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房山区 2020-2021 学年度第一学期期中检测试卷九年级数学
一、选择题
1. 二次函数 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 1，4，3 B. 0，4，3 C. 1，-4，3 D. 0，-4，3
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 的函数，叫做二次
函数．其中x，y是变量， 是常量， a是二次项系数， b是一次项系数， c是常数项作答．
【详解】解：解:二次函数 的二次项系数是1，一次项系数是 ，常数项是3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常数项时，不要
漏掉符号．
2. 如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据比例的性质，可得答案．
【详解】解：A．由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故A符合题意；
B．由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故B不符合题意；
C．由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故C不符合题意；
D．由比例的性质，得xy=12与3x=4y不一致，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解答本题的关键．
3. 如图，在 中， ，若 ， ，则 等于（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 ，可得： ，得到 ，然后根据 ， ，
求出 的值即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质的应用，平行线的性质．解题的关键是要明确：①三边法：三
组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三
角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
4. 将二次函数 的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（
）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将二次函数 的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表
达式是： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟知函数图象平移变换的法则是解答此题的关键．
5. 已知二次函数 ，若点 和 在此函数图象上，则 与 的大小关系是（
）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式求得对称轴为直线 ，开口向上，根据 与坐标轴的距离的远近即
可判断 与 的大小关系
【详解】解：∵二次函数 ，开口向上，对称轴为直线
又点 和 在此函数图象上， ，
∴ ．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求得对称轴是解题的关键．
6. 如图，A是反比例函数 图象上第二象限内的一点，若△ABO的面积为2，则k的值为（
）A. 4 B. ﹣2 C. 2 D. -4
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数k的实际意义可得， ，求出k值，再根据反比例函数所经过的象限，可
确定k值即可得出答案．
【详解】由题可知： ，
，
图像过第二象限，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数k的实际意义，掌握反比例函数k的实际意义是得出正确答案的前提，理解
反比例函数的性质是解题的关键．
7. 《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门
一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形 ，东边城墙 长9里，南边
城墙 长7里，东门点 ，南门点 分别位于 ， 的中点， ， ， 里，
经过 点，则 的长为（ ）A. 0.95里 B. 1.05里 C. 2.05里 D. 2.15里
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意得到 ，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即
可．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形 的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8. 已知关于 的函数 的图象如图所示．根据探究函数图象的经验，可以推断常数 ， 的值
满足（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图象可知，
当x>0时，y<0，可知a<0；当x=-b时，函数值不存在，则b>0．
【详解】解：由图象可知，
当x>0时，y<0，
∴a<0；
当x=-b时，函数值不存在，
∴-b<0，
∴b>0，
故选：D．
【点睛】此题考查了函数的图象，能够通过已学的反比例函数图象确定b的值是解题的关键．
二、填空题
9. 若 ，则 ______．
【答案】 ##0.6
【解析】
【分析】根据 可得： ，代入 运算求解即可．【详解】∵ ，
∴ ，
∴把 代入 得：
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质，正确计算是解题的关键．
10. 写出一个对称轴是y轴的二次函数的解析式_____．
【答案】 ，答案不唯一．
【解析】
【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可．
【详解】解：抛物线的解析式为：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质，此题是一道开放型的题
目，答案不唯一．．
11. 两个相似三角形的对应边的比为 ，则这两个相似三角形周长的比为__，面积的比为__．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【详解】解： 两个相似三角形的相似比为 ，
它们对应周长的比为 ；对应面积的比是 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平
