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北京一零一中 2023-2024 学年度第二学期期中练习
初二数学
一、选择题（本大题共8小题，共24分）在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的．
1. 函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A. x＞5 B. x＜5 C. x≥5 D. x≤5
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意得x-5≥0，
所以x≥5，
故选C.
的
2. 在 中， ， ， 对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定 是直角三
角形的是（ ）
A. B.
C. ， ， D. ， ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的判断，分别根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理
的逆定理判断即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
则A不符合题意；
设 ， ， ，根据题意，得
，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
即 ，
所以 是直角三角形．
则B不符合题意；
∵ ，
∴ 是等边三角形．
则C符合题意；
∵ ，
∴ 是直角三角形；
则D不符合题意．
故选：C．
3. 将一次函数 的图象沿y轴向上平移4个单位长度，所得直线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．根据
平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式．
【详解】解： 一次函数 的图象沿y轴向上平移4个单位长度，
所得直线的解析式为 ．
故选A．
4. 在平行四边形 中， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知 与 是对角，即可求出 和 的度数；
再根据 与 是邻角，即可求得 .
【详解】解：如图：
∵四边形 为平行四边形，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
故选D．
5. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了函数的概念，“一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 的每
一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数”，熟悉函数的定
义是解决问题的关键．根据定义，逐一判定是否对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，
即可解决问题．
【详解】解：A：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应， 是 的函数，该选项不符合题意；
B：在x正半轴一段范围，对于x的每一个取值，y有两个值与之对应， 不是 的函数，该选项符合题意；
C：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应， 是 的函数，该选项不符合题意；
D：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应， 是 的函数，该选项不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
6. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点O，E是 的中点，连接 ，若 ，
．则四边形 的周长为（ ）
A. 8 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质以及勾股定理的应用，熟练掌
握相关知识点是解题的关键．利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，利用直角三角形的中位线定理
得出 的长，即可计算出菱形 的周长．
【详解】解： 为菱形， ，对角线 ， 相交于点O，
， ， ， ，
在 中， ，
，
，
设 ，则 ，利用勾股定理得，
，即 ，解得 ， （舍去），
，
E是 的中点，
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学科网（北京）股份有限公司，
四边形 的周长为： ．
故选：C．
7. 能说明命题“若x为无理数，则 也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键．逐一计
算每个选项的平方数，按照无理数定义验证即可解决问题．
【详解】解：A： ，是无理数，不符合题意；
B： ，不是无理数，符合题意；
C： ，是无理数，不符合题意；
D： ，是无理数，不符合题意；
故选：B．
8. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地 米，当人体进入感应器的感应范围
内时，感应门就会自动打开．一个身高 米的学生 正对门，缓慢走到离门 米的地方时（
米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离 等于（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 米 B. 米 C. 2米 D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
如图，作 于 ，则四边形 是矩形， ， ， ，由
勾股定理得， ，计算求解即可．
【详解】解：如图，作 于 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9. 已知点 ， ，在一次函数 的图象上，则 ， 的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式得到y随x增大而减小，再由 即可得
到答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为 ， ，
∴y随x增大而减小，
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学科网（北京）股份有限公司∵知点 ， ，在一次函数 的图象上，且 ，
∴ ，
故答案为： ．
10. 已知x= +1，则代数式x2﹣2x+1的值为____．
【答案】2
【解析】
【分析】利用完全平方公式将所求的代数式进行变形，然后代入求值即可．
【详解】解：原式为：
，
将 代入上式，
原式
故答案为：2．
【点睛】此题考查了完全平方公式的计算，二次根式的性质．利用完全平方公式将所求代数式进行变形是
解答此题的关键．
11. 如图，在平面直角坐标系 中，函数 与 的图象相交于点 ，则关于x
的不等式 的解集是______．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象写出直线 在直线 下方
