文档内容
北师大附属实验中学 2022-2023 学年度第一学期期中试卷
九年级数学
班级___________姓名___________学号___________成绩___________
考生须知：
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题；答题纸共3页．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．
3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，作图题用2B铅笔绘图，其他试题
用黑色字迹签字笔作答．
一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意．每小
题2分，共16分）
1. 抛物线 的顶点坐标是( )
A. （3，1） B. （3，﹣1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1）
2. 一元二次方程 有一根为零的条件是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过 ， ，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心
为图中的（ ）
A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G
4. 将二次函数 的图像向右平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图像的表达式是（）
A. B.
C. D.
5. 如图，点A，B，C均在 上，当 时， 的度数是（ ）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
6. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）
A. 点B在⊙A内 B. 点C在⊙A上
C. 直线BC与⊙A相切 D. 直线BC与⊙A相离
7. 二次函数 的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在边长为2的正方形 中，点M在AD边上自A至D运动，点N在 边上自B至A运动，
M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接 ， 交于点P，则 的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. D.
二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）
9. 如图， ， ，则 ___________．
10. 请写出一个过坐标原点，对称轴为直线 的抛物线的解析式___________．
11. 如图， ， 是⊙ 的切线，A，B为切点， ，当 时， 的长为
___________．
12. 如图，直线 与抛物线 交于A，B两点，其中点 ，点 ，不等
式 的解集为___________．13. 如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2＝______．
14. 若x，y满足 ，则 ___________．
15. 超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）
之间满足函数关系式 ，则利润w和售价x之间的函数关系为___________，该
商品售价定为___________元/件时，每天销售该商品获利最大．
16. 已知某函数 的图象过 ， 两点，下面有四个推断：
①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过 ；
②若此函数的图象为抛物线，且经过 ，则该抛物线开口向下；
③若此函数的解析式为 ，且经过 ，则 ；
④若此函数的解析式为 ，开口向下，且 ，则a的范围是 ．
所有合理推断的序号是___________．
三、解答题（本题共12小题，第17，18题每题4分，第19题8分，第20，22，25题5分，
第21，23，24，26，27题6分，第28题7分，共68分）
.
17 ．
18.19. 已知二次函数 图像经过点 ， ．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）补全表格，并根据表格中的数据用描点法画出该二次函数的图像；
x … 0 2 …
y … 0 3 3 0 …
（3）当 时，直接写出y的取值的范围．
20. 已知关于x的一元二次方程：
······①
·····②
（1）方程①有实数解，求 的取值范围．
的
（2） 为满足（1）中条件 最大整数，方程②有两个不等根，求证：方程②两根异号．
21. 如图，已知 为 直径， 是弦，且 于点E，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
22. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，
已知 ，C是弦 上一点（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
的
①作线段 垂直平分线 ，分别交 于点D，垂足为E；
②以点D为圆心， 长为半径作弧，交 于点F（F，A两点不重合），连接 ．
（2）引理的结论为： ．
证明：连接 ， ， ，
∵ 为 的垂直平分线
∴
∴
又∵四边形 为圆的内接四边形
∴ ___________ ···①
又∵
∴∠___________=∠___________···②
又∵
∴___________=___________···③
∴
∴
∴ ．
23. 已知二次函数的解析式为 ．
（1）求该二次函数的顶点坐标（用含k的式子表示）；
（2）若已知 ， ，该二次函数的图象和线段 有两个交点，结合函数图象，求k的取
值范围．
24. 如图，已知 为 的直径，D是 上的一点，且点C是 的中点，过点C作 直线
于点E．（1）求证：直线 是 的切线；
（2）连接 ，过点O作 于F，延长 交 于M，若B为 的中点，半径为4，求
的长
25. 如图1，斜坡与水平面夹角 ．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头
A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与A水平距离为4米时，
达到最高点D，D与水平线 的距离为4米．
（1）在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）；
（2）若斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水柱能否越
过这棵树．
26. 已知点 ， 是抛物线 与直线 的公共点．
（1）当抛物线C的对称轴为直线 时，求b的值；
（2）已知 ，抛物线上两点 坐标分别为 ， ，试比较b， ， 三者之间
的
的大小关系．
27. 如图， 中， ， ，线段 绕点C逆时针旋转 （ ），得到线段 ，作 的角平分线交 于点M，交 于点N．
（1）当 时，根据题意补全图形；
（2）当 时，求 的度数；
（3）当 时，用等式表示线段 ， 之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中，给定线段 和点P，若满足 或者 ，则称
点P为线段 的偏序点．
（1）已知点 ，①在点 ， ， ， 中，是线段 的偏序点的有___________；
②若直线 上存在线段 的偏序点，求b的取值的范围．
（2）已知点 ， ， 是以1为半径的圆，并且圆心C在x轴上运动，若线段 上
的点均为 的某条直径的偏序点，直接写出点C的横坐标c的取值的范围．
