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北京三中 2021－2022 学年上学期初中七年级期中考试数学试卷
一、选择题（本题共20分，每小题2分）
1. 2的相反数是（ ）
A. 2 B. －2 C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2. 5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示
1300000是（ ）
A. 13×105 B. 1.3×105 C. 1.3×106 D. 1.3×107
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： ．
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．
确定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．
3. 下列各数为负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】逐一计算即可得出答案．
【详解】A. ，为正数，故不符合题意；B. ，为负数，故符合题意；
C. ，为正数，故不符合题意；
D. ，为正数，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查负数，乘方的运算，绝对值的含义，准确的计算是关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】合并同类项是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字
母的指数不变，据此判断即可．
【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B、3a和b不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
C、 与 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、 ，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．
5. 若单项式﹣2x6y与5x2myn是同类项，则（ ）
A. m＝2，n＝1 B. m＝3，n＝1 C. m＝3，n＝0 D. m＝1，n＝3
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类项的定义“含有的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”即可求得答案．
【详解】解：因为﹣2x6y与5x2myn是同类项，
所以2m＝6，n＝1，
解得m＝3，n＝1，故选：B．
【点睛】本题考查同类项，掌握“含有的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”是解决问题的
关键．
6. 下列各式中去括号正确的是（ ）
A. ﹣（﹣a﹣b）＝a﹣b
B. a2+2（a﹣2b）＝a2+2a﹣2b
C. 5x﹣（x﹣1）＝5x﹣x+1
D. 3x2﹣ （x2﹣y2）＝3x2﹣ x2﹣ y2
【答案】C
【解析】
【分析】根据各个选项中的式子，进行变形，即可判断
【详解】﹣（﹣a﹣b）＝a+b，故选项A错误；
a2+2（a﹣2b）＝a2+2a﹣4b，故选项B错误；
5x﹣（x﹣1）＝5x﹣x+1，故选项C正确；
3x2﹣ （x2﹣y2）＝3x2﹣ x2+ y2，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了去括号与添括号，解题关键是明确去括号与添括号法则．
7. 若x，y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，则xy的值为（ ）
A. 9 B. 6 C. ﹣5 D. ﹣6
【答案】D
【解析】
【分析】根据非负数的意义，求出x、y的值，再代入计算即可．
【详解】∵|x﹣2|+（y+3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
解得：x＝2，y＝﹣3，
∴xy＝2×（﹣3）＝﹣6，
故选：D．
的
【点睛】本题考查非负数性质及有理数乘法运算，两个非负数 和为0时，必须满足其中的每一项都
等于0．根据这个结论可以求解这类题目，熟练掌握非负数性质及有理数乘法法则是解题关键．8. 下面说法正确的是（ ）
A. ﹣2x是单项式 B. 的系数是3
C. 2ab2的次数是2 D. x2+2xy是四次多项式
【答案】A
【解析】
【分析】根据单项式与多项式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、﹣2x是单项式，正确，符合题意；
B、 的系数是 ，故错误，不符合题意；
C、2ab2的次数是1+2＝3，故错误，不符合题意；
D、x2+2xy是二次多项式，故错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式与多项式的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
9. 若a、b表示有理数，且a>0，b＜0，a＋b＜0，则下列各式正确的( )
A. －b＜－a＜b＜a B. －a＜b＜a＜－b
C. b＜－a＜－b＜a D. b＜－a＜a＜－b
【答案】D
【解析】
【分析】先根据a＞0，b＜0，a+b＜0得出|b|＞a，进而可得出结论．
【详解】解：∵a＞0，b＜0，a+b＜0，
∴|b|＞a，
∴b＜－a＜a＜－b．
故选：D．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
