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潞河中学初三数学单元检测试题
一、选择题（每题2分，共16分）
1. 在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用勾股定理计算出AC长，再利用余弦定义可得答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝ ＝3，
∴cosA＝ ＝ ，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦定义：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的
余弦，记作cosA．
2. 雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监
测半径为 的雷达，监测点旳分布情况如图，如果将雷达装置设在 点，每一个小格的边长为 那
么能被雷达监测到的最远点为（ ）A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格特征结合勾股定理分别求得点P到各点的距离即可判断．
【详解】PG=3，
PN=4，
PH= ，
PM= ，不在监测范围内，
∴能被雷达监测到的最远点为H点，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3. 已知二次函数 的部分图象如图所示，则使得函数值 大于 的自变量 的取值可以是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2
上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵由图象可得抛物线的对称轴为x=-1.5，
∴点（0，2）关于直线x=-1.5的对称点为（-3，2），
当-3＜x＜0时，y＞2，
即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是-3＜x＜0．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．4. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出∠D=∠B，得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．
【详解】∵AC=AC，
∴∠D=∠B，
∵∠BAC=∠D，
∴∠B=∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴AB= ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定
理得出∠D=∠B．
5. 如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为 ，设交点为 ，点
之间有一座假山．为了测量 之间的距离，小明已经测量了线段 和 的长度，只需再测量
一条线段的长度，就可以计算 之间的距离．小明应该测量的是（ ）A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段
【答案】C
【解析】
【分析】连接BA，证明△APB∽△DPC，列比例计算即可.
【详解】如图，连接AB，
∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴ APB∽ DPC，
△ △
∴ ,
∴需要测量线段AB的长度，
故选C.
【点睛】本题考查了圆中三角形的相似，熟练运用同圆或等圆中，同弧或等弧上的圆周角相等是解题的关
键.
6. 如图，在⊙O中， ， ，则 的度数是（ ）A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对 的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得
的度数．
【详解】解： ， ，
．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理,注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆
周角等于这条弧所对的圆周角的一半这个定理的应用．
7. 在 中， ， ， ， ，则CD的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等角的余角相等可得 ，进而根据 即可求解．【详解】 ， ，
，
，
即 ，
，
解得 ，
故选C．
【点睛】本题考查了正切，利用正切得出边的比是解题的关键．
8. 如图， 是⊙O的直径，点 是 上一个动点（点 不与点 ， 重合），在点 运动的过程中，
有如下四个结论：①至少存在一点 ，使得 ；②若 ，则 ；③ 不是
直角；④ ．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ③④ C. ②③④ D. ①②④
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是90°，弧，弦，圆心角的关系，
以及圆的半径相等，即可得出．
【详解】①因为直径是圆中最长的弦,故①错误，
②若 则 PB＜2PA ，故②错误，
③ 因为直径所对的圆周角是90°，∠APB=90°，所以∠PAB不可能是90°，故③正确，④ 连接PA，PO，如图
∵∠POB=∠PAO+∠APO
又∠PAO=∠APO
∴∠POB=2∠OPA
故④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了与圆有关的性质，圆的直径的性质，直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角是
90°，弧，弦，圆心角的关系，以及圆的半径相等，解题的关键是掌握圆的有关的性质，直径，半径，圆周
角，圆心角，弧，等知识是解题的关键．
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接OC，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．
【详解】解：连接OC，∵BC⊥OA，
∴∠ODC=90°，BD=CD，
∵OD=AD，
∴OD= OA= ×4=2，
∴CD= ，
∴BC=2CD= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
10. 如图， 为等腰三角形， 是底边 的中点，若腰 与 相切，则 与 的位置关系
为__________．（填“相交”、“相切”或“相离”）
【答案】相切
【解析】