所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：观察图象可知，当 时，直线 在直线 下方，
故关于x的不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
12. 如图1，将长为 ，宽为 的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图
2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，根据题意可得图2中阴影小正方形的边长为
，再由图2中阴影小正方形的面积为49即可求出答案．
【详解】解：由题意得，图2中阴影小正方形的边长为 ，
∵图2中阴影小正方形的面积为49，
的
∴图2中阴影小正方形 边长为7，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
13. 如图，将有一边重合两张直角三角形纸片 放在数轴上，纸片上的点A表示的数是
，若以点 为圆心， 的长为半径画弧，与数轴交于点 （点 位于点 右侧），则点 表示的数
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学科网（北京）股份有限公司为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理可以求得 和 的长，再根据 和 ，点 表示的数为 ，即可写出点
表示的数．
【详解】解： ， ，
，
，
，
，
点 表示的数是 ，
点 表示的数为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14. 已知平面直角坐标系下，点A、C的坐标为 ， ，点B的坐标为 ．若 的面
积为5，则b的值为______．
【答案】8或
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形，利用横、纵坐标得到线段的长度解题的关键．
根据点B、C的坐标三角形的底，根据点A的坐标可知 边上的高，利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】 点A、C的坐标为 ， ，点B的坐标为 ，
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学科网（北京）股份有限公司的底为 ，高为2，
的面积为5，
，
，
或 ，
故答案为：8或 ．
15. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函
数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位
是时间 的一次函数，如表是小明记录的部分数据，则 时．h的值为______ ．
… 1 2 3 5 …
… 2.4 2.8 3.2 4 …
【答案】3.6
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，掌握待定系数法求一次函数解析
式是解题的关键．设水位h（cm）是时间t（min）的一次函数解析式为 ，根据表格代入数据解
方程组即可求出解析式，将 代入即可求解．
【详解】解：设水位h（cm）是时间t（min）的一次函数解析式为 ，
根据表格得 ，解得 ，
一次函数解析式为 ，
当 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：3.6．
16. 如图，在 中， ， 于点E， 于点F， 、 交于点
H， 、 的延长线交于G，给出下列结论：
① ；②点D是 中点：③ ；④若 平分 ，则 ；
其中一定正确的结论有______．（填序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，①由
证明即可；③先证明 ，从而得到 ，然后
由平行四边形的性质可知 ；④连接 ，证 是等腰直角三角形， ，设
，得出 ，进而得出 ．②无法证明点D
是 中点．
【详解】解： ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
故①正确；
在 和 中，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
正确；
连接 ，如图：
平分 ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设 ，
，
，
，
④正确
∵ 是平行四边形，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ， ，
又 ，
∴三个角对应相等无法证明 全等 ，
∴无法证明 ，
即无法证明点D是 中点，
故②错误，
综上①③④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题：（本大题共10小题，共52分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式 的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．
（1）先根据二次根式的乘除法逐项化简，再合并同类二次根式即可．
（2）先将 转化为 再利用平方差公式，即可求解．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司18. 如图，在平行四边形 中，点E，F对角线 上，且 ，连接 、 、 、 、
求证：四边形 是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，得到 ， ，进而得到 ，即可证明四边形
是平行四边形．
【详解】证明：连接 交 于点O，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
四边形 为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．
19. 人们把 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．设
， ，求下面的值：
（1）直接写出 和 的值： ______， ______；
（2）求 的值．
【答案】（1） ，1．
（2）1．
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算和异分母分式的加法运算．
（1）分别把 ， 代入到 和 进行计算即可；
（2）先进行异分母分式的加法运算，再将 和 的值代入即可．
【小问1详解】
解：由已知，
，
，
故答案为： ，1．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解： ．
20. 如图，已知网格中有一个 ，顶点A、B、C、D都在格点上，要求仅利用已有的格点和无刻度
直尺作图（注意：不能用圆规），找出格点P（一个即可），使 平分 ．小明和小天分别采用了
不同的方法：
小明：在 边上找到格点P，连接 ，可知 平分 ．
小天：在 边上找到某个格点E，连接 ，发现线段 上存在格点P，使 平分 ．
请根据两人的思路，分别在图1和图2中完成小明和小天的图形（标出两人所说的点，画出相应的图形）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质，根据两人的思路进行作图求解即
可.
