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2023届高考数学三轮冲刺卷：利用导数研究函数的最值
一、选择题（共20小题；）
1. 函数 f (x)=3x−4x3(x∈[0,1]) 的最大值是 ()
1
A. 1 B. C. 0 D. −1
2
2. 若方程 x3−3x+m=0 在 [0,2] 上有解，则实数 m 的取值范围是 ()
A. [−2,2] B. [0,2]
C. [−2,0] D. (−∞,−2)∪(2,+∞)
3. 函数 f (x)=ex−x（e 为自然对数的底数）在区间 [−1,1] 上的最大值是 ()
1
A. 1+ B. 1 C. e+1 D. e−1
e
4. 函数 f (x)=3x−4x3(x∈[0,1]) 的最大值是 ()
1
A. 1 B. C. 0 D. −1
2
5. 函数 f (x)=x3−3x−1，若对于区间 [−3,2] 上的任意 x ，x ，都有 ∣f (x )−f (x )∣≤t，
1 2 1 2
则实数 t 的最小值是 ()
A. 20 B. 18 C. 3 D. 0
6. 已知函数 f (x)=(2x−x2)ex，则 ()
A. f (√2) 是 f (x) 的极大值也是最大值
B. f (√2) 是 f (x) 的极大值但不是最大值
C. f (−√2) 是 f (x) 的极小值也是最小值
D. f (x) 没有最大值也没有最小值
7. 设直线 x=t 与函数 f (x)=x2,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N，则当 ∣MN∣ 达到最
小时 t 的值为 ()
1 √5 √2
A. 1 B. C. D.
2 2 2
8. 函数 f (x)=3x−4x3，(x∈[0,1]) 的最大值是 ()
1
A. B. −1 C. 0 D. 1
2
1 [ π]
9. 函数 f (x)= ex(sinx+cosx) 在区间 0, 上的值域为 ()
2 2
A. [1 , 1 e π 2 ] B. (1 , 1 e π 2 ) C. [ 1,e π 2 ] D. ( 1,e π 2 )
2 2 2 2( π)
10. 已知 f (x)=3sinx−πx，对任意的 x∈ 0, ，给出以下四个结论：
2
① fʹ(x)>0；
② fʹ(x)<0；
③ f (x)>0；
④ f (x)<0．
其中正确的是 ()
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
lnx
11. 函数 y= 的最大值为 ()
x
10
A. e−1 B. e C. e2 D.
3
12. 若函数 f (x)=x3−3x2−9x+k 在区间 [−4,4] 上的最大值为 10，则其最小值为 ()
A. −10 B. −71 C. −15 D. −22
13. 把长为 12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的
最小值是 ()
3√3
A. cm2 B. 4cm2 C. 3√2cm2 D. 2√3cm2
2
14. 函数 f (x)=3x−4x3(x∈[0,1]) 的最大值是 ()
1
A. 1 B. C. 0 D. −1
2
15. 函数 f (x)=xlnx 的最小值是 ()
A. e B. −e C. e−1 D. −e−1
1 ( [1 ])
16. 已知函数 f (x)=x2+m 与函数 g(x)=−ln −3x x∈ ,2 的图象上至少存在一对关于
x 2
x 轴对称的点，则实数 m 的取值范围是 ()
[5 ] [ 5 ]
A. +ln2,2 B. 2−ln2, +ln2
4 4
[5 ]
C. +ln2,2−ln2 D. [2−ln2,2]
4
17. 已知函数 f (x)=x3−mx2+2nx+1，fʹ(x) 是函数 f (x) 的导数，且函数 fʹ(x) 的图象关于直
2
线 x= 对称，若 f (x)≥1 在 [1,π] 上恒成立，则实数 n 的取值范围为 ()
3
( 1] ( 1) [1 )
A. −∞, B. −∞,− C. ,+∞ D. [π,+∞)
2 2 2
1 2
18. 若函数 f (x)= x3+x2− 在区间 (a,a+5) 上存在最小值，则实数 a 的取值范围是 ()
3 3A. [−5,0) B. (−5,0) C. [−3,0) D. (−3,0)
