文档内容
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上
填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.若函数 在区间 内可导，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，角 以 轴的非负半轴为始边，终边过点 ，则 等于（
）
A. B. C. D.
4.在 中，若 ，则 为（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
5.设 ， ， ，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数 在 上单调递增，则（ ）A. B. C. D.
7.某校高二年级有80名同学参加2024年全国高中数学联赛，参赛的男生有45人，女生有35人.根据统计
分析，男生成绩的平均数为 ，方差为 ，女生成绩的平均数为 ，方差为 ，参赛选手总体成绩的方
差为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 相交于A，B两点，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知等差数列 和等比数列 的前 项和分别为 .和 ，且 ，则下列正确的是
（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数 ，则下列正确的是（ ）
A. 的图象关于点 对称 B. 的定义域为
C. 有两个零点 D.存在等差数列 ，满足
11.已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A.若 ， ，且 ，则B.存在 ，使得 的图象左移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
C.当 时，函数 恰有三个零点 ， ， ，则
的值是
D.若 在 上恰有2个极大值点和1个极小值点，则 的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知命题 ：“ ， ”为真命题，则 的取值范围是______.
13.如图，已知 为双曲线 右支上一点，过 分别作双曲线 的两条渐近线的平行线，与
两条渐近线分别交于点 ， ，则四边形OAPB的面积为______.
14.已知 ， ，且 ， ，则 的值为______.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知函数 .
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调区间.
16.（本小题满分15分）
如图，已知正四棱锥 的底面是边长为 的正方形，侧棱长都是2，过点B，D的平面 满足.
（1）作出平面 截该正四棱锥所得的截面，要求写出作法并证明 ；
（2）求平面 与底面ABCD所成的锐二面角的大小.
17.（本小题满分15分）
已知函数 ，若存在实数 ， ，使得对于定义域内的任意实数 ，均有
成立，则称函数 为“可平衡”函数；有序数对 称为函数
的“平衡”数对.
（1）若 ，判断 是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（2）已知 为函数 的“平衡”数对，求 取最小值时 的值.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆 过点 ，且离心率 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若点F为椭圆E的右焦点，过F作两条互相垂直的直线，且分别与椭圆E相交得到弦AB，CD.设弦
AB，CD的中点分别为M，N.证明：直线MN必过定点.
19.（本小题满分17分）
某校组织了投篮活动帮助高三学生缓解压力，该活动的规则如下：
①每个投篮人一次投一球，连续投多次；
②当投中2次时，这个投篮人的投篮活动结束.
已知某同学一次投篮命中率为 ，每次投篮之间相互独立.记该同学投篮次数为随机变量 .
（1）求该同学投篮次数为4次时结束比赛的概率；
（2）求该同学投篮次数 （不超过 ）的分布列；
（3）在（2）的前提下，若 ，求 的最小值.贵阳第一中学 2025 届高考适应性月考卷（三）
数学评分细则
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C D A C D A
【解析】
1.由题意得 ， ，所以 ，即 ，
故选B.
2. ，故选D.
3.由已知得 ，则 ，故选C.
4.若 ，则 或 ， 为等腰三角形或直角三角形，故选D.
5.
， ，
，因为函数 在 上单调递增，所以 ，故选A.
6.因为 在 上单调递增，所以 解得 所以 ，故选C.
7.设样本总体均值为 ，分层方差与整体方差关系： ，
所以 ，故选D.
8.过 ， 分别作准线的垂线交于 ， ，延长AB交准线于 ，记准线与 轴的交点为 .由图可知：， ，则
化简得： ，所以
，当且仅当 时取等，故选A.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 AC ACD BCD
【解析】
9.因为等差数列 的前 项和 ；等比数列 的前 项和
且 ，所以等比数列 的公比 ，即 .不妨设
， ， 是不为0的常数，则 ， ，所以 ，
，故选AC.
