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2023 年高考押题预测卷 02
数学·全解全析
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符
合题目要求的.
1.已知集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得, ,即 ,所以
则 ,故选:A
2.复数 在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】因为 ,
所以 ,
所以,复数 在复平面内所对应的点为 ,
所以,复数 在复平面内所对应的点位于第四象限.故选:D.
3.如图,在 中,点D为线段BC的中点,点E,F分别是线段AD上靠近D,A的三等分点,则
( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,则 ①;
,则 ②;
① ②两式相加, ,即 ,故选:C.
4.如图,一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内,容器与地面所成的角为 ,液面
呈椭圆形,椭圆长轴上的顶点 , 到容器底部的距离分别是12和18,则容器内液体的体积是( )A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图为圆柱的轴截面图,过M作容器壁的垂线,垂足为F,
因为MN平行于地面,故 ,
椭圆长轴上的顶点 , 到容器底部的距离分别是12和18,
故 ,
在 中, ,即圆柱的底面半径为 ,
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为 ,高为 的圆柱体积的一半,
即为 ,故选:D.
5.四位爸爸 、 、 、 相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练,其中每位爸爸都与一个别人家
的小孩进行交谈,则 的小孩与 交谈的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 、 、 、 四位爸爸的小孩分别是 、 、 、 ,
则交谈组合有 种情况,分别为:
, , , , ,
, , , ,
的小孩与 交谈包含的不同组合有 种,
分别为: , , ,
的小孩与 交谈的概率是 .故选:A.
6.函数 在 的图像大致为
A. B. C. D.【答案】B
【解析】设 ,则 ,
所以 是奇函数,图象关于原点成中心对称,排除选项C.
又 排除选项D; ,排除选项A,故选B.
7.已知函数 为 的零点, 为 图象的对称轴,如果
存在实数 ,使得对任意的实数 ,都有 成立,当 取最小值时( )
A. 在 上是增函数 B. 在 上是增函数
C. 在 上是减函数 D. 在 上是减函数
【答案】B
【解析】已知函数 为 的零点, 为 图象的对称轴,
则 ①, ②,
由①②可得: ,又 ,则 或 ;
又存在实数 ,使得对任意的实数 ,都有 成立,
则 ,故 ,
又 ,且 ,则 ,由②得此时
则 ,函数在 上的增区间满足 ,
所以 ,
则 的增区间为 ,
所以 在 上是增函数.故选:B.
8.设 , , ,则( )
A. B. C. D.【答案】C
【解析】由 ,令 且 ,
所以 ,
令 且 ,则 ,即 递减,
所以 ,故 在 上恒成立,则 在 上递减,
所以 ,即 ,则 ;
由 ,令 且 ,
所以 在 上递增,故 ,
故 在 上递增, ,即 ,则 ;
综上, .故选:C
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,
全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知由样本数据 , ,2,3, , 组成的一个样本,得到回归直线方程为 ,且
,去除两个样本点 和 后,得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是( )
A.相关变量 , 具有正相关关系
B.去除两个样本点 和 后,回归直线方程为
C.去除两个样本点 和 后,随 值增加相关变量 值增加速度变小
D.去除两个样本点 和 后,样本 的残差为0.1
【答案】AB
【解析】对于A,去除两个样本点 和 后,得到新的回归直线的斜率为3, ,
则相关变量 , 具有正相关关系,故A正确;
对于B,由 代入 得 ,则去除两个样本点 和 后,
得到新的 , , ,
故去除样本点后的回归直线方程为 ,故B正确;
对于C,由于斜率为 ,故相关变量 , 具有正相关关系且去除样本点后,
随 值增加相关变量 值增加速度变大,故C错误,
对于D,当 时, ,则样本 的残差为 ,故D错误.故选:AB.
