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房山区 2020-2021 学年度第一学期期末检测试卷九年级数学
一、选择题
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】解：
故选A
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
3. 如图，在 中， ∥ ，若 ， ，则 等于（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
【详解】解：∵DE∥BC，AD＝2，AB＝3，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．
4. 如图， ， 是⊙ 的半径，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意及圆周角定理可直接进行排除选项．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
故选A．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5. 在半径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用弧长公式即可求出．
【详解】解：90°的圆心角所对的弧长 ，
故选 ：D．
【点睛】此题主要考查了圆心角所对弧长的公式，熟记公式是解题的关键．
6. 若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的增减性解答．
【详解】∵ ，k=6>0，
∴该反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点 ， ， ，
∴点A在第三象限内，且x 最小，
1
∵2<3，
∴x>x，
2 3
∴ ，
故选：B．【点睛】此题考查反比例函数的增减性，掌握反比例函数增减性及判断方法是解题的关键．
7. 在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用分类讨论的思想，①当AC边为长边时，作 交AC于点D，设BD=x，由题意可求
出AD、DC长，再根据勾股定理可列出关于x的一元二次方程，解出x即可求出AB长；②当AB边为长
边时，作 交AB于点E，由题意可求出CE、AE长，再根据勾股定理可求出BE长，从而得到
AB长．
【详解】分类讨论：①当AC边为长边时，作 交AC于点D，设BD=x，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
整理得： ．
解得 ， ．
当 时， 不合题意，所以此解舍去．
∴ ．
②当AB边为长边时，作 交AB于点E，
∵ ，∴ ， ．
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程．根据题意结合勾股定理得到边的关系是解答本题的关键．
8. 如图，二次函数 的图象经过 ， ， 三点，下面四个结论
中正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下
B. 当 时， 取最小值
C. 当 时，一元二次方程 必有两个不相等实根
D. 直线 经过点 ， ，当 时， 的取值范围是
【答案】C
【解析】
【分析】把A、B、C三点代入二次函数即可求出函数解析式，根据函数解析式依次判断即可．
【详解】把A、B、C三点代入二次函数得：解得：
故函数解析式为： ，
∴开口朝上，
故A不正确；
函数对称轴为： ，
∴ 时，函数值最小， ，
故B不正确；
由题意得： 时，一元二次方程 有一个实根， 时， 有两个
不等实根，
∵ ，
∴一元二次方程 必有两个不相等实根，
故C正确；
∵直线 经过点 ， ，
∴依据题意可知： 时， 或 ；
故D错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像及性质，以及一次函数，熟练掌握二次函数图像与性质以及一
次函数图像是解答本题的关键．
二、填空题9. 已知 ，则 ____．
【答案】4
【解析】
【分析】先根据 得到y=3x，再代入 化简即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴y=3x，
∴ ．
故答案为：4
【点睛】本题考查了比例的性质，根据已知得到x与y的关系是解题的关键．
10. 请写出一个过点 的函数表达式：___．
【答案】y=x 或y= 或 y=x2（答案不唯一）．
【解析】
【分析】由函数图象过点（1，1），设该函数的表达式为y＝kx或y= 或y=ax2，将点的坐标代入求函数
的表达式．
【详解】解：设该函数的表达式为y＝kx或y= 或y=ax2，
把点（1，1）代入，
可分别求出表达式为：y=x 或y= 或 y=x2，
故答案为：y=x 或y= 或 y=x2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了反比例（一次、正比例或二次）函数的性质，根据点的坐标利用待定系数法求出函数表达式是解题的关键．
11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是______．
【答案】110°##110度
【解析】
【分析】根据圆的内接四边形对角互补计算∠ADC即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠ABC=70°，
∴∠ADC=180°-70°
=110°．
故答案为110°．
【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补的性质，熟练掌握这个性质是解题的关键．
12. 函数 的图象向下平移3个单位，得到函数图象的表达式是____．
【答案】y=x2-3
【解析】
【分析】根据函数图象平移的法则“上加下减”进行计算，即可求解结果．
【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数 的图象向下平移3个单位所得函数的解析式
为：y=x2-3．
故答案为：y=x2-3．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握函数图象平移的法则是解答此题的关键．
13. 如图，点 ， 分别在△ 的 ， 边上．只需添加一个条件即可证明△ ∽△ ，
这个条件可以是_____．(写出一个即可)【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【解析】
【分析】由已知得到∠A是公共角，只需添加另一组角相等过夹角A的两条边成比例即可．
【详解】∵∠A=∠A，
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时， ∽△ ；
当 时， ∽△ ；
