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石景山区 2021—2022 学年第一学期初三期末试卷
数学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若 ，则下列比例式正确的是（ ）
A. B. C. D.
的
2. 如图，在 中， ．若 ， ，则 值为（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 向上平移2个单位长度得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的示意图如图所示，下列说法中正确的是（
）
A. B. C. D.5. 在平面直角坐标系xOy中，若函数 的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数
的图象所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 如图，四边形ABCD内接于 ，若四边形ABCO是菱形，则 的度数为（ ）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
7. 正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是（ ）
A. 正比例函数 B. 一次函数 C. 二次函数 D. 反比例函数
8. 在平面直角坐标系xQy中，点 ， ， 在抛物线 上．当 时，
下列说法一定正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如图， ，AD，BC交于点O， ．若 ，则OC的长为______．的
10. 在半径为3 圆中，60°的圆心角所对的劣弧长等于_____．
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，P为函数 图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂
线，垂足分别为M，N．若矩形PMON的面积为3，则m的值为______．
12. 如图， 的高AD，BE相交于点O，写出一个与 相似的三角形，这个三角形可以是
______．
13. 如图，PA，PB是 的切线，切点分别为A，B．若 ， ，则AB的长为______．
14. 有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m．在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm．已知图纸上
的三角形的周长为15cm，则这块草坪的周长为______m．
15. 北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB．已知坡AB的长为30m，坡角 约为37°，则坡AB的铅直高度AH
约为______m．（参考数据： ， ， ．）
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点 ， ， 为
的外接圆．
的
（1）点M 纵坐标为______；
（2）当 最大时，点P的坐标为______．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分；第21-23题，每小题6分；第24-25题，
每小题5分；第26题6分；第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证
明过程．
17. 计算： ．
18. 如图，AE平分 ，D为AE上一点， ．（1）求证： ；
（2）若D为AE中点， ，求CD的长．
19. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 ．
（1）求它的顶点坐标；
（2）求它与x轴的交点坐标．
20. 下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图， ．
求作：直线BD，使得 ．
作法：如图，①分别作线段AC，BC的垂直平分线 ， ，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交 于点D；
④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在 上， ，
∴ ______．
∴ （______）（填推理的依据）．
∴ ．
21. 如图，在 中， ， ， ，求BC的长．22. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … －1 0 1 2 …
y … －3 0 1 0 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）若 ，结合函数图象，直接写出x的取值范围．
23. 如图，AB为 的直径，点C在 上，连接AC，BC，过点O作 于点D，过点C作
的切线交OD的延长线于点E．
（1）求证： ；
的
（2）连接AD．若 ， ，求AD 长．
24. 如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．
一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．
某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度
2.5m．小石建立了平面直角坐标系xOy（1个单位长度表示1m），求得该抛物线的表达式为
．根据以上信息，回答下列问题：（1）画出小石建立的平面直角坐标系；
（2）判断排球能否过球网，并说明理由．
25. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象过点 ．
的
（1）求k 值；
（2）过点 作x轴的垂线，分别交反比例函数 ， 的图象于点M，
N．
①当 时，求MN的长；
②若 ，直接写出m的取值范围．
26. 在平面直角坐标系xOy中， ， 是抛物线 上两点．
（1）将 写成 的形式；
（2）若 ，比较 ， 的大小，并说明理由；
（3）若 ，直接写出m的取值范围．27. 如图，AD是 的高，点B关于直线AC的对称点为E，连接CE，F为线段CE上—点（不与点E
重合）， ．
（1）比较 与 的大小；
（2）用等式表示线段BD，EF的数量关系，并证明.
（3）连接BF，取BF的中点M，连接DM．判断DM与AC的位置关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中， 的半径为2．点P，Q为 外两点，给出如下定义：若 上存在
点M，N，使得P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是 的“成对关联点”．
（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成 的“成对关联点”的
点是______；（2）点 在第一象限，点F与点E关于x轴对称．若点E，F是 的“成对关联点”，直接写出t
的取值范围；
（3）点G在y轴上．若直线 上存在点H，使得点G，H是 的“成对关联点”，直接写出点G的纵
坐标 的取值范围．
