题型，解一元一次方程．
（1）根据题意利用题干列式求解即可得到本题答案；
（2）根据题意列出含x的式子解出即为本题答案；
（3）可以代数求，计算 3，看结果是否等于（1）中求得的结果，进而可作判断．
【小问1详解】
解：∵a b ，
∴3 ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
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解得： ；
【小问3详解】
解：∵ 3 ，
∵由（1）知，3 ，
∴3 3，
∴这种特别的运算“ ”不具有交换律．
28. 对于数轴上三个不同的点A，B，C，给出如下定义：在线段 中，若其中有两条线段相
等，则称A，B，C三点是“均衡点”．
（1）点A表示的数是 ，点B表示的数是1，点C表示的数是3，
①A，B，C三点______（填“是”或“不是”）“均衡点”；
②点M表示的数是m，且B，C，M三点是“均衡点”，则 ________；
（2）点D表示的数是x，点E表示的数是n，线段 （a为正整数），线段 ，若D，E，F三
点是“均衡点”，且关于x的一元一次方程 的解为整数，求n的最小值．
【答案】（1）①不是；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次方程，数轴上两点之间距离关系．
（1）根据题意分别表示出 ，即可得到本题答案；
（2）根据题意针对三点的位置分情况讨论，列关于 的一元一次方程并解出即可得到本题答案；
（3）根据题意针对三点分情况讨论，可分为6种情况，再分别列出方程正确解答后比较 的数值，即可得
到本题答案．
【小问1详解】
①解：∵点A表示的数是 ，点B表示的数是1，点C表示的数是3，
∴ ，
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∵ ，
∴A，B，C三点不是“均衡点”；
②解：∵点M表示的数是m，且B，C，M三点是“均衡点”，
又∵点B表示的数是1，点C表示的数是3，
∴分情况讨论：
①当点 顺次时，
，
即： ， ，解得： ，
②当点 顺次时，
， ，
即： ， ，解得： ，
③当点 顺次时，
， ，
即： ， ，解得： ，
综上所述： 的值为5或2或 ；
【小问2详解】
解：∵D，E，F三点是“均衡点”，
∴分情况讨论：
①当点 顺次时，即 时，
∵线段 （a为正整数），线段 ，
∴ ，
∵关于x的一元一次方程 的解为整数，
∴ ，
∵a为正整数，∴ 或 ，
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∴当 时， 符合题意，
∵点E表示的数是n，点D表示的数是x，
∴ ，即 ，
当 时， 符合题意，
∴ ，即 ，
②当点 顺次时，即 时，
∵线段 （a为正整数），线段 ，
∴ ，即 ，
∵关于x的一元一次方程 的解为整数，
∴ ，
∵a为正整数，∴ 或 或 ，
∴当 时， 符合题意，
∵点E表示的数是n，点D表示的数是x，
∴ ，即 ，
当 时， 符合题意，此时 ，
当 时， 符合题意，此时 ，
③当点 顺次时，即 时，
∵线段 （a为正整数），线段 ，
∴ ，
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∵关于x的一元一次方程 的解为整数，
∴ ，
∵a为正整数，
∴当 时， 符合题意，
∵点E表示的数是n，点D表示的数是x，
∴ ，即 ，
④当点 顺次时，即 时，
∵线段 （a为正整数），线段 ，
∴ ，
∵关于x的一元一次方程 的解为整数，
∴ ，
∵a为正整数，
∴当 时， 符合题意，
∵点E表示的数是n，点D表示的数是x，
∴ ，即 ，
∴当 时， 符合题意，此时 ，
当 时， 符合题意，此时 ，
⑤当点 顺次时，即 时，
∵线段 （a为正整数），线段 ，
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∴ ，
∵关于x的一元一次方程 的解为整数，
∴ ，
∵a为正整数，
∴当 时， 符合题意，
∵点E表示的数是n，点D表示的数是x，
∴ ，即 ，
当 时， 符合题意，此时 ，
⑥当点 顺次时，即 时，
为
∵线段 （a 正整数），线段 ，
∴ ，
∵关于x的一元一次方程 的解为整数，
∴ ，
∵a为正整数，
∴当 时， 符合题意，
∵点E表示的数是n，点D表示的数是x，
∴ ，即 ，
当 时， 符合题意，此时 ，
综上所述：n的最小值为 ．
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