19. f (x)=x3−3x2+2 在区间 [−1,1] 上的最大值是 ()
A. −2 B. 0 C. 2 D. 4
20. 若对任意的正实数 x，不等式 ex≥ax+x2lnx 恒成立，则正整数 a 的最大值为 ()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（共5小题；）
21. y=x−ex 在 R 上的最大值是 ．
22. 如果对于函数 f (x) 定义域内任意的 x，都有 f (x)≥M（M 为常数），称 M 为 f (x) 的下
界，下界 M 中的最大值叫做 f (x) 的下确界．定义在 [1,e] 上的函数 f (x)=2x−1+lnx 的
下确界 M= ．
23. 若函数 f (x)=x3−3ax−a 在 (0,1) 内有最小值，则实数 a 的取值范围为 ．
24. 设直线 x=t 与函数 f (x)=x2，g(x)=lnx 的图象分别交于点 M，N，则当 ∣MN∣ 达到
最小时 t 的值为 ．
25. 已知函数 f (x)=ex+mlnx（m∈R，e 为自然对数的底数），若对任意正数 x ，x ，当
1 2
x >x 时都有 f (x )−f (x )>x −x 成立，则实数 m 的取值范围是 ．
1 2 1 2 2 1
三、解答题（共5小题；）
26. 已知函数 f (x)=(x+a)ex，其中 e 是自然对数的底数，a∈R．
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）当 x∈[0,4] 时，求函数 f (x) 的最小值．
a−x
27. 已知函数 f (x)=lnx+ ，其中 a 为常数，且 a>0．
x
1
（1）若曲线 y=f (x) 在点 (1,f (1)) 处的切线与直线 y= x+1 垂直，求 a 的值；
2
1
（2）若函数 f (x) 在区间 [1,2] 上的最小值为 ，求 a 的值．
2
28. 证明：ex−lnx>2．
a
29. 已知函数 f (x)=lnx+ ．
x
（1）当 a<0 时，求函数 f (x) 的单调区间；
3
（2）若函数 f (x) 在 [1,e] 上的最小值是 ，求 a 的值．
2
30. 已知函数 f (x)=x2+ax+b，g(x)=2x+a(a,b∈R)，且函数 f (x) 与 g(x) 的图象至多有一
个公共点．
（1）证明：当 x≥0 时，f (x)≤(x+b) 2；（2）若不等式 f (a)−f (b)≥L(a2−b2) 对题设条件中的 a，b 总成立，求 L 的最小值．答案
1 1
1. A 【解析】fʹ(x)=3−12x2，令 fʹ(x)=3−12x2>0，解得 − 0，所以 f (x) 在 [0,1] 上单调递减，在 [1,2] 上单调递增，且图
象是连续的．又因为 f (0)=m0，函数 f (x) 单调递增；当 x<−√2 或 x>√2 时，fʹ(x)<0，函数 f (x) 单调递减，所以
f (x) 在 x=√2 处取得极大值，在 x=−√2 处取得极小值，又 f (√2)=2(√2−1)e√2>0，
f (−√2)=2(−√2−1)e−√2<0，当 x→+∞ 时，f (x)→−∞，当 x→−∞ 时，f (x)→0，所以
f (x) 无最小值，有最大值，且 f (√2) 是 f (x) 的极大值，也是最大值．
7. D 【解析】由题可得 ∣MN∣=x2−lnx (x>0)，不妨令 ℎ(x)=x2−lnx，则
1 √2
ℎʹ(x)=2x− ，令 ℎʹ(x)=0 解得 x= ．
x 2
( √2) (√2 )
因为当 x∈ 0, 时，ℎʹ(x)<0，当 x∈ ,+∞ 时，ℎʹ(x)>0，
2 2
√2 √2
所以当 x= 时，∣MN∣ 达到最小，即 t= ．
2 2
8. D 【解析】函数 f (x)=3x−4x3 的导数为 fʹ(x)=3−12x2=3(1−4x2)，
1 1
由 fʹ(x)=0，可得 x= （− 舍去），
2 2
[ 1) (1 )
f (x) 在 0, 递增， ,1 递减，
2 2
1
可得 f (x) 在 x= 处取得极大值，且为最大值 1．
2
1 1
9. A 【解析】fʹ(x)= ex(sinx+cosx)+ ex(cosx−sinx)=excosx，
2 2π
当 0≤x≤ 时，fʹ(x)≥0，
2
[ π]
所以 f (x) 是 0, 上的增函数．
2
所以 f (x) 的最大值在 x=
π
处取得，f
(π)
=
1
e
π
2，
2 2 2
1
