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2025届新高三学情摸底考01（新课标卷）
数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出
的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的
位置上.
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为虚数单位， ，则在复平面内 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．向量 ，且 ∥ ，则实数 （ ）
A．5 B． C．2 D．
4．设函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三
角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．6．已知 ，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
7．唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路
的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”
和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就
是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可
忽略），如图2所示.已知球的半径为 ，酒杯容积为 ，则其内壁表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，曲线 上存在一点 ，使
得 为等腰直角三角形，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分
分，有选错的得0分.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9．已知事件 满足 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立
B．事件A与事件B可能为对立事件
C．若事件A与事件B相互独立，则
D．若事件A与事件B互斥，则
10．若函数 的图象经过点 ，则（ ）
A．点 为函数 图象的对称中心
B．函数 的最小正周期为
C．函数 在区间 上的函数值范围为
D．函数 的单调增区间为
11．已知定义在 上的函数 ，对任意 有 ，其中
；当 时， ，则（ ）
A． 为 上的单调递增函数
B． 为奇函数
C．若函数 为正比例函数，则函数 在 处取极小值
D．若函数 为正比例函数，则函数 有两个零点
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．在 展开式中，含 项的系数是 .
（用数字作答）
13．在 中， 的角平分线交 于 ，则
.
14．已知 分别为椭圆 的左，右焦点，A为椭圆 的上顶点，
且 为等边三角形；过 且垂直于 的直线与椭圆 交于 两点，则 的周
长为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
15．（13分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是
文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认
识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本
的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ，…，
得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在 的平均成绩是56，方差是7，另一组落在已知 内，且两组成绩
的总平均数 为62和总方差 为23.求落在 的平均成绩以及方差.
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16．（15分）已知数列 是等差数列，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
17．（15分）如图，在三棱锥 中，平面 平面ABC， ，
， ，点M为AC的中点．
(1)求证：平面 平面PAB；
(2)线段PC上是否存在点N，使得 平面BMN?若存在，求 的值；若不存在，请说
明理由．
18．（17分）已知动圆P过点 ，并且与圆 外切，设动圆的圆心
P的轨迹为C.
(1)直线 与圆 相切于点Q，求 的值；
(2)求曲线C的方程；
(3)过点 的直线 与曲线C交于E，F两点，设直线 ，点 ，直线 交 于
点M，证明直线 经过定点，并求出该定点的坐标.
19．（17分）对于函数 ，规定 ， ，…，， 叫做函数 的n阶导数．若函数 在包含 的某个闭
区间 上具有n阶导数，且在开区间 上具有 阶导数，则对闭区间 上任
意一点x，
，该公式称为函数 在 处的n阶泰勒展开式， 是此泰勒展开式的n阶余项．
已知函数 ．
(1)写出函数 在 处的3阶泰勒展开式（ 用 表示即可）；
(2)设函数 在 处的3阶余项为 ，求证：对任意的 ， ；
(3)求证： ．
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