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2022—2023 学年度九年级数学综合模拟（一）
一、选择题（每小题2分，共16分）
1. 下列事件中，随机事件是（ ）
A. 通常温度降到 以下，纯净的水结冰 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
C. 明天太阳从东方升起 D. 三角形的内角和是
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件的意义，这个选项进行判断即可．
【详解】解：A．“通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰”是必然事件，不符合题意；
B．“随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是偶数，也可能是奇数”，符合题意；
C．“明天太阳从东方升起”是必然事件，不符合题意；
D．“三角形的内角和是180°”，因此“三角形的内角和是360°”是确定事件中的不可能事件，不符合题意；
故选：B．
【点睛】考查随机事件的意义，可能发生，也可能不发生的事件是随机事件，理解意义是关键．
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. （2，1） B. （-2，1） C. （-2，-1） D. （1，2）
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线的解析式为 ，
∴顶点坐标是（2，1），
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为 ，则抛物线的对称轴为直
线 ，顶点坐标为( ， ) ．
3. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓
的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”
图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4. 如图， 是 的直径， 是弦，若 ，则 等于（ ）
A. 68° B. 64° C. 58° D. 32°
【答案】C
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是90°，求出∠ADC，再根据圆周角的性质，求出∠ABC．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴∠ADB=90°，
∵ ，
∴∠ADC=90°-32°=58°，
∴∠ABC=∠ADC=58°，
故选：C．
【点睛】本题考查了直径所对圆周角是90°和圆周角的性质，解题关键是根据同弧把要求的角转化为与已
知有关系的角．5. 如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【答案】B
【解析】
【分析】连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点
为旋转中心．
【详解】如图，
∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，
∴连接PP'、NN'、MM'，
作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心 是B．
故选：B．
【点睛】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，以及旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点到旋
转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
6. 将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【详解】解：将抛物线 先向右平移3个单位长度，得： ；
再向上平移5个单位长度，得： ，
故选：B．
【点睛】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握用平移规律“左加右减，上加下
减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
7. 在半径为 的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】弧长公式为 ，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
【详解】解：弧长为： cm ．
故选：B．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
8. 小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次
函数来刻画．经侧试得部分数据如下表：
x/分 … 2.66 3.23 3.46 …
y/米 … 69.16 69.62 68.46 …
下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ）
A. 7分 B. 6.5分 C. 6分 D. 5.5分
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：最值在自变量大于2.945小于3.06之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．
故选C．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 若正六边形的边长为2，则它的半径是__．
【答案】2
【解析】
【分析】根据正六边形的边长等于正六边形的半径，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 、 ，
此六边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据题意画出图形，做出辅助线，由正六边形的性质判断
出 的形状是解题的关键．
10. 请写一个以1和3为根的一元二次方程________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系：两根之和 ，两根之积 ，首先写出两根之和，再写出两根之积，
可直接得到方程．
【详解】解： ， ，方程为： ，
故答案 为： ．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法．
11. 近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现
有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约
2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增
长率为x，则可列出关于x的方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】设年平均增长率为 ，根据2017年及2019年的全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人
数，即可得出关于 的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为 ，
则可列出关于 的方程为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
12. 抛物线 与 轴交于两点，分别是 ， ，则 的值为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2-2ax-3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），
∴ ．
故答案是：2．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，解题时，利用了抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系以及根
与系数的关系求得答案．
13. 如图， 为 的直径， ， 是弦， 于点 ，若 ，则 ________．【答案】1
【解析】
【分析】连接 ，根据垂径定理得出 ，然后在 中由勾股定理求出 的
长度，即可得出结果．
【详解】解：连接 ，如图所示：
弦 于点 ， ，
，
在 中， ， ， ，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理是解题的关键．
14. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝________．【答案】
【解析】
【分析】由切线长定理知PA=PB，PO平分∠APB，由切线的性质及锐角三角函数即可求得PA的长，从而
得PB的长．
【详解】∵PA，PB是⊙O的两条切线
∴PA=PB，且PO平分∠APB
∴∠APO=
∵OA⊥PA
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、锐角三角函数等知识，掌握切线的性质是关键．
15. 为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要
先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随
机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表：
柑橘总质量
100 150 200 250 300 350 400 450 500
n/kg
.
322
完好柑橘质 92. 138. 183. 229. 276. 367. 414. 459.
量m/kg 40 45 80 50 30 20 45 50
70
柑橘完好的
0.9 0.92 0.91 0.91 0.92 0.92 0.91 0.92 0.91
频率 24 3 9 8 1 2 8 1 9估计从该村运到火车站，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为__（结果保留小数点后三位）；
①若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地后，取出一个柑橘，柑橘完好的概
②率为__．
【答案】 ①. 0.920 ②.