10.如图,矩形ABCD中,E、F分别为BC、AD的中点,且 , ,现将 沿
AE向上翻折,使B点移到P点,则在翻折过程中,下列结论正确的是( )
A. B.存在点P,使得
C.存在点P,使得 D.三棱锥 的体积最大值为
【答案】ACD【解析】依题意, ,则四边形 为平行四边形,有 ,
而 , ,即有 ,因此 ,
即 ,因此 ,A正确;
因为 , ,因此 不平行,即不存在点P,使得 ,B错误;
连接 ,当 时,因为 ,即 ,则 ,
而 , 平面 ,因此 平面 ,
又 分别为 的中点,即 ,于是 平面 ,
而 平面 ,则 ,C正确;
在翻折过程中,令 与平面 所成角为 ,则点 到平面 的距离 ,
又 的面积 ,因此三棱锥 的体积 ,
当且仅当 ,即 平面 时取等号,所以三棱锥 的体积最大值为 ,D正
确.
故选:ACD
11.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ,点 在椭圆内部,点N在椭圆上,
椭圆C的离心率为e,则以下说法正确的是( )
A.离心率e的取值范围为
B.存在点N,使得
C.当 时, 的最大值为
D. 的最小值为1
【答案】AC
【解析】A:由已知可得, ,所以 ,即 ,
则 ,故 ,正确;
B:由 知, 共线,故 必为椭圆的右顶点,
而 ,即 ,则 ,
所以 ,不合A分析结果,错误;C:由已知 且 ,所以 , .
又 ,则 .
根据椭圆的定义可得 ,
所以 ,
如上图示,当且仅当 三点共线时取得等号,正确;
D:因为 .
所以 ,
当且仅当 ,即 时等号成立.
所以, 的最小值为 ,错误.故选:AC
12.已知函数 及其导函数 的定义域均为 . , ,当
时, , ,则( )
A. 的图象关于 对称
B. 为偶函数
C.
D.不等式 的解集为
【答案】BCD
【解析】由 可得 ,故可知 的图象关于 对称,故A错误,
由 得 ,由 得 ,
故 为偶函数,故B正确,
由 可得 ,所以 ,又 为偶函数,所
,即 ,故C正确,
由 为偶函数且 可得 ,
所以 是周期函数,且周期为8,又当 时, ,可知 在 单调递减
故结合 的性质可画出符合条件的 的大致图象:
由性质结合图可知:当 时, ,
由 得 ,故 ,
当 且 时, 此时无解,
当 时, ,解得 ,
当 且 时,由 得
综上可得 的解集为 ,故D正确,
故选:BCD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 的展开式中, 的系数为______.
【答案】
【解析】二项式 的通项公式为 ,
所以 的系数为 ,
故答案为:
14.过点 且与圆 : 相切的直线方程为__________
【答案】 或
【解析】将圆 方程化为圆的标准方程 ,得圆心 ,半径为 ,
当过点 的直线斜率不存在时,直线方程为 是圆 的切线,满足题意;
当过点 的直线斜率存在时,
可设直线方程为 ,即 ,
利用圆心到直线的距离等于半径得 ,解得 ,
即此直线方程为 ,
故答案为: 或 .
15.已知函数 的图像关于直线 对称,且 时, ,则曲线 在点
处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】设 分别为函数 的图像上关于直线 对称的两点,不妨设 ,则
.所以 ,所以
所以 .
所以当 时, .
所以 .
而 ,所以 .
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .
故答案为: .
16.已知点 在抛物线 上,过点A作圆 的两条切线分别交抛物线于B,C两
点,则直线BC的方程为____________.
【答案】
【解析】因为点 在抛物线 上,则 ,解得 ,即抛物线方程为 ,
显然过点A作圆 的两条切线斜率存在,
设此切线方程为 ,即 ,
于是 ,解得 ,设点 ,
不妨令直线 的斜率分别为 ,于是 , ,
同理 ,直线 的斜率 ,
而点 ,
直线BC的方程为 ,即 .
故答案为:
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
已知 为等差数列,且 .
(1)求 的首项和公差;
(2)数列 满足 ,其中 、 ,求 .
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ,则 ,
由 可得 ,即 ,所以, ,解得 , .
(2)因为 ,则 ,
所以
;
;
.
因此,
.
18.(12分)
AB
在 中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足a3b6bsin2 0.
ABC 2
(1)求证:a3bcosC 0;
(2)求tanA的最大值.
3
【答案】(1)证明见解析;(2)
4
AB
【解析】(1)∵a3b6bsin2 0,
2
πC C
∴a3b6bsin2 a3b6bcos2 0,
2 2
1cosC
∴a3b6b 0,
2
∴a3bcosC 0.
