文档内容
石景山区 2022－2023 学年第二学期初二期末试卷
数 学
考生须知：
1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间100分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，
其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．
4.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题
意的选项只有一个．
1．在平面直角坐标系xOy中，点 关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C．
D．
3．解方程 ，下列用配方法进行变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数
试卷第1页，共3页根 D．无法确定
5．下表是甲、乙两名同学八次射击测试成绩，设两组数据的平均数分别为 ， ，
方差分别为 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
6．某工厂由于采用新技术，生产量逐月增加，原来月产量为2000件，两个月后增至
月产量为3000件． 若设月平均增长率为x，则下列所列的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是矩形，点 ， ，将矩
形 绕点 逆时针旋转 ，则旋转后点 的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．小英以300米/分的速度匀速骑车8分钟到达某地，原地停留10分钟后以400米/分
的速度匀速骑回出发地．小英距出发地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：分）
的函数图像可能是（ ）
试卷第2页，共3页A． B．
C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．函数 中，自变量x的取值范围是 ．
10．已知 是关于x的一元二次方程 的一个根，则b的值是 ．
11．根据某班40名学生身高的频数分布直方图（每组不含起点值，含终点值），回答
下列问题：
（1）人数最多的身高范围是 ；
（2）身高大于175cm的学生占全班人数的百分比是 ．
12．请写出一个图象平行于直线 ，且过第一、二、四象限的一次函数的表达式
．
13．已知点A（﹣2，y），B（3，y）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，则y y（填
1 2 1 2
“＞”，“＜”或“＝”）．
14．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点O，M，N分别是 ， 边的中
点，连接 交 于点P，以下说法正确的是 （填写序号即可）．
① ② ③ ④
试卷第3页，共3页15．在平行四边形 中， ， ，过点D作 于点H，连接 ．
若 平分 ， 则 的长是 ．
16．如图，在矩形 中， ， ，点P从点A出发，沿线段 以每秒
1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段 以每秒2个单位长度
的速度向终点A运动． P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为 （单位：秒），
的面积为 ．则 关于 的函数表达式为 ．
三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每
小题6分，第27，28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或
证明过程．
17．解方程： ．
18．一次函数 （ ）的图象经过点 ， ．求一次函数的表达式．
19．已知：如图 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF＝CE． 求
证：BE=DF．
试卷第4页，共3页20．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ，点A关于 轴的对
称点 ．
(1)在平面直角坐标系中作出点C，点P；
(2)顺次连接 ，所得的四边形是 （写出一种特殊四边形，不必证明）．
21．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证
明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在 中，点D，E分别是 ， 边的中点．求证： ，且
．
方法一：证明：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ．
方法二：证明：如图，取 中点 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ．
22．甲、乙两人赛跑时，路程 （单位：米）和时间 （单位：秒）的关系如图所示，
试卷第5页，共3页请你观察图象并回答：
(1)这次赛跑的总路程有 米．
(2)甲、乙两人中， 的速度比较快．
(3)求出发2秒后，甲、乙两人的距离．
23．已知：在矩形 中， 是对角线．求作：菱形 ，使点 分别在边
上．
作法：如图，①分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧在线段 两
侧分别交于点 ；
②作直线 交 于点 ，与 分别交于点 ；
③连接 ．
所以四边形 就是所求的菱形．
根据上面设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接 ．
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线 （填推理根据）．
∴ ．
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
试卷第6页，共3页∴ ．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形 （填推理根据）．
又∵ ，
∴四边形 是菱形 （填推理根据）．
24．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)请判断这个方程根的情况；
(2)若该方程有一个根小于1，求 的取值范围．
25．如图，矩形草地 中， m， m，点 为边 中点，草地内铺
了一条长和宽分别相等直角折线甬路（ ， ），若草地总面积（两部
分阴影之和）为 ，求甬路的宽．
26．平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与函数 的图象交于
点 ．
(1)求 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，
直接写出 的取值范围．
27．如图，正方形 中，点 在 上（与点 不重合），连接 ．将线段
绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，过点 作 ，交 延长线于点 ．
试卷第7页，共3页(1)依题意补全图形；
(2)连接 ，试判断 与 的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系 中，如果点P到原点O的距离为a，点M到点P的距离是
a的k倍（k为正整数），那么称点M为点P的k倍关联点．
(1)当点 的坐标为 时，
①如果点 的2倍关联点M在y轴上，那么点M的坐标是 ；
如果点 的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标是 ；
②如果点 是点 的k倍关联点，且满足 ，那么k的最大值为 ；
(2)如果点 的坐标为 ，且在函数 的图象上存在 的2倍关联点，直接写
出b的取值范围．
试卷第8页，共3页1．A
【分析】直接根据平面直角坐标系中任意一点 ，关于原点的对称点是 ，
即可得到答案．
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点 ，
关于原点的对称点是 ，熟练掌握此知识点是解题的关键．
2．C
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念．如果一个图形绕着某点旋转180°后，能与原来图
形完全重合，则这个图形叫中心对称图形，这点叫对称中心．
3．D
【分析】利用完全平方公式进行配方即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
4．C
【详解】解：∵a=2，b=﹣3，c=5，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×5=﹣31＜0，∴方程没有
实数根．
故选C．
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣
答案第1页，共2页4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜
0，方程没有实数根．
5．B
【分析】首先依据平均数计算公式分别计算出 ， ，即可判断其大小；再依据方差的
计算公式分别计算甲、乙的方差即可作出判断．
【详解】解： ，
，
，
，
， ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平均数与方差，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式．
6．B
【分析】利用两个月后的月产量 原来的月产量 ，即可列出关于
的一元二次方程，此题得解
【详解】解：根据题意得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
7．A
【分析】利用矩形的性质以及旋转变换的性质解决问题即可．
【详解】解：如图：
答案第2页，共2页，
四边形 是矩形，点 ， ，
，
由旋转变换的性质可得： ，
在第二象限，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质，熟练掌握矩形的性质、旋转的性质，是解
题的关键．
8．B
【分析】根据匀速行驶，可得路程随时间匀速增加，根据原地休息，路程不变，根据加速
返回，可得路程随时间逐渐减少，可得答案．
【详解】解：由题意，得：以300米 分的速度匀速骑车8分钟，路程随时间匀速增加；在
原地休息了10分钟，路程不变；以400米 分的速度骑回出发地，路程逐渐减少，且返回
的时间为： （分钟），所以选项B的图象符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象，根据题意判断路程与时间的关系是解题关键，注意休息时
路程不变．
9．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得 ，解不等式即可，熟知根号下需
要大于等于0，是解题的关键．
【详解】解：根据二次根式的意义，有 ，
解得 ，
故自变量x的取值范围是 ，
故答案为： ．
10． ##0.5
答案第3页，共2页【分析】把 代入方程 中得： ，然后进行计算即可解答．
【详解】解：把 代入方程 中得：
，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
11． 165cm至170cm之间（包括170cm） 15%
【分析】（1）根据频数分布直方图即可看出人数最多的身高范围；
（2）用身高大于175cm的学生人数除以全班人数即可．
【详解】解：（1）由图可得：
人数最多的身高范围是：165cm至170cm之间（包括170cm），
故答案为：165cm至170cm之间（包括170cm）；
（2）根据题意得：
身高大于175cm的学生占全班人数的百分比是： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
解答．
12． （答案不唯一）
【分析】设一次函数表达式为： ，由图象平行于直线 可得 ，由图象
经过第一、二、四象限，可得 ，由此即可得到答案．
【详解】解：设一次函数表达式为： ，
图象平行于直线 ，
，
图象经过第一、二、四象限，
，
，
故答案为： （答案不唯一）．
答案第4页，共2页【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数 （ 为常数， ）是一条直
线，当 时，图象经过一、三象限， 随 的增大而增大，当 时，图象经过二、四
象限， 随 的增大而减小，当 时，图象交于 轴的正半轴，当 时，图象过原点，
当 时，图象交于 轴的负半轴．
13．＜
【分析】根据题意易得k=2＞0，则有y随x的增大而增大，再由点A（﹣2，y），B（3，
1
y）在一次函数y＝2x﹣3的图象上可进行求解．
2
【详解】解：由题意得：k=2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵点A（﹣2，y），B（3，y）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，
1 2
∴ ；
故答案为＜．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的
关键．
14． ##
【分①析】③根据③菱①形的性质得到 ，故①正确； ， ，故②错误；根
据菱形的性质得到 ，根据三角形的中位线定理得到 ，根据平行线的性质
得到 ，故③正确；根据等腰三角形的性质即可得到结论.
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，故①正确，②错误；
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵M，N分别是 ， 边的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ 不一定等于 ，故④错误，
故答案为：①③.
答案第5页，共2页【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关
键.