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 ．
【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理是解题的关键．
14. 如图，AB为 的直径，弦 于点H，若 ， ，则OH的长度为__．
【答案】3
【解析】
【分析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股
定理求出OH的长．
【详解】连接OC，Rt△OCH中，OC= AB=5，CH= CD=4；
由勾股定理，得：OH= ；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
15. 如图所示的网格是边长为1的正方形网格， ， ， 是网格线交点，则 ____．
【答案】
【解析】
【分析】作AD⊥BC于D点，在Rt△ABD中根据余弦的定义求解即可．
【详解】如图，作AD⊥BC于D点，则△ABD为直角三角形，
其中，AD=3，BD=4，由勾股定理可得AB=5，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查求余弦值，根据余弦的定义构造合适的直角三角形是解题关键．16. 我们将满足等式 的每组 ， 的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的
“心形”图形．下面四个结论中：
①“心形”图形是轴对称图形；
②“心形”图形所围成的面积小于3；
③“心形”图形上任意一点到原点的距离都不超过 ；
的
④“心形”图形恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数 点）．
所有正确结论的序号是_____．
【答案】①③④
【解析】
【分析】①根据方程的特点，用（－x，y）代替（x，y）可知“心形”图形关于y轴对称；
②如图找出“心形”图形上的整点 ， ， ， ， ， ，求出
四边形ABCD和△ADE的面积，由“心形”图形的面积＞ 可得结论；
③当 时， ，则 ，可得“心形”图形右侧部分的点到原点的
距离都不超过 ，再根据对称性可得结论；
④由②③可知“心形”图形上恰有6个整点．
【详解】①在 中，用（－x，y）代替（x，y）得 ，即
，所以“心形”图形关于y轴对称，故①正确；
②如图，分别令x=－1,0,1，求出对应的y值可得：， ， ， ， ， ，
∵ ， ，
的
∴“心形”图形 面积＞ ，故②错误；
③当 时，∵ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，从而 ，
即“心形”图形右侧部分的点到原点的距离都不超过 ，
∵“心形”图形关于y轴对称，
∴“心形”图形上所有的点到原点的距离都不超过 ，故③正确；
④由③知“心形”图形上所有的点到原点的距离都不超过 ，
∴“心形”图形上的整点的横纵坐标都只能取－1，0，1中的一个，
则由②知“心形”图形恰好经过6个整点： ， ， ， ， ， ，
故④正确．
综上所述，正确结论的序号是：①③④．
【点睛】本题考查了利用曲线的方程特征研究曲线的性质、命题真假的判断与应用，对学生的数形结合能
力要求较高，属于综合题．三、解答题
17. 如图，已知 ∥ ， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得 ，结合 可证 ∽△ ，由相似三角形
△
的性质即可证明结论．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴ ．
∵ ，
∴△ABD∽△DCE．
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质并能根据已知准确选择
判定方法是解题的关键．
18. 已知二次函数 ．（1）求它的图象的顶点坐标和对称轴；
（2）在如图平面直角坐标系中画出它的图象．并结合图象，当 时，求y的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为（1，-4），对称轴为：直线x=1
（2）y≥-4
【解析】
【分析】（1）把解析式化成顶点式，即可得到结论；
（2）画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴（y轴）的交点，再根据图象求当x＞0时，
y的取值范围．
【小问1详解】
y=x2-2x-3=（x-1）2-4
∴二次函数y=x2-2x-3的图象的顶点坐标为（1，-4），对称轴为：直线x=1；
【小问2详解】
∵y=x2-2x-3=（x+1）（x-3），
图象与x轴两交点坐标为（-1，0），（3，0），
二次函数图象如下图：当x＞0时，则y的取值范围是y≥-4，
故答案为y≥-4．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
19. 已知： 线段 ．
求作： ，使其斜边 ，一条直角边 ．
作法：①作线段 ；
②分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 ， 两点，作直线 交 于
点 ；
③以 为圆心， 长为半径作⊙ ；
④以点 为圆心，线段 的长为半径作弧交⊙ 于点 ，连接 ． 就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点 在线段 的垂直平分线上，
∴点 为线段 的中点， 为⊙ 的半径．
∴ 为⊙ 的直径．∵点 在⊙ 上，
∴ __________ （__________）（填推理的依据）．
∴ 为直角三角形．
【答案】（1）见解析；（2）90；直径所对的圆周角是直角
【解析】
【分析】（1）根据作图步骤补全图即可
（2）根据直径所对的圆周角是直角即可解决问题．
【详解】解：（1）补全的图形如图所示：
（2）证明：∵点 在线段 的垂直平分线上，
∴点 为线段 的中点， 为⊙ 的半径，
∴ 为⊙ 的直径，
在
∵点 ⊙ 上，
∴ 90 （_直径所对的圆周角是直角 ）．
为
∴ 直角三角形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图
形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把
复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．
20. 在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥 的上方 的点 处悬停，此时
测得桥两端 ， 两点的俯角分别为 和 ，求桥 的长度．（结果精确到 ．参考数据：
， ）
【答案】246m
【解析】
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得
∠A =30°，∠B=45°，再解直角三角形即可求解．
【详解】解：根据题意得∠A =30°，∠B=45°，
过 点作 ，垂足为 .