【解析】
【分析】（1）根据表格中频率的变化情况，估计概率即可；
（2）根据完好的概率进行列方程求解即可．
【详解】解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920上下波动，因此估计柑橘的完好的概率
为0.920，
故答案为：0.920；
（2）设总质量为m千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为x，由题意得，
m×0.920×x＝m×0.880，
解得，x＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，概率公式的简单计算，理解概率的相关定义是解题的关键．
16. 一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两
个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入
丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．
（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是_____．
（2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有______个球．
【答案】 ①. 红 ②. 20
【解析】
【分析】（1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是红球，由此可得答案；
（2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可．
【详解】解：（1）∵如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，
则另一个球放入丙盒．
∴若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是红球，
故答案为：红；（2）根据题意可知，取两个球往盒子中放入有以下4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1个；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；
③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；
④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；
∵红球和黑球的个数一样，
∴①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机；
∵乙盒中最终有5个红球，
∴①的情况有5次，
∴红球至少有10个，
∵红球、黑球各占一半，
∴黑球至少也有10个，
∴袋中原来最少有20个球，
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了对立事件和互斥事件，属于基础题．
三、解答题（共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，
每小题7分）
17. 解一元二次方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两
个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样
也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18. 如图，△ABC为等边三角形，将BC边绕点B顺时针旋转30°，得到线段BD，连接AD，CD，求∠ADC的度数．
【答案】30°
【解析】
【分析】首先证明∠ABD＝90°，求出∠BDC，∠ADB即可解决问题．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°．
根据题意可知BD＝BC，∠DBC＝30°．
∴AB＝BD=BC，∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝75°，∠BDA＝45°
∴∠ADC＝∠BDC ﹣∠BDA＝30°．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点性质是解答
的关键．
19. 已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【详解】（1） ，
∵ ，
∴方程总有实数根；（2）∵ ，
∴ ， ，
∵方程有一个根为负数，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
20. 如图所示的网格是正方形网格， 的三个顶点是网格线的交点，点 在 边的上方，
于点 ， ， ， ．以 为直径作 ，射线 交 于点 ，连接
， ．
（1）补全图形；
（2）填空： °，理由是 ；
（3）判断点 与 的位置关系： ；
（4） （填“ ”，“ ”或“ ”）．
【答案】（1）补全图形；
（2）90，直径所对的圆周角是直角．
（3）点 在 外．
（4） ．
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据直径所对的圆周角是直角．
（3）求出 的长与半径可得结论．
（4）利用图象法解决问题即可．
【小问1详解】
解：补全图形见图1．
【小问2详解】
解： 是直径，
（直径所对的圆周角是直角）．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．
【小问3详解】
解：点 在 外．
理由如下：连接 ．
， ，
， ．
，
，
在 中， ， ，
．
，
，点 在 外．
【小问4详解】
解：观察图象可知： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查作图 应用与设计，勾股定理，点与圆的位置关系，圆周角定理等知识，解题的关键是
理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21. 如图，在⊙O中， ＝ ，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理
证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【小问1详解】
证明：连接OC，
∵ ＝ ，
∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
【小问2详解】
解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝ OC＝1，
∴CD＝ ＝ ＝ ，
∴△OCD的面积＝ ×OD×CD＝ ，
同理可得，△OCE的面积＝ ×OE×CE＝ ，
∴四边形DOEC的面积＝ ．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如
果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
22. 一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3. 小林和小华做一个游戏，按
照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取
一个小球， 记下标号. 若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由.
【答案】（1） ；（2）不公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；使用树状图分析时，
一定要做到不重不漏．
（2）根据题意可以分别求得他们获胜的概率，即可进行判断．
【详解】解：方法一：（1）由题意画出树状图所有可能情况如下：
；
（2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，
，
，
因为 ，所以不公平；
方法二：（1）由题意列表
小林
1 2 3
小华
1
2
3
所有可能情况如下：
；
（2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，
，，
因为 ，所以不公平．
【点睛】本题主要考查了游戏公平性的判断、用画树状图或列表的方法解决概率问题；判断游戏公平性就
要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
23. 如图，B是 的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交 于点C，D，连接
OD，E是 上一点， ，过点C作 的切线l，连接OE并延长交直线l于点F.
（1）①依题意补全图形.
②求证：∠OFC=∠ODC.
（2）连接FB，若B是OA的中点， 的半径是4，求FB的长.
【答案】（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）FB= .