的
10. 如图，表中给出 是某月的月历，任意选取“ ”型框中的 个数（如阴影部分所示）．请你运
用所学的数学知识来研究，则这 个数的和不可能是（ ）．A. 63 B. 70 C. 96 D. 105
【答案】C
【解析】
【分析】设“ ”型框中的正中间的数为 ，则其它6个数分别为 ，
可得这 个数的和为 ，又由 ，可得 ， 不能取11，12，18，19，且为
正整数，再逐项判断，即可求解．
【详解】解：设“ ”型框中的正中间的数为 ，则其它6个数分别为
，
∴这 个数的和为 ，
根据题意得： ，
∴ ， 不能取11，12，18，19，且为正整数，
A、 ，解得： ，故本选项不符合题意；
B、 ，解得： ，故本选项不符合题意；
C、 ，解得： ，故本选项符合题意；
D、 ，解得： ，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得到这 个数的和为 是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11. 在一次数学智力大比拼的赛中功平均分为90分，小刚得了85分，记 分，小明得了92分，可记作______．
【答案】 分
【解析】
【分析】根据题意用实际得分减去平均分即可得出结果．
【详解】由题可知： ，
∴ ，
故答案为： 分．
【点睛】本题考查正负数的实际应用，以及有理数的减法运算，理解它们代表的实际意义是解题关键．
12. 用四舍五入法取近似数，则7.895精确到百分位是_____．
【答案】7.90
【解析】
【分析】根据7.895精确到百分位，而百分位的下一位满5，即可求解．
【详解】解：7.895精确到百分位是7.90．
故答案为：7.90
【点睛】本题主要考查运用“四舍五入”法求一个数的近以数，解题的关键是要看清精确到哪一位，就根
据它的下一位上数是否满5，再进行四舍五入．
13. 比较大小： _____ （填“＞”或“＜”）
【答案】＞
【解析】
【分析】根据两有理数的大小比较法则比较即可．
【详解】解：|﹣ |＝ ＝ ，|﹣ |＝ ＝ ，
∴﹣ ＞﹣ ．
为
故答案 ：＞．
【点睛】本题考查了两负数的大小比较，①先求出每个数的绝对值，②根据绝对值大的反而小比较即可．
14. 数轴上，与表示-3的点的距离为4的点表示的数是___________．
【答案】−7或1##1或-7
【解析】【分析】设该点表示的数为x，根据两点间的距离公式即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，
解之即可得出结论．
【详解】解：设该点表示的数为x，
根据题意得：|−3−x|＝4，
解得：x＝−7或x＝1．
故答案为：−7或1．
【点睛】本题考查了数轴、两点之间的距离公式以及解一元一次方程，根据两点间的距离公式列出关于x
的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．
15. 已知代数式 的值为 ，则 的值为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据已知得出3x2-4x=9，再将原式变形得出答案．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：12．
16. 有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，化简|1﹣a|﹣|a|的结果是_____．
【答案】-1
【解析】
【分析】由题意可得a＞1，利用绝对值化简可求解．
【
详解】解：由题意可得：a＞1，
∴|1﹣a|﹣|a|＝a﹣1﹣a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查绝对值的化简，利用数轴比较数的大小从而正确化简计算是解题关键．
17. 已知一个长为 ，宽为 的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，按图2
的方式拼接，则阴影部分正方形的边长是_______. ( 用含 的代数式表示)【答案】
【解析】
【分析】阴影部分的正方形的边长=小矩形的长-小矩形的宽；
【详解】解：阴影部分的正方形的边长可表示为：3a-a=2a；
故答案为：2a
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减的法则是解题的关键
18. 图纸上一个零件的标注为 表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可
以是29.98mm，最大可以是________mm，现有另一零件的标注为 其零件直径的标准尺寸有
些模糊，已知该零件的七个合格产品，直径尺寸分别为73.1mm，72.7mm，72.8mm，73.2mm，72.9mm，
73.3mm，72.6mm，则该零件的标准尺寸可能是_____mm（写出一个满足条件的尺寸，结果保留一位小数）．
【答案】 ①. 30.03 ②. 72.9（答案不唯一）
【解析】
【分析】审清题意，明确正数和负数表示的意义，根据题意作答．
【详解】由题意得：这个零件的直径尺寸超过标准尺寸时记为正，低于标准尺寸时记为负，所以最大尺寸
为30＋0.03＝30.03mm；
给出的七个合格产品尺寸最大为73.3mm，最小尺寸为72.6mm，所以标准尺寸在73.3−0.4＝72.9mm和72.6
＋0.6＝73.2mm之间．
故答案为：30.03mm；72.9（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了正负数的意义，解题关键在于仔细审题，找出符合条件的区间，并取合适的值．
三、解答题（本题共64分，19－20每题4分，21题24分，22题8分，23－26题每题6分）．
19. 在数轴上表示下列各数：0，2，﹣1.5， ，并按从小到大的顺序用“＜”号把这些数连接起来．
【答案】数轴见解析，