【详解】解：如图1和图2所示，即为所求；
图1中易证明 ，则 ，再由平行四边形的性质结合平行线的性质可得
，则 ，则点P即为所求；
图2中，易证明 ，点P为 的中点，则由三线合一定理可得 平分 ．
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学科网（北京）股份有限公司21. 如图．在 中，点D、E、F分别是边 、 、 的中点，且 ．求证：四边形
为矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线 的性质、矩形的判定、等腰三角形的性质以及三角形的内角和．先
根据中位线的性质得到 ， 得到四边形 为平行四边形，再利用等腰三角形的性
质和三角形内角和证明 ，则求证可证．
【详解】证明：∵点D、E、F分别是边 、 、 的中点，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∵F为 中点， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
则 ，
即 ，
∴四边形 为矩形．
22. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质
的过程．小玉同学根据学习函数的经验，对函数 进行了探究．下面是小玉的探究过程，请补
充完整：
（1）函数 的自变量取值范围是全体实数；
（2）绘制函数图象
①列表：下表是x与 的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
… 5 4 3 b 3 4 5 …
其中， ______；
②描点、连线：在同一平面直角坐标系 中，描出上表中各组数值所对应的点 ，并画出函数
的图象；
（3）结合函数图象，探究函数性质
①函数 图象上的最低点坐标是______；
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学科网（北京）股份有限公司②的数 图象关于直线 ______对称；
（4）已知函数 图象和函数 的图象无交点，直接写出m的取值范围是______．
【答案】（1）原说法正确，理由见详解
（2）①2，②见详解 （3）① ，②1．
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了函数的图像和性质．
（1）根据对于任意x， 是否有意义回答即可．
（2）①把 代入函数即可求出b的值． ②描点画出函数图像即可．
（3）①根据函数图像即可得出答案，②根据函数图像即可得出答案，
（4）根据 可得出当 时， 即可求出m的取值范围．
【小问1详解】
解：对于任意x， 均有意义上．
∴函数 的自变量取值范围是全体实数
【小问2详解】
①当 时， ，
∴ ，
故答案为：2．
② 的图象如下：
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学科网（北京）股份有限公司【小问3详解】
①函数 图象上的最低点坐标是 ，
故答案为：
②函数 图象关于直线 对称，
故答案为：1．
【小问4详解】
∵ ，且当 时， ，
∴当 时， ，
即 ，
解得： ，
故答案为： ．
23. 一次函数 的图像与 轴交于点 ，且经过点 ．
（1）当 时，求一次函数的解析式及点 的坐标；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出
的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）y= x+ ，点A的坐标为(-4，0)
（2）
【解析】
【分析】（1）当m=2时，把点C的坐标代入y=kx+4k(k≠0)，即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求
出点A的坐标即可；
（2）根据图像得到不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：∵m=2，
∴将点C(2，2)代入y=kx+4k，
解得k= ；
∴一次函数表达式为y= x+ ，
当y=0时， x+ =0，
解得x=-4
∵一次函数y= x+ 的图像与x轴交于点A，
∴点A的坐标为(-4，0)．
【小问2详解】
解：如图，y=kx+4k (k≠0)过定点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵当 时， ，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数y=kx+4k (k≠0)的
值，
∴ ， ，
解得k≤− ．
∴k≤− ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键．
24. 如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为x轴上的点（在点A右
侧）， 为 的垂直平分线，垂足为点E，且 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）连接 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练
掌握菱形的判定与性质是解题的关键；
（1）根据 为 的垂直平分线，得E为 中点， ，根据 ，
再证 ，得 ，判定四边形 是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四
边形是菱形，即可得出结论；
（2）根据一次函数与x、y轴交点得出 ， ，再根据勾股定理求出 ，根据菱形的性质求出 ，
再次利用勾股定理求出 ，依据直角三角形的性质定理即可得出 ．
【小问1详解】
为 的垂直平分线，
， ，
，
，
在 和 中
，
，
，
四边形 是平行四边形，
为 的垂直平分线，
四边形 是菱形；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
点A坐标为 ，点B坐标为 ，
， ，
在 中
，
由（1）得：四边形 是菱形，
，E为 中点，
，
在 中
，
E为 中点，
连接 ，
．
25. 已知，矩形 ， ，对角线 、 交于点O， ，点M在射线 上，满
足 ，作 于E， 的延长线交 于F
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，点M在线段 上
①依题意补全图形，并直接写出 ______（用含 的式子表示）
②连接 ，请用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
（2）当 时，设 ， ，请直接写出线段 的长（用含m、n的式子表示）
【答案】（1）①画图见解析， ；② ，证明见解析
（2） 或 或
【解析】
【分析】（1）①根据题意先补全图形，由矩形的性质得到 ，再根据同角的余角相等得到
；②如图所示，延长 交 于N，设 交 于G，由矩形的性质可得
， ，先证明 ，再证明 ，