【解析】
【分析】（1）①根据题意，补全图形即可；
②由CD⊥OA可得∠ODC+∠AOD=90°，根据垂径定理可得 ，利用等量代换可得 ，根
据圆周角定理可得∠EOC=∠AOD，由切线性质可得OC⊥FC，可得∠OFC+∠FOC=90°，即可证明
∠OFC=∠ODC；
（2）连接BF，作BG⊥l于G，根据OB= OA，可得∠OCB=30°，利用勾股定理可求出BC的长，根据垂
径定理可得CD的长，由（1）可知∠OFC=∠ODC，可得FC=CD，由BG⊥l，OC⊥l可得OC//BG，根据
平行线的性质可得∠CBG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CG的长，利用勾股定理可求出
BG的长，即可求出FG的长，利用勾股定理求出FB的长即可.
【详解】（1）①延长OE，交直线l于F，如图即为所求，②∵OA⊥CD，OA为⊙O半径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∠EOC=∠AOD，
∵FC是⊙O的切线，
∴OC⊥FC，
∴∠OFC+∠FOC=90°，
∴∠OFC=∠ODC.
（2）连接BF，作BG⊥l于G，
∵B是OA的中点，⊙O半径为4，
∴OB= OA= OC=2，
∵OA⊥CD，
∴∠OCD=30°，BC= = = ，
∴CD=2BC= ，
由（1）可知∠OFC=∠ODC，
∴FC=CD= ，
∵BG⊥l，OC⊥l，
∴OC//BG，
∴∠CBG=∠OCD=30°，
∴CG= BC= ，BG= =3，∴FG=FC+CG= ，
∴BF= = .
【点睛】本题考查切线的性质、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，圆的切线垂直于过
切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；30°角所对的直角边，等于斜边的一半；
熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
24. 如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．
一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．
某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m，当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度
2.5m．小石建立了平面直角坐标系xOy（1个单位长度表示1m），求得该抛物线的表达式为
．根据以上信息，回答下列问题：
（1）画出小石建立的平面直角坐标系；
（2）判断排球能否过球网，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）排球能过球网，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据该抛物线的表达式为 ，可得抛物线的顶点坐标为 ，从而得到小石
建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，即可求解；（2）根据题意得：当 时， ，即可求解．
【详解】解：（1）如图，
∵该抛物线的表达式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵当排球飞行到距离球网3m时达到最大高度2.5m．
根据题意得：点A的坐标为 ，
∴小石建立的平面直角坐标系是以O为坐标原点，OB所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，如下图：
（2）排球能过球网，理由如下：
根据题意得：点B的横坐标为3，
∴当 时， ，
∴排球能过球网．
【点睛】本题主要考查了建立二次函数的图象和性质，建立适当的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的
图象和性质是解题的关键．
25. 数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究
容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整：
的
（1）建立模型：设该容器 表面积为S ，底面半径为 cm，高为 cm，则
， ①
， ②
由①式得 ，代入②式得
． ③
可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是 ．
（2）探究函数：
根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值：
… 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 …
… 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 …
在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）解决问题：根据图表回答，
①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）；②若容器的表面积为300 ，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）．
【答案】①大；② 或
【解析】
【分析】①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当 时， ，当 时，
，进而可比较当 与 时， 的值的大小，
②根据函数图象求解即可
【详解】解：①（2）中的表格中数据可知，当 时， ，当 时， ，根据函数
图象可知，当 时， 随 的增大增大，当 时， 随 的增大而减小，
时， , 时，
半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大
故答案为：大
②根据函数图象可知，当 时， 或
故答案为： 或
【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键．
在
26. 平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（3，3）．
