文档内容
海淀区第一学期期末学业水平调研
初三数学
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点 的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 在 ABC中， ，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关
△
系是（ ）
A. 相交 B. 相切
.
C 相离 D. 不确定
5. 小明将图 案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度 ，设计出一个外轮廓为正六边形
的图案（如图），则 可以为（ ）.
A 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
6. 把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长
为x m，依题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三
栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A. A，B，C都不在 B. 只有B
C. 只有A，C D. A，B，C
8. 做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598
“正面向上”的频率 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 0.520
下面有3个推断：
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558
次．其中所有合理推断的序号是（ ）A. ② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 已知某函数当 时，y随x的增大而减小，则这个函数解析式可以为________．
10. 在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，
则取出红球的概率是________．
11. 若点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系为： ________ （填“＞”，
“=”或“＜”）．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点 ，点 ．将线段BA绕点B旋转180°得到线段
BC，则点C的坐标为__________．
13. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______________．
14. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧 上一点，若∠P=40°，则∠Q的度数是________．
15. 小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中．为区别口味，他打算制作“** 饼
干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角
为90°（如图）．已知该款圆柱形盒子底面半径为6 cm，则标签长度l应为_______ cm．（π取3.1）16. 给定二元数对（p，q），其中 或1， 或1．三种转换器A，B，C对（p，q）的转换规则如
下：
（1）在图1所示的“A—B—C”组合转换器中，若输入 ，则输出结果为________；
（2）在图2所示的“①—C—②”组合转换器中，若当输入 和 时，输出结果均为0，则该组合
转换器为“____—C—____”（写出一种组合即可）．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每
题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 解方程：
18. 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
19. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点 ．
的
（1）求该抛物线 表达式；
（2）将该抛物线向上平移_______个单位后，所得抛物线与 轴只有一个公共点．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，
连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC=1，求线段BD的长．
21. “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个
问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸
片，我们就可以化圆为方，方法如下：
已知：⊙O（纸片），其半径为 ．
求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．
作法：①如图1，取⊙O的直径 ，作射线 ，过点 作 的垂线 ；
②如图2，以点 为圆心， 为半径画弧交直线 于点 ；
③将纸片⊙O沿着直线 向右无滑动地滚动半周，使点 ， 分别落在对应的 ， 处；
④取 的中点 ，以点 为圆心， 为半径画半圆，交射线 于点 ；为
⑤以 边作正方形 ．
正方形 即为所求．
根据上述作图步骤，完成下列填空：
（1）由①可知，直线 为⊙O的切线，其依据是________________________________．
（2）由②③可知， ， ，则 _____________， ____________（用含 的代数式
表示）．
（3）连接 ，在Rt 中，根据 ，可计算得 _________（用含 的代数式
表示）．由此可得 ．
22. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若 ，且此方程的两个实数根的差为3，求 的值．
23. 如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证： ；
（2）若 ，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
24. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概
率是 ．
（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，
求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
25. 如图，AB为⊙O的直径，弦 于 ，连接 ，过 作 ，交⊙O于点 ，连接
DF，过 作 ，交DF的延长线于点 ．
（1）求证：BG是⊙O的切线；
（2）若 ，DF=4，求FG的长．
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知 ，当 时， 的取值范围是 ，求 ， 的值；
的
（3）在（2） 条件下，是否存在实数 ，当 时， 的取值范围是 ，若
存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．27. 如图，在△ABC中， ， ，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得
到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且 ，连接DE，过点A作
于M．
（1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；
（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得 成立，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图
形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，
则称点P为图形W的“倍点”．
（1）如图1，图形W是半径为1的⊙O．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________；
②在点 （0，2） ， （3，3）， （ ，0）中，⊙O的“倍点”是________；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（ ，1），若点E（ ，3） 是正方形
ABCD的“倍点”，求 的值；
（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写
出满足条件的点T所构成的图形的面积．