【分析】连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，根据等腰三角形的性质得到AO平分∠BAC，则
利用角平分线的性质得OE=OF，接着根据切线的性质可判断OE为⊙O的半径，然后根据切线的判定定理
可判断AC与⊙O相切．
【详解】解：连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，∵O是等腰△ABC的底边BC的中点，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE=OF，
∵腰AB与⊙O相切，
∴OE为⊙O的半径，
∴OF为⊙O的半径，
而OF⊥AC，
∴AC与⊙O相切．
故答案为：相切．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径，过半径的外端且与半径垂直的
直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质．
11. 如图在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2，小圆的半径为1， ．则阴影部
分的面积是_________． 的长是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】用大扇形的面积减去小扇形的面积得出阴影部分的面积．
【详解】阴影部分的面积的长
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了求弧长，扇形的面积的计算，熟练掌握弧长与扇形的面积公式是解题的关键．
12. 如图，在△ABC中，P是AB边上的点，请补充一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是：
___(写出一个即可)，
【答案】∠ACP=∠B（或 ）．
【解析】
【分析】由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角
形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
【详解】解：∵∠PAC=∠CAB，
∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC；
当 时，△ACP∽△ABC．
故答案为：∠ACP=∠B（或 ）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组
角对应相等的两个三角形相似．
13. 在同一个平面直角坐标系中，二次函数 ， ， 的图象如图所示，则 ， ，
的大小关系为_________．【答案】a＞a＞a## a ＜a＜a
3 2 1 1 2 3
【解析】
【分析】抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定的，a的绝对值越大，开口越小．
【详解】解：∵二次函数y=ax2的开口最大，二次函数y=ax2的开口最小，
1 1 3 3
∴a＞a＞a ，
3 2 1
故答案为：a＞a＞a．
3 2 1
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定是解题的关键．
14. 如图，点A，B，C在⊙O上，顺次连接A，B，C，O．若四边形ABCO为平行四边形，则
_______________．
【答案】120°
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到∠3和∠1的关系，再结合平行四边形的性质和
周角360°即可求出．
【详解】如图，由题有平行四边形ABCO
∴∠1=∠2
∵
∴2∠1=∠3=2∠2
∵∠3+∠2=360°∴∠2+2∠2=360°
∴∠2=120°
故答案为：120°
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
15. 如图， 是 的直径，点 是 延长线上一点， 切 于点 ，若 ，则
等于____________．
【答案】
【解析】
【分析】连接OC，求出∠PCO=90°，设 的半径是R，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得
R=2，由勾股定理得出22+PC2=（6-2）2，求出即可．
【详解】解：如图，连结CO，
∵PC切⊙ 于点C，
∴∠PCO=90°，
∵ ，
∴PO=2OC，
∵PB=6，
∴PO+OB=PO+CO=3CO=6，
∴CO=2，∴PO=6－2=4，
∵ ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理的应用，解此题的关键是能根据题意求出 是直角三
角形.
16. 如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D．下列结论中
正确的是_________．
① ② ③ ④
【答案】①②③
【解析】
【分析】利用切线长定理、等腰三角形 的性质即可得出答案．
【详解】解：由切线长定理可得：∠APO=∠BPO，PA=PB，从而AB⊥OP，AD=BD．
因此①②③都正确．
无法得出∠PAB=∠APB，可知：④是错误的．
综上可知：只有④是错误的．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．
三、解答题（共68分）
17. 计算：
【答案】1【解析】
【分析】利用特殊三角函数值代入式子进行计算，同时根据取绝对值的方法对 进行取绝对值计算，
即可求得结果．
【详解】解：原式=
=
=1．
【点睛】本题主要考查的是特殊三角函数值的运算，以及去绝对值的方法，熟练掌握特殊三角函数的值是
解题的关键．
18. 下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，⊙ 及⊙ 上一点 ．
求作：直线PN，使得PN与⊙ 相切．
作法：如图2，
①作射线OP；
②在⊙ 外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点
M；
③连接MQ并延长交⊙Q于点N；
④作直线PN．
所以直线PN即为所求作直线．
根据小石设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵ 是⊙ 的直径，
∴ ＝ （ ）（填推理的依据）．
∴ ．
又∵ 是⊙ 的半径，
∴ 是⊙ 的切线（ ）（填推理的依据）．【答案】（1）作图见解析；（2） ，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半
径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理可得∠MPN=90°，根据切线的判定定理即可得结论.