方．
12. 已知 ， 是边 上的一点，连接 ．请你添加一个条件，使 ，这个条件可
以是_______．（写出一个即可）
【答案】 或 或
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法解决问题即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 或 或 时， ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．解题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角
形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组
角对应相等的两个三角形相似．
13. 在如图所示的网格中，以点 为位似中心，四边形 的位似图形是_____．【答案】四边形
【解析】
【分析】以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则 ，
， ， ， ， ， ， ，
， ，由 ，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结
果．
【详解】∵以点O为位似中心，
∴点C对应点M，
设网格中每个小方格的边长为1，
则 ，
，OD= ，
，
，
，OQ= ，
，
，，
∵ ，
则点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形
，
故答案为：四边形 ．
【点睛】本题考查了位似变换、勾股定理，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，找出点C对应点M．
14. 二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，则关于 的方程
的解为_______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】观察函数图像可直接写出方程的一个解 ，二次函数对称轴为直线 ，根据函数图像与x
轴的两个交点到对称轴的距离相等，得出方程另一个解的值．
【详解】解：由二次函数图像可得，抛物线 与x轴的一个交点为 ，对称轴是直线 ，
则抛物线与x轴的另一个交点为 ，
当 时，关于x的方程 的两个解为： ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查根据二次函数图像确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关
键．
15. 若二次函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是_______．
【答案】 且 ##k≠0且k≥
【解析】
【分析】根据二次函数的定义可知 ，由题意令 ，得出一元二次方程，根据一元二次方程根的判
别式大于或等于0，解不等式即可求解．
【详解】解：∵二次函数 的图象与 轴有交点，
令 ，则 ，
∴ 且 ，
解得 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与 轴交点问题，转为一元二次方程根的判别式是解题
的关键，注意不要漏掉 ．
16. 如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 为的整数）函数 的图象为曲线 ．
（1）若 过点 ，则 __；
（2）若曲线 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则 的整数值有__个．
【答案】 ①. -16 ②. 7
【解析】
【分析】（1）由题意可求T～T 这些点的坐标，将点T 的坐标代入解析式可求解；
1 8 1
的
（2）由曲线L使得T～T 这些点分布在它 两侧，每侧各4个点，可得T，T，T，T 与T，T，
1 8 1 2 7 8 3 4
T，T 在曲线L的两侧，即可求解．
5 6
【详解】解：（1） 每个台阶的高和宽分别是1和2，
， ， ， ， ， ， ， ，
过点 ，
，
故答案为： ；
（2）若曲线 过点 ， 时， ，
若曲线 过点 ， 时， ，
若曲线 过点 ， 时， ，
若曲线 过点 ， 时， ，曲线 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
，
整数 ， ， ， ， ， ， 共7个，
故答案为：7；
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，点的规律变化，找出点的规律，正确求出各点的坐标是本题的关
键．
三、解答题
17. 若 ，求 的值．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用比例的性质将已知条件变形，再解一元二次方程得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
检验：将 ， 代入 得： ， ，
∴ ， 是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，一元二次方程的解法，正确解方程是解本题的关键．
18. 已知：抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为
．
（2）在坐标系中画出此抛物线．【答案】（1）（3，0）、（1，0），（0，3），（2，﹣1）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的解析式，可以求得它与x轴交点的坐标、与y轴交点的坐标以及顶点坐标；
（2）根据（1）中的结果，可以画出相应的抛物线．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣3）（x﹣1），
∴该抛物的顶点坐标为（2，﹣1），当y＝0时，x＝3，x＝1，当x＝0时，y＝3，
1 2
∴它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1），
故答案为：（3，0）、（1，0），（0，3），（2，﹣1）；
（2）由（1）知，它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标
为（2，﹣1），且过点（4，3），抛物线如下图所示：
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的
性质解答. ．
19. 如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点 ． 和 的顶点都在边长为
1的小正方形的格点上．（1）则 _____°， ______；