(2)由(1)可得:sinA3sinBcosC 0,且C为钝角,
即4sinBcosCcosBsinC 0,
即4tanBtanC 0,tanC 4tanB,
3 3
tanBtanC 3tanB 3
tanAtanBC
1tanBtanC 4tan2B1 1 1 4,
4tanB 2 4tanB
tanB tanB
1 1
当且仅当4tanB ,即tanB 时取等号.
tanB 2
3
故 的最大值为 .
tanA 4
19.(12分)
如图,直三棱柱ABC- ABC 内接于圆柱,AB AA BC 2,平面ABC 平面AABB.
1 1 1 1 1 1 1(1)证明:AC为圆柱底面的直径;
(2)若M为AC 中点,N为CC 中点,求平面ABC与平面BMN 所成锐二面角的余弦值.
1 1 1 1
5 7
【答案】(1)证明见解析;(2)
14
【解析】(1)证明:连接AB ,在直三棱柱ABC- ABC 中,AB AA 2,
1 1 1 1 1
∴四边形AABB为正方形,∴AB AB
1 1 1 1
又平面ABC 平面AABB,平面ABC平面AABB AB,AB 平面AABB,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴AB 平面ABC,又BC平面ABC,∴BC AB
1 1 1 1
又AA 平面ABC,BC平面ABC,∴BC AA .
1 1
又AB
1
AA
1
A,AB
1
,AA
1
平面AA
1
B
1
B,
∴BC平面AA
1
B
1
B,又AB平面AA
1
B
1
B,
∴ABBC,∴AC为圆柱底面的直径.
(2)由已知BB平面ABC,ABBC,
1
∴以 BA,BC,BB
1
为正交基底建立空间直角坐标系Bxyz,
∴B0,0,0 ,A2,0,0 ,C0,2,0 ,B 0,0,2 ,A 2,0,2 ,C 0,2,2 .
1 1 1
∵M,N为AC ,CC 中点,
1 1 1
∴M1,1,2 ,N0,2,1
.
设平面ABC的一个法向量为mx,y,z
.
1 1 1 1
B A m 0
则 B C 1 m 0 ,又 B A 2,0,2 , B uu C ur 0,2,0 ,
1
2x 2z 0
1 1
∴ ,取 ,得 , ,∴ ,
2y 0 z 1 x 1 y 0 m1,0,1
1 1 1 1
设平面BMN 的一个法向量为nx ,y ,z .
2 2 2 B M n0
则 B N n0 ,又 B M 1,1,2 , B N 0,2,1 ,
x y 2z 0
2 2 2
∴ ,取 ,得 , .∴ ,
2y z 0 z 2 x 3 y 1 n3,1,2
2 2 2 2 2
mn 32 5 7
cosm,n
∴ ,
m n 2 14 14
5 7
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
ABC BMN 14
1
20.(12分)
党的十八大以来,习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示,并在全国卫生与健康大会上强调,
推进职业病危害源头治理.东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员110人,其中有22人从事采桑工作,另
外88人没有从事采桑工作.
(1)为了解职工患皮炎是否与采桑有关,现采用分层随机抽样的办法从全体工作人员中抽取25人进行调
查,得到以下数据:
采
不采桑 合计
桑
患皮炎 4
未患皮炎 18
合计 25
①请完成上表;
②依据小概率值0.005的独立性检验,分析患皮炎是否与采桑有关?
(2)为了进一步了解职工职业病的情况,需要在上表患皮炎的工作人员中抽取4人做进一步调查,将其中
采桑的人数记作X ,求X 的分布列和期望.
nadbc2
附:2 ,其中 ,
abcdacbd
nabcd
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【答案】(1)① 填表见解析;②认为患皮炎与采桑之间有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005
8
(2)分布列见解析;期望为
3
【解析】(1)①
采
不采桑 合计
桑
患皮炎 4 2 6
未患皮炎 1 18 19
合计 5 20 25
②零假设为H :患皮炎与采之间无关联,根据列联表中的数据,
0
25418212
1225
经计算得到x2 10.7467.879x ,
619520 114 0.005根据小概率值0.005的独立性检验,我们推断H 不成立,
0
即认为患皮炎与采桑之间有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.
