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湖南师大附中 2025 届高三月考试卷（二）
数学
命题人､审题人：高三数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
一､选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1
z =
1. 复数 1+i的虚部是（ ）
1 1
A. 1 B. C. − D. −1
2 2
2. 已知a是单位向量，向量b 满足 a−b =3，则 b 的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 3 D. 1
cosθ
3. 已知角θ的终边在直线y =2x上，则 的值为（ ）
sinθ+cosθ
2 1 2 1
A. − B. − C. D.
3 3 3 3
ex +3−3a,x<0
4. 已知函数 f ( x )= 对任意的x ,x ∈R，且x ≠ x ，总满足以下不等关系：
x2 +a,x≥0 1 2 1 2
f
(
x
)−
f
(
x
)
1 2 >0，则实数a的取值范围为（ ）
x −x
1 2
3 3
A. a≤ B. a≥ C. a≤1 D. a≥1
4 4
5. 如图，圆柱的母线长为4,AB,CD分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB ⊥CD，三棱锥
8
A−BCD的体积为 ，则圆柱的表面积为（ ）
3
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学科网（北京）股份有限公司9
A. 10π B. π C. 4π D. 8π
2
6. 已知抛物线C: y2 =2px ( p >0 ) 的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l与抛物线交于A,B两
点，则2 AF +3 BF 的最小值为（ ）
5
A. 6+ B. 2 6+5 C. 4 6+10 D. 11
2
π π π
7. 设函数 f ( x )=cos ( x+ϕ) ，其中ϕ< .若∀x∈R ，都有 f +x = f −x.则y = f ( x ) 的图
2 4 4
1
象与直线y = x−1的交点个数为（ ）
4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知定义域为R的函数 f ( x ) ,g ( x ) 满足：g ( 0 )≠0, f ( x ) g ( y )− f ( y )⋅g ( x )= f ( x− y ) ，且
g ( x ) g ( y )− f ( x ) f ( y )= g ( x− y ) ，则下列说法正确的是（ ）
A. f
(
0
)=1
( )
B. f x 是偶函数
1
C. 若 f ( 1 )+g ( 1 )= ，则 f ( 2024 )−g ( 2024 )=−22024
2
D. 若g
(
1
)−
f
(
1
)=1，则
f
(
2024
)+g (
2024
)=2
二､多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
1
A. 一个样本的方差s2 = ( x −3 )2 +( x −3 )2 ++( x −3 )2，则这组样本数据的总和等于60
20 1 2 20
B. 若样本数据x ,x ,,x 的标准差为8，则数据2x −1,2x −1,，2x −1的标准差为16
1 2 10 1 2 10
C. 数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23
D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为
9，平均数不变，方差变小
10. 已知函数 f ( x )=ax3 −bx+2，则（ ）
( )
A. f x 的值域为R
( ) ( )
B. f x 图象的对称中心为 0,2
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学科网（北京）股份有限公司C. 当b−3a >0时， f
(
x
)
在区间
(−1,1 )
内单调递减
( )
D. 当ab>0时， f x 有两个极值点
11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为
圆O的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（ ）
A. 函数 f ( x )=sinx+1是圆O:x2 +(y−1)2 =1的一个太极函数
B. 对于圆O:x2 + y2 =1的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数
C. 对于圆O:x2 + y2 =1的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形
D. 若函数 f ( x )=kx3 −kx ( k∈R ) 是圆O:x2 + y2 =1的太极函数，则k∈(−2,2 )
三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 曲线y =2x−lnx在点 ( 1,2 ) 处的切线与抛物线y =ax2 −ax+2相切，则a=__________.
13. 已知椭圆 的左､右焦点分别为F,F ，若P为椭圆C上一点，
2 2 1 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
𝐶𝐶:𝑎𝑎 2 +𝑏𝑏 2 =1(𝑎𝑎>𝑏𝑏 >0) c
PF ⊥ FF ,PFF 的内切圆的半径为 ，则椭圆C的离心率为______.
1 1 2 1 2
3
x
14. 设函数 f ( x )=ax+ ( x>4 )，若a是从1,2,3,4四个数中任取一个，b是从4,8,12,16,20,24六
x−4
个数中任取一个，则 f
(
x
)>b恒成立的概率为__________.
四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在ABC中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知 ( b+c )( sinB−sinC )=( a−c ) sinA.
（1）求B；
3 3
（2）若ABC的面积为 ，且AD=2DC，求BD的最小值.
4
2 3 ( )
16. 已知双曲线E的焦点在x轴上，离心率为 ，点 3, 2 在双曲线E上，点F,F 分别为双曲线的
1 2
3
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学科网（北京）股份有限公司左､右焦点.
（1）求E的方程；
（2）过F 作两条相互垂直的直线l 和l ，与双曲线的右支分别交于A，C两点和B,D两点，求四边形
2 1 2
ABCD面积的最小值.
17. 如图，侧面BCC B 水平放置的正三棱台ABC−ABC ,AB=2AB =4，侧棱长为 2,P为棱AB
1 1 1 1 1 1 1 1 1
上的动点.
（1）求证：AA ⊥平面BCC B ；
1 1 1
5 33
（2）是否存在点P，使得平面APC与平面ABC 的夹角的余弦值为 ？若存在，求出点P；若不
1 1 1
33
存在，请说明理由.
18. 若无穷正项数列 { a } 同时满足下列两个性质：①存在M >0，使得a