【详解】（1）（1）补全图形如下图；
（2）证明：∵ 是⊙ 的直径，
∴ ＝ 90 （直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴ ．
又∵ 是⊙ 的半径，
∴ 是⊙ 的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定及圆周角定理，正确作出图形是解题关键.
的
19. 已知：如图， 中，以AB为直径 ⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，若 ．
求证： ．【答案】见解析
【解析】
【分析】连接 ，根据直径所对的圆周角是直角，可得 ，根据弦与圆周角的关
系可得 ，进而证明 ，可得 ，根据已知条件，等量代换即可得证．
【详解】连接 ，如图，
AB为直径的⊙O，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，，
．
【点睛】本题考查了弦与圆周角的关系，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，掌握以上
知识是解题的关键．
20. 已知抛物线 经过两点A（4，0），B（2， ）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在平面直角坐标系xOy内画出抛物线的示意图；
（3）当 时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 ．
（4）A（x，n），B（x，n）是抛物线上的两个点，则有
1 2
（5）将抛物线经过怎样的平移可以使得平移后的抛物线的顶点经过原点？
【答案】（1）y=x2-4x
（2）见解析 （3）-4＜y＜0
（4）4 （5）先左平移2个单位再上平移4个单位（或先上平移4个单位再左平移2个单位）
【解析】
【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数解析式即可求得；
（2）根据二次函数的解析式化成函数图象即可；（3）根据图象即可求得．
（4）根据对称性即可求解．
（5）抛物线的顶点坐标为 ，可以将顶点平移至原点即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线y=x2+bx+c经过两点A（4，0），B（2，-4）．
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为y=x2-4x．
【小问2详解】
解：画出函数图象如图；
【小问3详解】
解：由y=x2-4x ，顶点坐标为
由图象可知，当 时，-4＜y＜0．
故答案为：-4＜y＜0．
【小问4详解】
解：由y=x2-4x ，对称轴为的
A（x，n），B（x，n）是抛物线上 两个点，
1 2
4
故答案为：4
【小问5详解】
解： 抛物线的顶点坐标为 ，可以将顶点平移至原点：先左平移2个单位再上平移4个单位．
故答案为：先左平移2个单位再上平移4个单位（或先上平移4个单位再左平移2个单位）
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数图象和性质，正确画出图象，利用数形
结合是解题的关键，
21. 如图，A，B，C是⊙O上的点， ，半径为5，求BC的长．
【答案】 ＝8
【解析】
【分析】连接OB，OC，过点O作OD⊥BC，利用圆心角与圆周角关系进一步得出∠BOD＝∠A，即
＝ ＝ ，然后通过解直角三角形得出BD，从而进一步即可得出答案.
【详解】连接OB，OC，过点O作OD⊥BC，如图∵OB＝OC ，且OD⊥BC，
∴∠BOD＝∠COD＝ ∠BOC，
∵∠A＝ ∠BOC，
∴∠BOD＝∠A， ＝ ＝ ，
∵在Rt△BOD中，
∴ ＝ ＝ ，
∵OB＝5，
∴ ＝ ， ＝4，
∵OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴ ＝8.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形与圆的性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
22. 一艘船向正北方向航行，在A处时看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，继续航行12海里到达B
处，看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上．若继续沿正北方向航行，求航行过程中船距灯塔S的最近距
离．（结果精确到0.1海里）（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）【答案】10.4海里
【解析】
【分析】过点S作SC⊥AB于点C，根据三角形外角性质可得BS=AB=12，在Rt△CSE中，运用正弦函数即
可求出SC．
【详解】（1）解：过点S作SC⊥AB于点C，
依题意可知∠1=30°，∠3=60°，AB=12，
∴∠2=30°，BS=AB=12，
在Rt△CSE中，∠SCB=90°，sin∠3= ， ∠3=60°，
∴CS=BS× sin∠3
=12×sin60°
=12× ≈12×1.73× =10.38≈10.4 （海里），
答：航行过程中船距灯塔S的最近距离是10.4海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够发现△ABS是等腰三角形，并正确运用三角函数解直角三
角形是解题的关键．
23. 在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为
常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G， 的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）过点D作DE BA，垂足为E，作DF BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若
AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
【答案】依题意画出图形G为⊙O，如图所示,见解析；（1）证明见解析；（2）直线DE与图形G的公共
点个数为1个.