15．
【分析】由平行四边形的性质得 ， ，再证 ，得
，则 ，然后由勾股定理即可得出结论．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌
握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
16．
【分析】根据 ， ， ，得到 ，根据矩形的角是
直角，得到 ．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
∵矩形 中， ，
∴
答案第6页，共2页．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了矩形，三角形面积．解决问题的关键是熟练掌握矩形角的性质和
三角形面积公式．
17． ．
【分析】利用配方法解方程即可．
【详解】解：移项，得
，
∴ ，
∴ ，
两边开平方，得
，
∴ ．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方
程．
18．
【分析】利用待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）∵直线 过点 ， ．
∴
∴
答案第7页，共2页∴一次函数的表达式为 ．
【点睛】此题考查了求一次函数的解析式，正确掌握待定系数法求函数解析式是解题的关
键．
19．见解析
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AD=BC，对边平行可得AD∥BC，再根据两直线
平行，内错角相等可得∠DAF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ADF和△CBE全等，
根据全等三角形对应边相等可得BE=DF．
【详解】∵在▱ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴BE=DF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，理解平行四边形的对
边平行且相等是解答本题的关键．
20．(1)见解析
(2)菱形
【分析】（1）在平面直角坐标系中作出点 ，根据关于 轴的对称点的坐标特征作出点
即可；
（2）顺次连接 ， ， ， ，利用网格，用勾股定理求出 、 、 、 长，再
根据菱形的判定即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，点 ，点 即为所求；
答案第8页，共2页（2）解：顺次连接 ， ， ， ，所得的四边形是菱形，
证明：由勾股定理得：
， ， ， ，
∴ ，
四边形 是菱形．
【点睛】本题考查利用坐标描点，作轴对称图，勾股定理，菱形的判定，关于 轴、 轴
对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握菱形的判定．
21．见解析
【分析】方法一：延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ．证明四边形
是平行四边形．得 ， ，所以 ，从而得到四边形DBCF是
平行四边形．则 ， ． 又由 ，即可得出结论；
方法二：取 中点 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ．先证明
，得 ， ，从而可证得四边形 是平行四边形，
得到 ， ．继而可证得四边形 是平行四边形，从而得出结论．
【详解】解：方法一
证明：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ．
∵点D，E分别是 ， 边的中点，
∴ ， ，
答案第9页，共2页∴四边形 是平行四边形．
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ，且 ．
方法二
证明：如图，取 中点 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ．
∵点D，E分别是 ， 边的中点，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，且 ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四
答案第10页，共2页边形的判定与性质是解题的关键．
22．(1)60
(2)甲
(3)4米
【分析】（1）根据函数图象求解；
（2）根据函数图象求解，；
（3）求出甲和乙的速度，求两人的距离用甲的路程 乙的路程，进而作答．
【详解】（1）解：根据图象，
这次赛跑的总路程有60米；
（2）解：根据图象，甲的倾斜程度比乙的倾斜程度大，
故甲、乙两人中，甲的速度比较快；
（3）解： （米 秒），
（米 秒），
出发2秒后， (米)，
故出发2秒后，甲、乙两人的距离为4米．
【点睛】本题考查函数图象，数形结合；解题的关键是读懂图象并求出速度．
23．(1)见解析
(2)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； ；一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【分析】（1）根据题中步骤作图即可得到答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理，即可得到答
案．
【详解】（1）解：补全图形如图所示：
答案第11页，共2页；
（2）证明：连接 ，
，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵ ，
∴四边形 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
答案第12页，共2页故答案为：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； ；一组对边平
行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，线段垂直平分线的判定与性质，矩形的性质，平行
四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质，矩形
的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，是解题的关键．
24．(1)有两个实数根
(2)
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）求出方程的两根，根据该方程有一个根小于1列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
∵无论 取何值时， ，
∴原方程有两个实数根；
（2）解：∵ ，
； ，
∵该方程有一个根小于1，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练
运用根的判别式．
25．2m
【分析】设甬路的宽为 m，先得出 ，即 ，再据题意列
一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设甬路的宽为 m，
∵矩形 中， ， ，
∴四边形 是正方形，
答案第13页，共2页∵点 为边 中点， m，
∴ ，
∴ ，即 ，
即据题意列方程，得： ．
整理，得 ．
解得 ， （不合题意，舍去）．
答：甬路的宽为2m．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是得出 以及
找到等量关系．
26．(1) ，
(2)
【分析】（1）根据待定系数法求解即可得到答案；
（2）根据数形结合思想方法，列式求解即可．
【详解】（1）解：∵函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∵一次函数 的图象经过 ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：如图：
，
由（1）得，一次函数解析式为： ，
答案第14页，共2页当 时， ，
把 代入 得， ，
解得： ，
观察图象，当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的
值，则 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，两条直线相交或平行问题，采用数形结合
思想是解题的关键．
27．(1)见解析
(2) ，见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明 ，推出 ， ，从而得到 是等腰直角三角形，
即可得到结论．
【详解】（1）解：补全图形，如图所示，
；
（2）解： ，
证明：如图，
答案第15页，共2页，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
是等腰直角三角形，
∴ ．
【点睛】本题考查了作图—旋转变换，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌
握全等三角形的判定与性质，正方形的性质，是解题的关键．
28．(1)① 或 ， 或 ；②5
(2)
【分析】（1）①根据 倍关联点的定义即可求出；
答案第16页，共2页②根据 倍关联点的定义，且 的纵坐标为 ，可知 时， 值最大，列方程求解
即可；
（2）设函数 的图象上点 ，根据2倍关联点的定义列方程得得
，再根据方程的判别式大于等于0，即可求出 的取值范
围．
【详解】（1）当点 的坐标为 时，
①点 的2倍关联点 在 轴上，设 ，根据题意可得 ，
解得 或 ，
或 ，
点 的2倍关联点 在 轴上，设 ，根据题意可得 ，
解得 或 ，
或 ，
故答案为： 或 ； 或 ；
② 的坐标为 且 的纵坐标为 ，
根据题意，可知当 时， 的值最大，
，
解得 ，
故答案为：5；
（2）设在函数 的图象上的点 是 的2倍关联点，
根据题意，得 ，
化简得 ，
答案第17页，共2页，
解得 ．
的取值范围是： ．
【点睛】本题考查了新定义和一次函数图象与系数的关系，理解新定义并灵活运用是解题
的关键．
答案第18页，共2页