（1）用含a的式子表示b；
（2）直线y＝x+4a+4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，已知点A（1，4），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a（a＜0）的
取值范围．
【答案】（1）b＝﹣3a+1；（2）B（﹣4a，4）；（3）a＝﹣1或a＜﹣
【解析】
【分析】（1）将点(3，3)代入解析式即可求解；
（2）把y=4代入y=x+4a+4得到关于x的方程，解方程即可求出B点坐标；
（3）根据抛物线与线段AB恰有一个公共点，分两种情况进行讨论，即可得到结论．【详解】解：（1）将点(3，3)代入y＝ax2+bx，得：9a+3b＝3,
∴b＝-3a+1；
（2）令x+4a+4＝4，得x＝-4a，
∴B(-4a，4)，
（3）∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵A(1，4)，B(-4a，4)，
∴点A、B所在的直线为y＝4，
由（1）得b＝1-3a，
则抛物线可化为：y＝ax2+（1-3a）x，
当抛物线与线段AB恰有一个公共点时，分两种情况讨论：
①当抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x与直线y＝4只有一个公共点且抛物线的顶点在点A、B之间时，
则 或 ，
方程ax2+（1﹣3a）x＝4的根的判别式：△＝0，
即（1﹣3a）2+16a＝0，
解得a＝ ，a＝ ，
1 2
当a＝ 时， （不符合题意），
1
当a＝﹣1时， ，则1≤ ≤-4a成立，
2
②当抛物线经过点A时，
即当x＝1，y＝4时，a+1-3a＝4，
解得a＝ ；
∴a＜ 时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，
综上所述，当a＝-1或a＜- 时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数和一次函数图象上的点的坐标特征，解决本题的关键是理解
抛物线与线段AB恰有一个公共点的含义．
27. 在 中， ， ， ．将 绕点 顺时针旋转
得到 ，点 ，点 旋转后的对应点分别为点 ，点 ．
（1）如图1，当点 恰好为线段 的中点时， °， ；
（2）当线段 与线段 有交点时，记交点为点D．
①在图2中补全图形，猜想线段 与 的数量关系并加以证明；
②连接 ，请直接写出 的长的取值范围．
【答案】（1）60，2．
（2）①作图见解析部分．结论 ．证明见解析部分．②
【解析】
【分析】（1）证明 是等边三角形即可解决问题．
（2）①根据要求画出图形．结论： ．如图2，过点 作 的平行线，交 于点 ，记
．证明 ，可得结论．
②如图1中，当 时， 的值最大，当 时， 的值最小，分别求出最大值，最小值即
可．
【小问1详解】
解： ， ， ，
，，
， ，
，
是等边三角形，
， ．
故答案为：60，2．
【小问2详解】
解：①补全图形如图所示：结论： ．
理由：如图2，过点 作 的平行线，交 于点 ，记 ．
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ， ．
．
， ．
．
．
．
．
．在 和 中，
，
，
．
②如图1中，当 时， 的值最大，最大值为 ．
当 时， 的值最小，最小值 ，
．
【点睛】本题考查作图 旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28. 对于平面内的图形G 和图形G，记平面内一点P到图形G 上各点的最短距离为d，点P到图形G 上
1 2 1 1 2
各点的最短距离为d，若d＝d，就称点P是图形G 和图形G 的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy中，
2 1 2 1 2
已知点A（6，0），B（0，2 ）．
（1）在R（3，0），S（2，0），T（1， ）三点中，点A和点B的等距点是______；
（2）已知直线y＝－2．
①若点A和直线y＝－2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为______；
②若直线y＝a上存在点A和直线y＝－2的等距点，求实数a的取值范围；
（3）记直线AB为直线l，直线l： ，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上有m个直
1 2
线l 和直线l 的等距点，以及n个直线l 和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．
1 2 1
【答案】（1）S（2，0）
（2）①（4，0）或（8，0）；②a≥-1；
（3）r= 或r≥3．
【解析】
【分析】（1）由两点距离公式分别求出，AR，BR，AS，BS，AT，BT的长，即可求解；
（2）①设等距点的坐标为（x，0），由题意可得2=|x-6|，即可求解；②列出方程，由根的判别式可求解；
（3）利用数形结合，可求解．
【小问1详解】
解：∵点A（6，0），B（0，2 ），R（3，0），S（2，0），T（1， ），
∴AR=3，BR= ，AS=4，BS=4，AT=2 ，BT=2，
∴AS=BS，
∴点A和点B的等距点是S（2，0），
故答案为：S（2，0）；
【小问2详解】
解：①设等距点的坐标为（x，0），
∴2=|x-6|，
∴x=4或8，
∴等距点的坐标为（4，0）或（8，0），
故答案为：（4，0）或（8，0）；
②如图1，设直线y=a上的点Q为点A相直线y=-2的等距点，连接QA，过点Q作直线y=-2的垂线，垂足
为点C，
∵点Q为点A和直线y=-2的等距点，
∴QA=QC，
∴QA2=QC2，
∵点Q在直线y=a上，
∴可设点Q的坐标为Q（x，a），
∴（x-6）2+a2=[a-（-2）]2．
整理得x2-12x+32-4a=0，
由题意得关于x的方程x2-12x+32-4a=0有实数根．∴△=（-12）2-4×1×（32-4a）=16（a+1）≥0．
解得a≥-1；
【小问3详解】
解：如图2，
直线l 和直线l 的等距点在直线l：y=− x+ 上．
1 2 3
直线l 和y轴的等距点在直线l：y=− x+2 或l：y= x+2 上．
1 4 5
由题意得r= 或r≥3．
【点睛】本题考查了两点距离公式，圆的有关知识，理解新定义，利用数形结合思想解决问题是本题的关
键．