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出图形G为⊙O，再根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的
弧相等得出 ；从而得出弦相等即可．
（2）先根据HL得出 CDF≌△CMF，得出DF=MF，从而得出BC为弦DM的垂直平分线，根据圆心角和
△圆周角之间的关系定理得出∠ABC=∠COD，再证得
DE为⊙O的切线即可
【详解】如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示
（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴ ，∴AD=CD
（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°
在Rt CDF和Rt CMF中
△ △
，∴Rt CDF≌Rt CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线
△ △
∴BC为⊙O的直径，连接OD
∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.
又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线.
∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆心角和圆周角之间的关系定理，切线的判定，熟练掌握相关的
知识是解题的关键．
24. 已知抛物线 ．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点M（m，y），N（2，y）在该抛物线上，若 ，求m的取值范围．
1 2
【答案】（1）（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据二次函数解析式求对称轴公式即可求得．
（2）由第一问求得顶点的横坐标代入等于0即可求得a值，进而得到二次函数解析式．
（3）根据 ，直接代入横坐标列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：对称轴
故对称轴为： ．
【小问2详解】
解：∵抛物线顶点在x轴上
∴当 时，
得
则抛物线解析式为：
【小问3详解】
由（2）得解析式
∵
∴
解得： 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像性质，求解一元二次不等式，熟练掌握二次函数性质是解题的关键．
25. 如图， 中， ，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．
（1）求证： ；
（2）连接AD，若 ，求⊙O的半径．
【答案】（1）见详解 （2）2
【解析】
【分析】（1）可根据中线，垂线三线合一判定出等腰三角形，进一步得到腰相等即可．
（2）可通过证明 ，通过相似比用半径r表示出BE的长度，进而结合勾股定理解出半径的
长．
【小问1详解】
证明：如图，连接EO，由题有EO⊥AB，E点为AB的中点
∴有等腰
∴AO=BO
【小问2详解】
解：设⊙O的半径为r，则EO=OC=OD=r
∵AO=BO
∴BC=4+r
∵∠OEB=∠ACB=90°，∠EBO=∠CBA
∴
∴
即为：解得：
在 中有
即：
解得r=2或r=-4（舍）
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，圆的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，
熟练运用三线合一判定等腰三角形，以及运用相似三角形解题是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点A（1，2），B（5，2），若抛物线与线段AB有一个公共点，求a的取值范围；
（3）过 （其中 ）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t
值，线段MN的长都不小于2，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）抛物线的对称轴为（2） 或 或 ，
（3） 或
【解析】
【分析】（1）由抛物线解析式，根据二次函数的性质可得抛物线对称轴；
（2）分 与 两种情况结合函数图象，求得临界值即可求解；
（3）分 与 两种情况结合函数图象，求得临界值即可求解
【小问1详解】
由抛物线 ，
则对称轴为 ，
【小问2详解】
①如图，当 时，
当抛物线经过点 时，
解得 ，
时，抛物线与 只有1个交点
当顶点在 上时，
解得时，抛物线与 只有1个交点
②当 时，
当抛物线经过点 时，
解得
时，抛物线与 只有1个交点
综上所述， 或 或 ，抛物线与 只有1个交点
【小问3详解】
①当 时，如图，当 ， 时，则
代入抛物线解析式
即
解得
根据图象可知，当 时，
②如图，当 时，
当 时， ，此时，代入抛物线解析式
即
解得
根据图象可知，当 时，
综上所述，当 或 时，
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，根据函数图象求方程的解的情况，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