10.对于A，因为 ，所以 的图象关于点 对称，
A正确；对于B，由题知 的定义域为 ，B错误；对于C，令 ，则 ，如
图1，作函数 与 的图象知有两个交点，所以 有两个零点，C正确；对于D，当
时满足题意，D正确，故选ACD.11.因为 ，所以周期 ，对于A，由条件知，周
期为 ，所以 ，故A错误；对于B，函数图象左移 个单位长度后得到的函数为
，其图象关于原点对称，则 ，解得 ，
，又 ，所以 ，B正确；对于C，函数 ，令
， ，可得： ， . ， 令 ，可得一条对称轴方
程为 ， 令 ，可得一条对称轴方程为 ，函数
恰有三个零点，可知 ， 关于其中一条对称轴是对称的，即 ， ， 关于其中
一条对称轴是对称的，即 ，那么 正确；对于D，令
，由条件得 ，解得 ，故D正确，故选
BCD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14答案 2
【解析】
12.由题知， ， 恒成立.当 时，满足题意；当 时，二次函数
开口向下，不满足题意；当 时， 即可，解得 .综上，
.
13.由题意得两条渐近线的方程分别为 ， .因为 ， ，且 ，所
以四边形OAPB为矩形.设 ，则 ， ，所以
.因为 ，所以 .
14. ，且 ，
.又 ， ， ， ，
. ，
.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
解：（1）当 时， ， ，……（2分）
故 .又 ，……（4分）
所以所求切线方程为： ，即 .……（6分）
（2）当 时， .……（8分）
令 （舍负），……（10分）
则
+ 0 -
极大值
的增区间为 ，减区间为 .……（13分）
16.（本小题满分15分）
（1）证明：如图，连接AC交BD于 ，取线段SC的中点 ，取线段EC的中点 ，连接AE，OF.
……（3分）
在正方形ABCD中， ，
又 .……（5分）
平面ABCD于 .
又 ， 平面 .……（7分）
又 ，
平面BDF，故平面BDF即为所求平面 .……（9分）（2）解：建系如图， ， ，
由（1）可知 ， 分别为平面 ，平面ABCD的法向量.……（11分）
设平面 与底面ABCD所成的锐二面角为 ，
则 ， ，（14分）
故 .……（15分）
17.（本小题满分15分）
解：（1）若 ，由题意 对于定义域内的任意实数 成立，
即 对于定义域内的任意实数 成立，……（2分）
即 对任意的实数 均成立，故 ，……（5
分）
故存在 ，使得 为“可平衡”函数.……（6分）
（2）假设存在实数 ， ，使得对于定义域内的任意实数 ，均有
成立，
则 ，
.（9分）
为函数 的“平衡”数对，.……（11分）
令 ，
在 上单调递减，……（13分）
故当 ，即 时， 取最小值.……（15分）
18.（本小题满分17分）
解：（1）依题意， ，且 ，所以 ， .……（3分）
又椭圆E：过点 ，所以 ，
所以椭圆的方程为 .……（5分）
（2）当直线AB不垂直于坐标轴时，设直线AB的方程为 ， ， ，
由 ，得直线CD的方程为 ，……（6分）
由 消去 得： ，……（8分）
则 ， ，故 ，
于是 ，由 代替 ，得 ，……（10分）
当 ，即 时，直线 ，过点 ；……（12分）
当 ，即 时，直线MN的斜率为 ，……（14分）直线 ，
令 ， ，
因此直线MN恒过点 .……（16分）
当直线AB，CD之一垂直于 轴，另一条必垂直于 轴，直线MN为 轴，过点 ，
所以直线MN恒过点 .……（17分）
19.（本小题满分17分）
解：（1）根据题意，该同学投篮次数为4次时结束比赛，即投篮的前三次中只有一次投中，第四次必定投
中，……（2分）
所以投篮次数为4次时结束比赛的概率为 .（4分）
（2）依题意，随机变量 的分布列如下表，
2 3 4 …
…
……（9分）
（3）由（2）得： ，
……（11分）
化简得 ，
即 .
记 ①，
则 ②，由①-②，可得 ，
即 ，解得 ，
由此可得， ，即 .……（14分）
设 ，
因为 ，可得数列 是递减数列.……（16分）
又 ， ，
所以整数n的最小值为4.……（17分）