∴
在 △ 中
∵ ， m，
∴ m
在 △ 中
∵ ， m∴
∴ m
∴ m
答：桥 的长度约为246m.
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
21. 如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于
点 ．
（1）求 的值；
（2）点 为 轴上一动点．若 的面积是 ，请直接写出点 的坐标．
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】
【分析】（1）先将点B（-2，0）代入一次函数求出k的值，进而求出A点坐标后，代入反比例函数求出
m的值；
（2）设C（n，0），由S =6，列出方程即可求得n的值，要注意C点有两种可能．
△ABC
【详解】解：（1）∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，
∴ .
∴ .
∴ .
∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，∴ .
把 代入 ，得 .
（2）设C（n，0），由（1）知点A的纵坐标为3，即△ABC的高为3，
依题S = |BC|×3=6，则|BC|=4
△ABC
当C点在B点左侧时，
当C点在B点右侧时，
综上 或
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解此题的关键．
22. 如图， 为⊙ 的直径，⊙ 过 的中点 ， ，垂足为点 ．
（1）求证： 与⊙ 相切；
（2）若 ， ．求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，由题目已知条件可证明 是△ 的中位线，进而可得到 // ，根据
，可以推出 ，即可得到结论．（2）连接 ，圆周角等于它所对的圆心角的一半可知 ,又因为 是 的中点，根据等腰
三角形三线合一定理可得 , ,再根据三角函数正切值求出 的长．
【详解】（1）如图，连接 ，
∵ 为 中点， 是 的中点，
∴ 是△ 的中位线，
∴ // ，
∴ ，
∵ ⊥ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ⊥ ，
∵⊙ 过 的中点 ，
∴ 与⊙ 相切．
（2）如图，连接 ，
∵ 是⊙ 的直径，
∴ ，∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 △ 中，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ .
