文档内容
2024-2025 学年度上学期 10 月份月考
数学试卷答案
一、单选题
1-8．CABB DCAC
二、多选题
9．ACD 10．AD 11．BD．
三、填空题
12． 13． 14．
四、解答题
15．（1） ，由正弦定理得： ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ；
（2）由题设
因为 为锐角三角形，所以 ， 从而 ，
可得 ，所以 ，则面积的取值范围是 ．
16．（1）由题意，当 时有 ， ，
所以 ，解得： ， ，整理得 ，由此得 ，
所以 ，
整理得 ，由题意知 ，
所以 ，即数列 为等差数列，其中 ，公差 ，
所以 ．
（2）令 ，
则 ，
故 ，
所以 ．
17．（1）函数 ，求导得 ，则 ，而 ，因此曲
线 在 处的切线方程为 ，
即 ，
依题意， ，
所以则 ．
（2）由（1）知函数 ，其定义域为 ，求导得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时，由 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递增；
所以当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（3）由（2）得 ，
要证明 ，即证 ，即证 ，
令 ，求导得 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 ，
即 恒成立，
所以当 时， ．
18．（1）由已知 ，
由正弦定理角化边可得， ．
由余弦定理角化边可得， ，
整理可得， ，即 ．
因为 ，所以 ．（2）因为 为中点，所以 ．
设 ， 的夹角为 ，
则
又 ，
所以 ，
整理可得 ，
解得 或 ．
又 ，所以 ， ，
所以 ，所以 的余弦值为 ．
（3）由（2）可得， ．
由已知可设 ， ，
所以 ， ， ， ．
因为 ，所以 ．
由 可得， ，即 ．
由 ， ， 三点共线，得 ，即 ．所以
．
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 的取值范围为 ．
19．（1）（方法一）因为
，
所以 ，则 ．
（方法二）由题意得 ，
令 ，得 ，
即 ，则 ．
（2）证明：①由题可知 ，
则 ．因为 ，所以 ，
所以数列 中的每一项均为 的零点．
②令 ，则 ， 在 上单调递增，
则 ，即 ．
因为 ，所以
则 ，则 ．
因为 ， ，
所以 ，从而 ．