【解析】【分析】先将各数表示在数轴上，再依据数轴上右边的数大于左边的数进行判断即可．
【详解】解：在数轴上表示下列各数如下：
故 ．
【点睛】本题主要考查的是比较有理数的大小，熟练掌握比较有理数大小的方法是解题的关键．
20. 在计算：“10﹣3 ”时，甲同学的做法如下：
10﹣3 ﹣
＝10﹣（﹣3 ﹣ ）①
＝10+（﹣3）②
＝7③
在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤 ．（写出错误所在行的序号）
这一步依据的运算法则应当：同号两数相加， ．请改正甲同学的计算过程．
【答案】①；取相同符号，并把绝对值相加；计算过程见解析
【解析】
【分析】按照有理数的加减运算法则，连减去两个有理数，相当于加上这两个数的相反数的和．
【详解】在上面的甲同学的计算过程中，开始出错的步骤是①，
这一步依据的运算法则应当：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加．
10﹣3
＝10﹣
＝10﹣4
＝6．
故答案为：①；取相同符号，并把绝对值相加．
【点睛】本题考查有理数加减运算，添括号时，正负号的处理是关键．
21. 计算：（1）
（2）
（3）（－ ）×（－8）＋（－6）2
（4）|－5＋8|＋24÷（－3）
（5）
（6）
【答案】（1）-20；（2）-1；（3）40；（4）-5；（5） ；（6）11
【解析】
【详解】解：（1） ．
＝－20＋2＋3－5
＝－20；
（2） ．
；
（3）（－ ）×（－8）＋（－6）2
＝4＋36
＝40；
（4）|－5＋8|＋24÷（－3）
＝3－8
＝-5；
（5） ．；
（6）
＝11 ．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
22. 化简：（1）
（2）
【答案】（1）a2−2ab（2）
【解析】
【分析】（1）直接合并同类项得出答案；
（2）直接去括号进而合并同类项得出答案．
【详解】（1）
＝（3a2−2a2）＋（2ab−4ab）
＝a2−2ab
（2）
＝
＝ ．
【点睛】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
23. 设A＝（3x2﹣2）﹣2（x2+x﹣1）．（1）当x＝2时，求A的值；
（2）若A的值为正，请写出满足条件的x的值： （写出一个即可）．
【答案】（1）0；（2）3（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）直接去括号合并同类项得出答案；
（2）直接利用A的值为正数得出答案．
【详解】解：（1）A＝3x2﹣2﹣2x2﹣2x+2
＝x2﹣2x，
当x＝2时，原式＝22﹣2×2＝0．
（2）3 （答案不唯一，x＞2或x＜0均可）．
故答案为：3．
【解答】本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
24. 某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天
中七次行驶纪录如下（单位：km）：﹣4；+7；﹣9；+8；+6；﹣5；﹣2．
（1）求收工时在A地哪侧，距A地多远？
（2）若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？
【答案】（1）A的东面，距离1km；（2）12.3升
【解析】
【分析】（1）收工时距A地的距离等于所有记录数字的和的绝对值；
（2）所有记录数的绝对值的和×0.3升，就是共耗油数．
【详解】（1）根据题意列式：-4+7-9+8+6-5-2=1km．
答：收工时距A地1km，在A的东面；
（2）根据题意得检修小组走的路程为：
|-4|+|+7|+|-9|+8|+|+6|+|-5|+|-2|=41（km），
41×0.3=12.3升．
答：检修小组工作一天需汽油12.3升．
【点睛】此题主查考查正负数在实际生活中的应用及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解答此题的
关键．
25. 下表中的字母都是按一定规律排列的．我们把某格中的字母的和所得多项式称为特征多项式．
序号 1 2 3 ……图形 ……
例如：第1格的“特征多项式”为 ，
第2格的“特征多项式”为 ．
回答下列问题：
（1）第4格的“特征多项式”为 ，第 格的“特征多项式”为 ；（ 为正整数）
（2）求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差．
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】根据第1格的“特征多项式”为 ，第2格的“特征多项式”为
，第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项
式”为 ； 由此发现规律，即可求解；
（2）先求出第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”，再相减，即可求解．
【详解】解：（1）第1格的“特征多项式”为 ，
的
第2格 “特征多项式”为 ，
第3格的“特征多项式”为 ，
则第4格的“特征多项式”为 ；
由此发现：第 格的“特征多项式”为 ，
故答案是： ，
（2）因为第5格的“特征多项式”为 第6格的“特征多项式”为所以 ．
【点睛】本题主要考查了整式的加减的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
26. 对于正整数a，b，定义一种新算a△b＝（﹣1）a＋（﹣1）b
（1）计算1△2的值为 ；
（2）写出a△b的所有可能的值 ；
（3）若a△b△c△d△e△f＝（﹣1）a＋（﹣1）b＋（﹣1）c＋（﹣1）d＋（﹣1）e＋（﹣1）f，其中a、b、