（2）判断 与 是否相似．若相似，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2） ∽ ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用图形以及勾股定理解决问题即可．
（2）结论： ABC∽△DFE．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【小问1详解△】
解：观察图形可知，∠ABC＝90°＋45°＝135°，BC ．
故答案为： ，
【小问2详解】
结论： ABC∽△DFE．
△
理由：∵AB＝2，BC＝2 ，DF ，EF＝2，∠DFE＝90°＋45°＝135°，
∴ ，
∵∠ABC＝∠DFE，
∴△ABC∽△DFE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题．
20. 已知二次函数 图象上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表：x … …
y … …
求这个二次函数的表达式．
【答案】 ．
【解析】
【分析】根据表格数据，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），结合点（﹣1，2）利用题意，设
二次函数的表达式为 ，然后代入求解即可．
【
详解】∵二次函数经过（-3,0），（1,0），
则可设其表达式为y＝a（x+3）（x﹣1）
∵二次函数经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数的表达式为 ，
即 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是根据选取的点设合适的二次函数解析式
的形式．
21. 已知：如图，在 中， 是 上一点， 是 上一点，且 ．（1）求证： ∽ ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论；
（2）由相似三角形的性质可得 ，再运用三角形内角和定理求得∠B即可．
【小问1详解】
∵ ，
，
∴ ∽ ．
【小问2详解】
解：∵ ∽ ，
∴ ．
在 中， ，
∵ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相似三角形的
判定与性质是解答本题的关键．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点
．（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）请直接写出当 时，反比例函数 的函数值 的取值范围是_______．
【答案】（1）
（2）当 时， 或
【解析】
【分析】（1）把点 代入一次函数 求得m的值，再把点A的坐标代入 得到k的值，
即可求得反比例函数的表达式；
（2）由图象即可得到函数值 的取值范围．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ．
∴ ．
∴点A的坐标是（1，3），
把点（1，3）代入 得到，
∴ ．
∴反比例函数的表达式为 ．
【小问2详解】
由图象可知，当 时， 或 ．故答案为： 或
【点睛】此题是反比例函数和一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、根据图形求函数值的
取值范围，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
23. 如图，在矩形 中， 是 的中点， ，垂足为 ．若 ， ，求
的长．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的性质，证明 ， ，可得 ∽ ，根据相似三角
形的性质得出比例式，分别求得 ，代入比例式即可求解．
【详解】解∶∵四边形 是矩形，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ∽ ．
∴ ．
∵ ， 是 的中点，∴ ．
∴ 在 中，
．
又∵ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是
解题的关键．
24. 数学学习小组根据函数学习的经验，对一个新函数 的图象和性质进行了如下探究：
（1）列表，下表是函数y与自变量x的几组对应值：
﹣
x … ﹣3 ﹣2 1 2 3 4 …
1
﹣
y … ﹣4 ﹣10 6 2 0 m …
6
请直接写出自变量x的取值范围 ，a＝ ，m＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐
标），并根据描出的点画出函数的图象；
（3）观察所画出的函数图象，写出该函数的性质 ．（写出一条性质即可）【答案】（1）x≠0，2，1；（2）见解析；（3）当0＜x＜2时，y随x的增大而减小
【解析】
【分析】（1）利用函数解析式结合表格利用待定系数法进行计算即可；
（2）根据表格中所给数据描点画图即可；
（3）利用图象可得答案．
【详解】解：（1）自变量x的取值范围x≠0，
把x＝1，y＝2代入函数 得：2＝ |1﹣2|，
解得：a＝2，
当x＝4时，y＝ |4﹣2|＝ ×2＝1，
故答案为：x≠0，2，1；
（2）如图所示；（3）当0＜x＜2时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握描点法画图像的步骤．
25. 某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区 ，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的
栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形 的边 米，面积为 平方米．
（1）求活动区面积 与 之间的关系式，并指出 的取值范围；
（2）当 为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．
【答案】（1） ；（2）当 为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平
方米
【解析】【分析】(1)由总长度-垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出x的取值
范围；
(2)由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可.
【详解】解：（1） 四边形 是矩形， 米，
米，
墙长为22米，
，
，
，
即 ；
（2）设矩形的面积为
，
由（1）知， ，
当 时， 有最大值200，
即当 为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米．
【点睛】此题考查了二次函数 的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据
二次函数的性质求解.