得到 ，则 ；再证明 ，得到
，可得 ；证明 ，得到 ，即可推出
；
（2）分当点M在 上，且 时，当点M在 上，且 时，当点M在线段 延长
线上时，三种情况画出对应的图形讨论求解即可．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：①补全图形如下：
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
② ，证明如下：
如图所示，延长 交 于N，设 交 于G，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
【小问2详解】
解：如图所示，当点M在 上，且 时，
取线段 的中点N，连接 ，则 是 的中位线，
∴ ， ；
由矩形的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
第27页/共38页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ；
如图所示，当点M在 上，且 时，
取线段 的中点N，连接 ，则 是 的中位线，
∴ ， ；
由矩形的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ；
第28页/共38页
学科网（北京）股份有限公司如图所示，当点M在线段 延长线上时，延长 交于N，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的长为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质，三角形中位
线定理，平行四边形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司26. 在平面直角坐标系 中，对于点 和直线 ．作点 关于 的对称点 ，点 是直线 上一点，
作线段 满足 且 ，如果线段 与直线 有交点，则称点 是点 关于直
线 和点 的“垂对点”．如下图所示，点 是点 关于直线 和点 的“垂对点”．
（1）如图1，已知点 ，
若点 ，则点 关于 轴和点 的“垂对点”的坐标为______；
若点 ，求点 关于 轴和点 的“垂对点” 的坐标；
（2）若点 、点 是直线 上的点，点 ，且满足点 是点 关于 轴和点 的
“垂对点”，直接写出点 的坐标______；
（3）已知点 ， ， ， ，其中 ．点 在四边形 的边上，
直线 ，若四边形 的边上存在点 是点 关于直线 和点 的“垂对点”，请直接写出
第30页/共38页
学科网（北京）股份有限公司的取值范围（用含 的式子表示）______．
【答案】（1）① ；②
（2） 点的坐标为： 或
（3）
【解析】
【分析】（1）①根据“垂对点”定义，结合坐标系，即可求解；
②点 ，作 关于 轴的对称点 ，过点 作 轴，过点 作 的
垂线段，垂足分别为 ，进而根据“垂对点”定义，结合坐标系，证明 ，得
出 的坐标为 ，即可求解；
（2）当 在 轴上方时，过点 作 轴，过点 作 的垂线段，垂足分别为 ，同
（1）可得 ，得出 ，根据 在 上，代入即可求解，
当 在 轴下方时，同法可求；
（3）当 时，设正方形 的中心为 ，得出 ， ，将 绕点 逆时针
旋转 得到 ， 与 交于点 ，证明四边形 是正方形，得出 是等腰直角三角
形，确定点 的轨迹，进而根据点 与点 重合时为临界点，连接 ，进而得出 ，结合图形可
得当 时，存在点 是点 关于直线 和点 的“垂对点”，根据对称性即可得出 ．
【小问1详解】
解：①如图所示，点 ，则点 关于 轴和点 的“垂对点”的坐标为
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学科网（北京）股份有限公司如图所示，点 ，作 关于 轴的对称点 ，过点 作 轴，过点
作 的垂线段，垂足分别为 ，
根据新定义可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的坐标为 ，
第32页/共38页
学科网（北京）股份有限公司∴点 关于 轴和点 的“垂对点” 的坐标为
【小问2详解】
解：如图所示，当 在 轴上方时，过点 作 轴，过点 作 的垂线段，垂足分别为
，
同（1）可得 ，
∴
∵点 、点 是直线 上的点，
设 ，则 ，
∵点 ，
∴
∴ ，即
又∵ 在 上，
∴ ，
第33页/共38页
学科网（北京）股份有限公司解得：
∴ ；
当 在 轴下方时，如图所示，
∵点 、点 是直线 上的点，
设 ，则 ，
∵点 ，
∴
∴ ， ，
∴ ，即
又∵ 在 上，
∴ ，
解得：
∴
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学科网（北京）股份有限公司综上所述， 点的坐标为： 或
【小问3详解】
解：如图所示，当 时，
设正方形 的中心为 ，
∵点 ， ， ， ，其中 ．
∴ 即 ，
∵ 关于直线直线 的对称点为 ，则
∴ ，
∴ ，
设直线 与坐标轴的交点分别为
则 ，
∴ ，则 是等腰直角三角形，则
∵ 在直线 上，设 绕点 逆时针旋转 （根据新定义， 与直线 有交点）得到 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 是等腰直角三角形，
∵点 是点 关于直线 和点 的“垂对点”，
∴ 是等腰直角三角形，
设 与 的交点为 ，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ， 与 交于点 ，如图所示，
∴
∵
∴ ，
∴四边形 是矩形
又∵
∴四边形 是正方形，
∴
∵
设 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为点 ，
则 ， ， 是等腰直角三角形，
当 在正方形 的边上运动时， 在正方形 上运动，
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学科网（北京）股份有限公司当点 在 上运动时， 在直线 上运动，
∴当 点与正方形 有交点时，存在点 是点 关于直线 和点 的“垂对点”，
即点 与点 重合时为临界点，连接 ，如图所示，
∵四边形 是正方形，又
∴ 轴，
∵ 是等腰直角三角形，又 ， ，则 的纵坐标之差为 ，
∴ ， ,
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴
∴当 时，存在点 是点 关于直线 和点 的“垂对点”，
根据对称性可得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴交点问题，等腰直角三角形的性质与判定，正方形的
性质，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握一线三等角证明全等三角三角形确定点的坐标
是解题的关键．
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