c、d、e、f都是正整数，请你写出使a△b△c△d△e△f＝﹣4成立的一组a、b、c、d、e、f的值；
（4）若a，b，c都是正整数，则下列说法正确的是 ．（选出所有正确选项）
A.a△b＝b△a B.a△（b＋c）＝a△b＋a△c
C.（a△a）2＝2[（2a）△（2a）] D.（a△b）3＝3[（3a）△（3b）]
【答案】（1）0；（2）﹣2或0或2；（3）2，4，6，8，10，3（答案不唯一）；（4）：A、C．
【解析】
【分析】（1）根据a b=（-1）a+（-1）b，可以求得所求式子的值；
（2）分正整数a，b都△是奇数，一奇一偶，都是偶数进行讨论即可求解；
（3）写出五偶一奇的情况即为所求；
（4）根据a b=（-1）a+（-1）b，依次计算，再进行比较即可求解．
【详解】解：△（1）∵a△b＝（﹣1）a＋（﹣1）b，
∴1△2＝（﹣1）1＋（﹣1）2＝﹣1＋1＝0．
故答案为：0；
（2）正整数a，b都是奇数，
a△b＝（﹣1）a＋（﹣1）b＝﹣1﹣1＝﹣2；
正整数a，b一奇一偶，
a△b＝（﹣1）a＋（﹣1）b＝﹣1＋1＝0；
正整数a，b都是偶数，
a△b＝（﹣1）a＋（﹣1）b＝1＋1＝2．
综上所述，a△b的所有可能的值是﹣2或0或2．
故答案为：﹣2或0或2；
（3）使a△b△c△d△e△f＝﹣4成立的一组a、b、c、d、e、f的值2，4，6，8，10，3（答案不唯一）．
故答案为：2，4，6，8，10，3（答案不唯一）；
（4）A．∵a△b＝（﹣1）a＋（﹣1）b，b△a＝（﹣1）b＋（﹣1）a，
∴a△b＝b△a，故说法正确；
B．∵a△（b＋c）＝（﹣1）a＋（﹣1）b＋c，a△b＋a△c＝（﹣1）a＋（﹣1）b＋（﹣1）a＋（﹣1）c，∴无法得到a△（b＋c）＝a△b＋a△c，故说法错误；
C．∵（a△a）2＝[（﹣1）a＋（﹣1）a]2＝4，2[（2a）△（2a）]＝2[（﹣1）2a＋（﹣1）2a]＝2×2＝4，
∴（a△a）2＝2[（2a）△（2a）]，故说法正确；
D．∵（a△b）3＝[（﹣1）a＋（﹣1）b]3，3[（3a）△（3b）]＝3[（﹣1）3a＋（﹣1）3b]，
∴无法得到（a△b）3＝3[（3a）△（3b）]，故说法错误．
故答案为：A、C．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
附加题
27. 将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第1列第9行的数为
_____，再根据第1行的偶数列的规律，写出第3行第6列的数为_____，判断2021所在的位置是第_____
行，第_____列．
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 ……
第1行 1 4 5 16 17 ……
第2行 2 3 6 15 18
第3行 9 8 7 14 19
第4行 10 11 12 13 20
第5行 25 24 23 22 21
第6行 26 ……
【答案】 ①. 81 ②. 34 ③. 45 ④. 5
【解析】
【分析】根据题意得：第1列第1行的数为1=12，第1列第3行的数为9=32，第1列第5行的数为25=52，
由此得到第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方；根据题意得：第1行第2列的数为4=22，
第1行第4列的数为16=42，第1行第6列的数为36=62，且第6列的数向下依次减小，可得第3行第6列的
数为34；又由45×45=2025，可得2021在第45行，向右依次减小，即可求解．
【详解】解：根据题意得：第1列第1行的数为1=12，
第1列第3行的数为9=32，
第1列第5行的数为25=52，
由此得到第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，
∴第1列第9行的数为9的平方，即：92=81；根据题意得：第1行第2列的数为4=22，
第1行第4列的数为16=42，
第1行第6列的数为36=62，
∵第6列的数向下依次减小，
∴第3行第6列的数为34；
∵45×45=2025，
∴2021在第45行，向右依次减小，
∴2021所在的位置是第45行，第5列．
故答案为：81；34；45；5
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
28. 阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道： 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式
时，可令 和 ，分别求得 ， （称 ，2分别为 和
的零点值）；在实数范围内，零点值 和 可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1） ；（2） ；（3）
从而化简代数式 可分以下3种情况：
（1）当 时，原式
（2）当 时，原式
（3）当 时，原式
综上讨论，原式
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）化简代数式 ．（2）求 的最大值．
【答案】（1） ；（2）2
【解析】
【分析】（1）零点值x=2和x=4可将全体实数分为不重复不遗漏的如下三种情况： 、 、
分该三种情况找出 的值；
（2）分 、 、 分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的
最大值．
【详解】（1）化简代数式：
分为以下三种情况讨论：
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ；
综上所述：
原式
（2）当 时，原式 ，
当 时，原式 ， ，
当 时，原式 ，
则 的最大值为 ．
【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用．