26. 在平面直角坐标系 中，二次函数 图像与 轴的交点为 ，将点 向右平移 个单
位长度，向上平移 个单位长度得到点 ．（1）直接写出点 的坐标为______，点 的坐标为_______；
（2）若函数 的图像与线段 恰有一个公共点，求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据关系式可求出抛物线与 轴的交点坐标，即点 的坐标，再根据平移可得点 坐标；
（2）由于抛物线 的图像恒过点 ，因此分两种情况：①对称轴是 轴或在 轴左侧
时，②对称轴在 轴右侧时，进行解答即可．
【小问1详解】
解：当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
∵将点 向右平移 个单位长度，向上平移 个单位长度得到点 ，
∴点 坐标为 ．
故答案为： ； ．
【小问2详解】
抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线恒过点 ，设直线 的解析式为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
①当对称轴是 轴或在 轴左侧时，即 时，
∴抛物线 与直线 的交点的横坐标是方程 的解，即
的两个根，
解得： ， ，
当抛物线 与线段 有一个公共点时，有：
，即： ，
解得： ；
②当对称轴在 轴右侧时，即 时，
∴抛物线 与直线 的交点的横坐标是方程 的解，即
的两个根，解得： ， ，
当抛物线 与线段 有一个公共点时，有：
，
∴ ，即： ，
解得： ．
综上所述，当 或 时，函数 的图像与线段 恰有一个公共点．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—平移，二次函数与一次函数的交点情况，掌握点平移的坐标规律和
二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，解一元二次方程等知识．解题的关键是：（1）利用
二次函数的性质，求出点 的坐标；（2）分两种情况：对称轴是 轴或在 轴左侧时；对称轴在 轴右
侧时，找出关于 的一元一次不等式．
27. 如图，在 中， ， ，点 是 内一动点（不包括 的边界），
连接 ．将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ．连接 ， ．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求证： ；
（3）延长 交 于 ，交 于 ． 连接 ， ．当 为等腰直角三角形时，请你直接写出 _______．
【答案】（1）图见解析
（2）证明见解析 （3） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）利用 即可证明 ，即可得到结论；
（3）①根据两角相等的两个三角形相似即可判断；
②分两种情形分别求解即可．
【小问1详解】
解：图形如图所示：
【小问2详解】
证明：∵线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，∴ ．
【小问3详解】
解： 或 ．
①当 时，如图，设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
②当 时，如图，设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质、
勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想方法．解题的关键是利用参数解决问题．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点 和点 ，给出如下定义：若 ，则
称点 为点 的 值变点．例如：点 的 值变点的坐标是 ，点 的 值变点的坐标是
．（1）①点 的 值变点的坐标是________；
②在点 ， 中有一个点是函数 图象上某一个点的 值变点，这个点是______；
（2）若点 在函数 的图象上，其 值变点 的纵坐标 的取值范围是
，求 的取值范围；
（3）若点 在关于 的二次函数 的图象上，其 值变点 的纵坐标 的取值范围是
或 ，其中 ．令 ，直接写出 关于 的函数表达式及 的最小值 ．
【答案】（1）① ；②
（2）
（3） ，当 时， 取最小值
【解析】
【分析】（1）①根据题意进行求解即可；②设函数 上的那个点的坐标为（ ， ），则点（ ，）的2值变点坐标为 ，据此求解即可；
（2）先求出点 的 值变点 必在函数 的图象上．画图对应的函数图象进行求
解即可；
（3）先求出抛物线顶点坐标为 ．再分 ， ，两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：①∵ ，
∴点 的 值变点的坐标是 ，
故答案为： ；
②设函数 上的那个点的坐标为（ ， ），
∴点（ ， ）的2值变点坐标为 ，
当 时，可知点（ ， ）的2值变点在第一象限，
当 时，可知点（ ， ）的2值变点的横纵坐标符号相反，
∴这个点只能是B（-1，3），
故答案为：B；
【小问2详解】
解：依题意， 图象上的点 的 值变点 必在函数的图象上．
∵ ，
∴当 时， 取最大值 ．
当 时， ，即 ．
当 时， 或 ．
∴ 或 ．
∵
由图象可知， 的取值范围是 ．
【小问3详解】
解：∵ ，
∴顶点坐标为 ．
①若 ， 的取值范围是 或 ，与题意不符．
②若 ，当 时， 的最小值为 ，即 ；
当 时， 的值小于 ，即 ．
∴ ．∴ 关于 的函数表达式为 ．
∴当 时， 取最小值 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的应用，正确理解题意是解题的
关键．
