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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题31 与物理化学等学科渗透的数学问题
一、选择题
1.（ 2024深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角 ，则反射光
线与平面镜夹角 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了平行线的性质，根据 ， ，则 ，再结合平行线的性
质，得出同位角相等，即可作答．
【详解】如图：
∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角 ，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
∵光线是平行的，
即 ，
∴ ，
故选：B．
2.（ 2024四川南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时， ，则 的度
数为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，平角的定义求出 的度数，再根据平行线的性质，
即可得出结果．
∵ ，
∴ ，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴ ；
故选C．
3.（ 2024四川达州）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如
图所示）．图中 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得 ，代入数据，即可求解．
依题意，水面与容器底面平行，
∴
∵ ， ，
∴
故选：B．
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4. （2024重庆市A）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线
两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个
图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选： ．
5.（ 2024重庆市A）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分
子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有
6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原
子的个数是（ ）
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
【答案】B
【解析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可．
【详解】解：由图可得，
第1种如图①有4个氢原子，即
第2种如图②有6个氢原子，即
第3种如图③有8个氢原子，即
，
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第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是： ；
故选：B．
6.（ 2024四川内江）如图所示的电路中，当随机闭合开关 、 、 中的两个时，灯泡能发光的概率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6
种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】由电路图可知，当同时闭合开关 和 ， 和 时，灯泡能发光，
画树状图如下：
共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种，
∴灯泡能发光的概率为 ，
故选：A．
7. （2024河南省）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明
显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流
I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．
下列结论中错误的是（ ）
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A. 当 时， B. Q随I的增大而增大
C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【解析】本题考查了函数 的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．
【详解】根据图1知：当 时， ，故选项A正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合
题意；
根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越
多，故选项D正确，但不符合题意；
故选：C．
二、填空题
1.（ 2024四川广元）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质
中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是 秒，也就是十亿分之一
秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为
______秒．
【答案】
【解析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，解题的关键是熟知 ．
根据题意可知，43阿秒 秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可．
【详解】根据题意1阿秒是 秒可知，
43阿秒 秒，
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故答案为： ．
2. （2024湖北省）铁的密度约为 ，铁的质量 与体积 成正比例．一个体积
为 的铁块，它的质量为______ ．
【答案】79
【解析】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量 与体积 成正比例，列式计算即
可求解．
∵铁的质量 与体积 成正比例，
∴m关于V的函数解析式为 ，
当 时， ，
故答案为：79．
3.（ 2024湖南省）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即 （k为常数．
），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________．
【答案】180
【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把 ， 代入 求解即可．
【详解】把 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
故答案为：180．
4. （2024江苏连云港）杠杆平衡时，“阻力 阻力臂 动力 动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为
和 ，动力为 ，动力臂为 ．则动力 关于动力臂 的函数表达式为__________．
【答案】
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【解析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得 ，进而即可求
解，掌握杠杆原理是解题的关键．
由题意可得， ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
5. （2024江苏扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的
方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置） 经小孔 在屏幕（竖直放置）上成像 ．设 ，
．小孔 到 的距离为 ，则小孔 到 的距离为_____ ．
【答案】
【解析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得 ， ，过 作
于点 ， 交 于点 ，利用已知得出 ，进而利用相似三角形的性
质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得： ，
∴ ，
如图，过 作 于点 ， 交 于点 ，
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∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ （ ），
即小孔 到 的距离为 ，
故答案为： ．
6.（ 2024福建省）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航
行方向与风向所在直线的夹角 为 ，帆与航行方向的夹角 为 ，风对帆的作用力
为 ．根据物理知识， 可以分解为两个力 与 ，其中与帆平行的力 不起作用，与帆垂直
的力 仪可以分解为两个力 与 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消； 与航行方向一致，是真
正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：
，则 ______．（单位： ）（参考数据： ）
【答案】128
【解析】此题考查了解直角三角形的应用，求出 ， ，由 得
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到 ，求出 ，求出
在 中，根据 即可求出答案．
【详解】如图，
∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角 为 ，帆与航行方向的夹角 为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
由题意可知， ，
∴ ，
∴
在 中， ，
∴ ，
故答案为：
三、解答题
1.（ 2024吉林省）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（I 单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反
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比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
（2）当电阻R为 时，求此时的电流I．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当 时I的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设这个反比例函数的解析式为 ，
把 代入 中得： ，
解得 ，
∴这个反比例函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：在 中，当 时， ，
∴此时的电流I为 ．
2.（ 2024贵州省）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学
习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与
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水槽内壁 的夹角为 ；
第二步：向水槽注水，水面上升到 的中点E处时，停止注水．（直线 为法线， 为入射光线，
为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N， 在同一平面内，测得 ， ，折射角
．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求 的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据： ， ， ）
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；
（2）利用锐角三角函数求出 长，然后根据 计算即可．
【小问1详解】
解：在 中， ，
∴ ，
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∴ ，
【小问2详解】
解：由题可知 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
3.（ 2024安徽省）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点 处发出，经水面
点 折射到池底点 处．已知 与水平线的夹角 ，点 到水面的距离 m，点
处水深为 ，到池壁的水平距离 ，点 在同一条竖直线上，所有点都在同
一竖直平面内．记入射角为 ，折射角为 ，求 的值（精确到 ，参考数据： ，
， ）．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点 于 ，则
， ，由题意可得， ， ， ，
解 求出 、 ，可求出 ，再由勾股定理可得 ，进而得到 ，即可求解，正确作
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出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点 于 ，则 ， ，由题意可得， ，
， ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 ， ，
∴ ，
∴ ．
4.（2024四川广元） 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角 的正弦值与
折射角 的正弦值的比值 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传
播时，介质对光作用的一种特征．
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（1）若光从真空射入某介质，入射角为 ，折射角为 ，且 ， ，求该介质的折射率；
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，
若光线经真空从矩形 对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知
， ，求截面 的面积．
【答案】（1） ； （2） ．
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，
（1）根据 ，设 ，则 ，利用勾股定理求出 ，进而
可得 ，问题即可得解；
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为 ，根据 ，可得 ，则
有 ，在 中，设 ， ，问题随之得解．
【小问1详解】
∵ ，
∴如图，
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设 ，则 ，由勾股定理得， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴折射率为： ．
【小问2详解】
根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 是矩形，点O是 中点，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
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在 中，设 ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴截面 的面积为： ．
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