f (x) 的最小值在 x=0 处取得，f (0)= ．
2
[1 1 π]
所以函数值域为 , e2 ．
2 2
10. D
【解析】由已知 fʹ(x)=(3sinx−πx)ʹ=3cosx−π，
( π)
因为 x∈ 0, ，
2
所以 cosx∈(0,1)，
所以 fʹ(x)<0，
( π)
所以 f (x) 在 x∈ 0, ，是减函数，
2
所以 f (x)e 时，yʹ<0；
1
当 x0，y =f (e)= ，
极大值 e
在定义域内只有一个极值，
1
所以 y = ．
max e
12. B 【解析】fʹ(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)．
由 fʹ(x)=0，得 x=3 或 x=−1．又 f (−4)=k−76，
f (3)=k−27，
f (−1)=k+5，f (4)=k−20．
由 f (x) =k+5=10，得 k=5，
max
所以 f (x) =k−76=−71．
min
13. D 【解析】设一个三角形的边长为 xcm，则另一个三角形的边长为 (4−x)cm，两个三角形的
面积之和为
√3 √3 √3
S= x2+ (4−x) 2= x2−2√3x+4√3．
4 4 2
令 Sʹ=√3x−2√3=0，则 x=2，所以 S =2√3cm2 ．
min
14. A 【解析】fʹ(x)=3−12x2，
1 1
令 fʹ(x)=0，则 x=− （舍去）或 x= ，
2 2
f (0)=0，f (1)=−1，
(1) 3 1
f = − =1，
2 2 2
所以 f (x) 在 [0,1] 上的最大值为 1．
15. D
【解析】f (x) 的定义域为 (0,+∞)，f (x) 的导数 fʹ(x)=1+lnx．
1 1
令 fʹ(x)>0，解得 x> ；令 fʹ(x)<0，解得 00,
解得 a∈[−3,0)．
19. C
20. B
【解析】当 x=1 时，有 a≤e，所以正整数 a 的可能取值为 1，2．
ex 2
当 a=2 时，不等式为 ex−2x≥x2lnx，即 − −lnx≥0 对任意的 x>0 恒成立．
x2 x
ex 2 (x−2)ex 2 1 (x−2)(ex−x)
记 g(x)= − −lnx，则 gʹ(x)= + − = (x>0)，
x2 x x3 x2 x x3
显然 ex>x，所以当 x∈(0,2) 时，gʹ(x)<0，函数 g(x) 单调递减；
当 x∈(2,+∞)时，gʹ(x)>0，函数 g(x) 单调递增．
1
所以 g(x)≥g(2)= (e2−4−4ln2)>0，所以当 a=2 时，对任意的正实数 x，不等式
4
ex≥ax+x2lnx 恒成立，
所以正整数 a 的最大值为 2．
21. −1
22. 1【解析】根据下确界的定义，满足函数的最小值大于 M，函数 f (x)=2x−1+lnx 在定义 [1,e] 上
单调递增，∴ x=1 时，函数有最小值 f (1)=1，即函数的下确界为 1．
23. (0,1)
【解析】fʹ(x)=3x2−3a，
由于 f (x) 在 (0,1) 内有最小值，故 a>0 且 fʹ(x)=0 的解为 x =√a，x =−√a，同时
1 2
√a∈(0,1)，
所以 00)．
( √2)( √2)
2 t+ t−
所以 1 2t2−1 2 2 ．
yʹ=2t− = =
t t t
√2
当 0 时，yʹ>0．
2
√2
所以 y=∣MN∣=t2−lnt 在 t= 时有最小值．
2
25. [0,+∞)
【解析】依题意得，对于任意的整数 x ，x ，当 x >x 时，都有 f (x )−x >f (x )−x ，
1 2 1 2 1 1 2 2
因此函数 g(x)=f (x)−x 在区间 (0,+∞) 上是增函数，
m
于是当 x>0 时，gʹ(x)=fʹ(x)−1=ex+ −1≥0，即 x(ex−1)≥−m 恒成立．
x
记 ℎ(x)=x(ex−1)，x>0，则有
ℎʹ(x) =(x+1)ex−1
¿ =0(x>0),
ℎ(x) 在区间 (0,+∞) 上是增函数，ℎ(x) 的值域是 (0,+∞)，
因此 −m≤0，m≥0．
故所求实数 m 的取值范围是 [0,+∞)．
26. （1） 因为 f (x)=(x+a)ex，x∈R，
所以 fʹ(x)=(x+a+1)ex．
令 fʹ(x)=0，得 x=−a−1．
当 x 变化时，f (x) 和 fʹ(x) 的变化情况如下：x (−∞,−a−1) −a−1 (−a−1,+∞)