【点睛】本题考查了切线的判定，中位线的性质，平行线的性质，圆周角定理，等腰三角形三线合一定理，
三角函数等，综合运用以上知识是解题的关键．
23. 已知抛物线 经过点 ．
（1）当抛物线与 轴交于点 时，求抛物线的表达式；
（2）设抛物线与 轴两交点之间的距离为 ．当 时，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ， 或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先确定 ，令 ，求出方程的两个根分别为 ，
，由 ，得到 或 ，求出 或 ，再分情况：①当 时，或 ，②当 时， 恒成立，故 ．
【详解】（1）解：由题意得，
，
∴ ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解: ∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 或 ，
即 或 ，
①当 时， 或 ，②当 时， 恒成立，故 ，
∴综上所述， ， 或 ．
【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，数轴上两点之间的距离，分
情况讨论取值，是一道较基础的二次函数习题．
24. 如图，已知BD是矩形ABCD的一条对角线，点E在BA的延长线上，且AE＝AD．连接EC，与AD相
交于点F，与BD相交于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）若AF＝AB，解答下列问题：
①判断EC与BD的位置关系，并说明理由；
②连接AG，用等式表示线段AG，EG，DG之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）①EC⊥BD，理由见解析；② ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）①EC⊥BD，证明△AEF≌△ADB（SAS），则∠AEF＝∠ADB，∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝
90°，即可求解；
②方法一：在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP，证明△AEP≌△ADG，得到△PAG为等腰直角
三角形，故可求解；
方法二：过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q，连接AQ，BQ，证明△AEG≌△ADQ，得到
△GAQ为等腰直角三角形，故可求解．
【详解】解：（1）补全的图形，如图1所示：（2）①解：EC⊥BD．
理由如下：由矩形性质知∠DAB＝90°，
∴∠EAF＝90°．
在△AEF与△ADB中，
∴△AEF≌△ADB（SAS）．
∴∠E＝∠ADB．
∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°．
∴EC⊥BD．
②线段AG，EG，DG之间的数量关系： ．
证法一：如图2，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP．
在△AEP与△ADG中，
，
∴△AEP≌△ADG（SAS）．
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG．
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°．
∴△PAG为等腰直角三角形．∴ ．
∴ ．
证法二：如图3，过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点Q，连接AQ，BQ．
在△AEG与△ADQ中，
，
∴△AEG≌△ADQ（ASA）．
∴EG＝DQ，AG＝AQ．
∴△GAQ为等腰直角三角形．
∴ ．
∴ ，即EG﹣DG＝ AG．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25. 定义：在平面直角坐标系 中，点 为图形 上一点，点 为图形 上一点．若存在 ，
则称图形 与图形 关于原点 “平衡”．
（1）如图，已知⊙ 是以 为圆心， 为半径的圆，点 ， ， ．
的
①在点 ， ， 中，与⊙ 关于原点 “平衡” 点是__________；
②点 为直线 上一点，若点 与⊙ 关于原点 “平衡”，求点 的横坐标的取值范围；（2）如图，已知图形 是以原点 为中心，边长为 的正方形．⊙ 的圆心在 轴上，半径为 ．若⊙
与图形 关于原点 “平衡”，请直接写出圆心 的横坐标的取值范围．
【答案】（1）①点 ， ；② 或 ；（2） 或
．
【解析】
【分析】（1）①由 ， ， ，依据勾股定理分别求出 ， ， 的长度，
由新定义得到距离的取值范围，比较大小即可求解；
②由点 可以与⊙ 关于原点 “平衡”，得到 ，又因为点 为直线 上一点，得到直线与直线 的较小的夹角为 ，分两种情况讨论，根据特殊角的三角函数值可以求得点 的横
坐标，根据新定义的意义最后得出点 的横坐标的取值范围；
（2）由图形 是以原点 为中心，边长为 的正方形，得到原点 到正方形的最短距离是 ，最长
距离是 ，即 ，再根据⊙ 的圆心在 轴上，半径为 ，分两种情况来讨论，根据新定
义的意义即可求出圆心 的横坐标的取值范围．
【详解】（1）①由 ， ， ，
可知 ， ， ，
⊙ 是以 为圆心， 为半径的圆，
原点 到⊙ 的最短距离是 ，最长距离是 ，
， ，
点 ， 与⊙ 关于原点 “平衡”．
故答案为： ， ．
② 解：若点 可以与⊙ 关于原点 “平衡”，则 ，
点 为直线 上一点，
直线 与直线 的较小的夹角为 ，
点 在第四象限时，当 时，可求得点 的横坐标为： ，
当 时，可求得点 的横坐标为： ，
点 横坐标的取值范围是： ，
点 在第二象限时，点 横坐标的取值范围与点 在第四象限时的取值范围关于原点对称，
点 横坐标的取值范围是： ，
综上所述，点 横坐标的取值范围是： 或 ．
（2） 图形 是以原点 为中心，边长为 的正方形，
原点 到正方形的最短距离是 ，最长距离是 ，
⊙ 与图形 关于原点 “平衡”，
原点 到⊙ 上一点的距离 ，
⊙ 的圆心在 轴上，半径为 ，
当⊙ 在 轴正半轴时，圆心 的横坐标的取值范围为： ，
当⊙ 在 轴负半轴时，圆心 的横坐标的取值范围为： ，综上所述，圆心 的横坐标的取值范围 或 ．
．
【点睛】本题考查了新定义题型，一次函数的性质，特殊角的三角函数值，圆的性质，点和圆的位置关系，
解题的关键是理解新定义的意义．