(2)用X 表示抽取的4人中采桑的工作人员人数,X 的取值为:2,3,4,
PX 2 C2 4 C2 2 2 ,PX 3 C3 4 Cl 2 8 ,PX 4 C4 4 C0 2 1
C4 5 C4 15 C4 15
6 6 6
随机变量X的分布列为:
X 2 3 4
2 8 1
P
5 15 15
2 8 1 8
则EX2 3 4 .
5 15 15 3
21.(12分)
x2 y2
已知双曲线E: 1a0,b0的左、右焦点分别为 、 , 且双曲线 经过点
a2 b2 F 1 F 2 F 1 F 2 2 3 E
A 3,2 .
(1)求双曲线E的方程;
(2)过点P2,1
作动直线l,与双曲线的左、右支分别交于点M 、N ,在线段MN上取异于点M 、N 的
PM MH
点 ,满足 ,求证:点 恒在一条定直线上.
PN HN
H H
y2
【答案】(1)x2 1;(2)证明见解析
2
【解析】(1)因为 FF 2c2 3,则c 3,
1 2
由双曲线的定义可得
2a AF AF 3 3 2 202 3 3 2 202 422,
1 2
所以,a1,则b c2a2 31 2,
y2
因此,双曲线 的方程为x2 1.
E 2
(2)证明:设点Hx,y 、Mx,y 、Nx ,y ,
1 1 2 2
y2
x2 1 1
1 2 y2 2 x21
则 ,可得 1 1 ,
x 2 2 y 2 2 2 1 y 2 2 2 x 2 21
PM MH PM PN
设 ,则 ,其中 ,
PN HN MH HN
1x x 21
1 2
y y 1
1 2
即 ,整理可得 ,
x
1
2,y
1
1x
2
2,y
2
1
x
1
x
2
1x
xx 1 ,yy 1 x 2 x,y 2 y y 1 y 2 1y
所以,x22x2 2 12 x,y22y2 12 y,
1 2 1 2
y2 2 x21
1 1
将 代入 可得 ,
y2 2 x21 y22y2 12 y 2x22x2 12 12 y
2 2 1 2 1 2
将x22x2 2 12 x代入2x22x2 12 12 y
1 2 1 2
可得2
12 2x 12
12 y,即4xy20,
所以,点H 恒在直线4xy20上.
22.(12分)
1
已知函数 f xex x2ax.
2
(1)若函数 f x 在 0, 上是单调递增,求实数a的取值范围;
f x f x
(2)若对于任意 ,存在正实数 ,使得
fx 2 1
,试判断 与 的大小关系,
x x 0 x 0 x x 2x x x
2 1 0 2 1 0 1 2
并给出证明.
【答案】(1)a1;(2)2x x x ;证明见解析
0 1 2
1
【解析】(1) f xex x2ax则 fxexxa
2
由题意可得
fx0当x0,
时恒成立
构建x fx ,则xex 10当x0, 时恒成立
∴x
在
0, 上单调递增,x01a当x0,
时恒成立
则1a0即a1
f x f x
(2)构建Fx f x f x 2 1 xx ,
1 x x 1
2 1
f x f x
则Fx fx 2 1
x x
2 1
∵Fx Fx 0且Fx
在区间
x,x
连续
1 2 1 2
则Fx
在区间
x,x
上存在极值点
1 2
f x f x
即存在正实数 ,使得Fx fx 2 1 0,
x x,x 0 0 x x
0 1 2 2 1
f x f x x x f x f x x x
即 fx 2 1 fx f 2 1 2 1 f 2 1
0 x x 0 2 x x 2
2 1 2 1
x2x1
ex2 ex1 x2x1 e 2 x2x1 x2x1
e 2 e 2 e 2 x x
x x x x 2 1
2 1 2 1
设gxexex2x,x0,gxexex20当x0时恒成立则函数gx
在
0, 上单调递增,则gxg00,
x2x1 x2x1 x x x x
即e 2 e 2 x x g 2 1 0,则 fx f 2 1 ,
2 1 2 0 2
由(1)可知函数
fx
在
0,
上单调递增,
x x
则x 1 2 ,即 .
0 2 2x x x
0 1 2