fʹ(x) − 0 +
f (x) ↘ ¿ ¿
故 f (x) 的单调减区间为 (−∞,−a−1)；单调增区间为 (−a−1,+∞)．
（2） 由（1），得 f (x) 的单调减区间为 (−∞,−a−1)；单调增区间为 (−a−1,+∞)．
所以当 −a−1≤0，即 a≥−1 时，f (x) 在 [0,4] 上单调递增，故 f (x) 在 [0,4] 上的最小值为
f (x) =f (0)=a；
min
当 0<−a−1<4，即 −50)，
x x2 x x2 x2
1
因为曲线 y=f (x) 在点 (1,f (1)) 处的切线与直线 y= x+1 垂直，
2
所以 fʹ(1)=−2，即 1−a=−2，解得 a=3．
（2） （ⅰ）当 00 在 (1,2) 上恒成立，这时 f (x) 在 [1,2] 上为增
函数，
∴f (x) =f (1)=a−1≤0，不合题意，舍去．
min
（ⅱ）当 10，f (x) 在 [a,2] 上为增函数．
∴f (x) =f (a)=lna．
min
1
令 lna= ，得 a=√e∈(1,2)，满足题意．
2
（ⅲ）当 a≥2 时，fʹ(x)<0 在 (1,2) 上恒成立，这时 f (x) 在 [1,2] 上为减函数，
a 1
∴f (x) =f (2)=ln2+ −1≥ln2> ，不合题意，舍去．
min 2 2
综上所述，a=√e．
1
28. 设 f (x)=ex−lnx(x>0)，则 fʹ(x)=ex− ，
x
1
令 ℎ(x)=fʹ(x)，则 ℎʹ(x)=ex+ >0，
x2
所以 fʹ(x) 在 (0,+∞) 上是增函数，(1)
又 fʹ =√e−2<0，fʹ(1)=e−1>0，
2
(1 )
所以在 ,1 上存在 x 使 fʹ(x )=0，即 x =−lnx ，
2 0 0 0 0
所以在 (0,x ) 上 f (x) 单调递减，在 (x ,+∞) 上 f (x) 单调递增，
0 0
所以 f (x) 在 x=x 处有极小值，也是最小值，
0
1
所以 f (x )=ex −lnx = +x >2，
0 0 0 x 0
0
故 f (x)>2，即 ex−lnx>2．
a
29. （1） 易得函数 f (x)=lnx+ 的定义域为 (0,+∞)，
x
1 a x−a
fʹ(x)= − = ．
x x2 x2
因为 a<0，x∈(0,+∞)，
所以 fʹ(x)>0．
故函数在其定义域 (0,+∞) 上单调递增．
（2） 当 x∈[1,e] 时，分如下情况讨论：
①当 a<1 时，fʹ(x)>0，则函数 f (x) 在 [1,e] 上单调递增，其最小值为 f (1)=a<1，与函数在
3
[1,e] 上的最小值是 矛盾，舍去；
2
②当 a=1 时，函数 f (x) 在 [1,e] 上单调递增，其最小值为 f (1)=1，同样与已知矛盾，舍去；
③当 10，则 f (x) 在 [1,a)
上单调递减，在 (a,e] 上单调递增，
3
所以，函数 f (x) 的极小值，也是最小值为 f (a)=lna+1，由 lna+1= ，得 a=√e．
2
④当 a=e 时，函数 f (x) 在 [1,e] 上有 fʹ(x)≤0，此时 f (x) 单调递减，其最小值为 f (e)=2，与
已知矛盾，舍去；
a
⑤当 a>e 时，显然函数 f (x) 在 [1,e] 上单调递减，其最小值为 f (e)=1+ >2，与已知矛盾，舍
e
去．
综上所述，a 的值为 √e．
30. （1） 由题意得 f (x)−g(x)=x2+ax+b−2x−a=x2+(a−2)x+b−a≥0 恒成立．
所以 Δ=(a−2) 2−4(b−a)=a2+4−4b≤0，
所以 a2≤4b−4，
所以 0≤4b−4，1≤b．
又 f (x)−(x+b) 2=(a−2b)x+b(1−b)，
又 a2≤4b−4≤b2，
所以 a≤∣a∣≤b≤2b，所以 a−2b≤0，f (0)−b2=b(1−b)≤0，
所以当 x≥0 时，f (x)≤(x+b) 2．
（2） 由（1）得，b≥∣a∣．
f (a)−f (b) 2a2−b2−ab 2a+b
当 b>∣a∣ 时，L≥ = = ，
a2−b2 a2−b2 a+b
a 2a+b 1
令 t= ，则 −1∣a∣ 时，L 的取值集合为 ,+∞ .
2
当 b=∣a∣ 时，由（1）知，a=±2，b=2．
此时 f (b)−f (a)=−8 或 0，b2−a2=0．
从而 f (b)−f (a)≤L(b2−a2) 恒成立．
3
综上所述，L 的最小值为 .
2