27. 在等腰直角△ABC中，AB＝ AC， BAC＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动
点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．
（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形；
①求证：∠BDP ＝∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．
的
（2）点P在线段AB 延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；①见解析；②BC-BD= BP；见解析；（2）BD-BC= BP
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可：
①设PD与BC的交点为E，根据三角形内角和定理可求解；
②过点P作PF⊥BP交BC于点F．证明 BPD≌△FPC，即可得到结论；
（2）过点P作PH⊥BP交CB的延长线于△点H，证明 HPC≌ BPD即可．
【详解】解：（1）补全图形，如图． △ △
①证明：如图①，设PD与BC的交点为E．根据题意可知，∠CPD=90°．
∵BC⊥l，
∴∠DBC=90°．
∴∠BDP+∠BED=90°，∠PCB+∠PEC= 90°．
∵∠BED=∠PEC
∴∠BDP=∠PCB．
②BC-BD= BP．
证明：如图②，过点P作PF⊥BP交BC于点F．
∵AB= AC， A=90°，
∴∠ABC=45°．
∴BP=PF，∠PFB=45°．
∴∠PBD=∠PFC=135°．
∴△BPD≌△FPC．
∴BD=FC．
∵BF= BP，
∴BC-BD= BP．
（3）过点P作PH⊥BP交CB的延长线于点H，如图③，∵∠DPC=∠CBM=90°，∠PMD=∠BMC
∴∠PDM=∠BCM
∵∠ABC=∠ACB=45°
∴∠HBP=45°
∴∠DBP=45°
∵∠BPH=90°
∴∠BHP=45°
∴HP=BP
∴
又∠DPC=90°
∴∠HPC=∠BPD，
在 HPC和 BPD中，
△ △
∴ HPC≌ BPD
△ △
∴BD=HC=HB+BC=∴BD-BC= BP．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质运用和勾股定理的应用，
熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．
28. 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”
的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA﹣PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C
及其“完美点”P的示意图．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点M ，N（0，1），T 中，⊙O的“完美点”是 ；
②若⊙O的“完美点”P在直线y= x上，求PO的长及点P的坐标；
（2）⊙C的圆心在直线y= x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取
值范围．
【答案】（1）① N，T；② PO 的长为 1，点 P 的坐标为 或 ；（2）
【解析】
【分析】（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论；
②先根据圆的“完美点”的定义列出方程求解，再将P点分为在第一象限和第三象限两种情况即得．
（2）先确定圆的“完美点”的轨迹，再确定取极值时⊙C与y轴的位置关系即得．
【详解】解：（1）①∵点M∴设⊙O与x轴的交点为A，B
∵⊙O的半径为2
∴取A（﹣2，0），B（2，0）
∴
∴点M不是⊙O的“完美点”，同理可得：点N，T是⊙O的“完美点”．
故答案为：N，T；
②如图1：
根据题意，
∴
∴OP=1
若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q
∵点P在直线 上
∴设
∴ ，
∵OP=1，
∴OQ= ，PQ=
∴
若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为综上所述，PO的长为1，点P的坐标为 或 ．
（2）对于⊙C的任意一个“完美点”P都有
∴
∴CP=1
∴对于任意的点P，满足CP=1，都有 ，即
故对于任意的点P，满足CP=1时点P为⊙C的“完美点”．
因此，⊙C的“完美点”构成以点C为圆心，1为半径的圆．
设直线 与y轴交于点D，如图2：
当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．
设切点为E，连接CE
∴
∵⊙C的圆心在直线 上
∴此直线和y轴，x轴的交点分别是D（0，1），F
∴OF= ，OD=1
∵
∴CE∥OF
∴∴
∴
∴DE=
∴OE=
∴t的最小值为 ．
当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．
同理可得：t的最大值为
综上所述，t的取值范围为
【点睛】本题考查了勾股定理、圆与直线的位置关系、切线的性质、相似三角形的判定及性质，解题关键
是理解圆的完美点的定义，并用极值的方法确定取值范围．
