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6.3 利用递推公式求通项（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 累加法
【例1-1】（2022·河南·灵宝市）已知数列 满足 ，且 ,求数列 的通
项公式；
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
，… ，所以 ．
又 ，所以 ，所以 ．又 ，也符合上式，所以 ．
【例1-2】（2022·江苏江苏·一模）已知数列 ， ，且 ， ，求数列 的通
项公式
【答案】
【解析】因为 ，所有 ，
当 时， ， ，……， ，
相加得 ，所以 ，当 时， 也符合上式，所以数列 的通项公式
【一隅三反】
1．(2022.广东）数列 满足 ， ，则 = 。
【答案】
【解析】 ， ，则当 时， ，。
2．(2022.广东）在数列{a}中，若a＝﹣2，a ＝a+n•2n，则a＝ 。
n 1 n+1 n n
【答案】（n﹣2）•2n
【解析】∵a ＝a+n•2n，∴a ﹣a＝n•2n，且a＝﹣2
n+1 n n+1 n 1
∴a﹣a＝a﹣a +a ﹣a +…+a﹣a＝（n﹣1）•2n﹣1+…+2•22+1•21，①
n 1 n n﹣1 n﹣1 n﹣2 2 1
∴2（a﹣a）＝（n﹣1）•2n+（n﹣2）•2n﹣1+…+2•23+1•22，②
n 1
①-①得﹣（a﹣a）＝﹣（n﹣1）•2n+2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+2
n 1
＝﹣（n﹣1）•2n+ ﹣（n﹣1）•2n﹣2+2n，
∴a﹣a＝（n﹣1）•2n+2﹣2n，所以a＝（n﹣2）•2n
n 1 n
3．已知数列 中， ， ，则数列 的一个通项公式为
。
【答案】
【解析】因为 则
由递推公式可得将等式两边分别相加可得
所以由对数运算可得
考点二 累乘法
【例2】（2022·全国·模拟预测（理））已知数列 满足 ．求数列 的通项
公式；
【答案】 ；
【解析】当时， ，则 ，即 ，
，n＝1也满足上式，故 ；
【一隅三反】
1.（2022·安徽安庆）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， .求 的通项公式；
【答案】 ，
【解析】 时， ，解得 .
当 时， ，故 ，所以 ，
故 .符合上式故 的通项公式为 ， .
2．（2022·全国·专题练习）设 是首项为1的正项数列且 ，求
数列 的通项公式 .
【答案】 或
【解析】依题意 ，
所以 ，
当 时， ，所以 .
当 时， ，
所以
，
也符合上式.
所以 .
综上所述， 或 .
4．（2021·全国·专题练习）设 是首项为1的正项数列，且 ，求
通项公式 .=
【答案】
【解析】由 ，得 ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
又a＝1满足上式，∴ .
1
考点三 公式法
【例3-1】（2022·四川）数列 的前 项和 ，则它的通项公式是_______．
【答案】
【解析】当 时， ，
当 时，
经检验当 时不符合，所以 ，故答案为：
【例3-2】（2022·安徽宿州）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则 的通项公式为
______．
【答案】
【解析】当 时， ，得 ，
当 时，由 ，得 ，所以 ，所以 ，所以
，所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，所以 ，故答案为：
【例3-3】．（2022·北京交通大学附属中学）已知数列 满足 ，则
____.
【答案】
【解析】因为 ，所以当 时，有 ，
，得 ，当 时， 也适合 ，故答案为：
【例3-4】．（2022·山西太原·二模（文））已知数列 的首项为1，前n项和为 ，且 ，
则数列 的通项公式 ___________.
【答案】n
【解析】∵ ，∴
当 时， ，
当 时， 成立，∴ ，
当 时， ，
当 时， 满足上式，∴ .故答案为：n
【一隅三反】
1．（2022·湖北）数列 中，已知 ， 且 （ 且 ），则此数列
的通项公式为__________.
【答案】【解析】由 得：
（ 且 ）
（ 且 ）即 （ 且 ）
数列 是第二项起公比为 的等比数列，
（ 且 ）又 不满足上式，
2．（2022·全国·专题练习）（多选）在数列 中，其前 的和是 ，下面正确的是（ ）
A．若 ，则其通项公式
B．若 ，则其通项公式
C．若 ，则其通项公式
D．若 ， ，则其通项公式
【答案】BCD
【解析】A： 时， ，当 时， ，而
，故错误；
B：由题设， ， ， ， ，…，则
，故正确；
C：由题设， ，而 ，则 ，即 ，故正确；D：假设 成立，当 时， ，即 成立；
若 时， 成立，则 时， ，
此时 ，则 也成立，故正确.
故选：BCD
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）在数列 中，其前 的和是 ，下面正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，且 ，则
【答案】ABC
【解析】A：由题设， 是首项为1，公差为2的等差数列，则 ，正
确；
B：由题设， ，则 ，可得
，即 ，正确；
C：由题设， ，则 ，正确；
D： 时有 ，整理得 ，而 ，故 为常数列且
，可得 ，错误；故选：ABC
考点四 构造等差数列
【例4-1】（2022·四川省绵阳南山中学）已知数列 满足 ， ， ，则满足的n的最大取值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】解：因为 ，所以 ，所以 ，又 ，
数列 是以1为首项，4为公差的等差数列．
所以 ，所以 ，由 ，即 ，即 ，解得 ，
因为 为正整数，所以 的最大值为 ；
故选：C
【例4-2】（2022·广东肇庆·二模）已知 是数列 的前n项和， ， ，
恒成立，则k最小为______．
【答案】2
【解析】由 ，得 ，
当 时，得 ， ，…， ，
则 ，
即 ，则 ，
当n=1时符合上式，
则 ，
所以k最小为2．故答案为： .
【例4-3】（2021·江西）已知数列 满足： ， （ ， ），则
___________.
【答案】
【解析】由题设， ，即 ，而 ，
∴ 是首项、公差均为 的等差数列，即 ，
∴ .故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则 的通项公
式 _______________________.
【答案】
【解析】由 ,得 ，则 ，
由 得 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
当 时， ，
所以 ，当 时， 也适合上式，所以 ，故答案为： .2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项
公式 ______．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
即 ．又 ， ，
∴数列 是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴ ，
∴数列 的通项公式 ．
故答案为： .
3．（2022·全国·课时练习）已知数列 中， ，求数列 的通项公式；
【答案】 ．
【解析】由 ，得： ，∴ ，
即数列 是首项为1，公差为2的等差数列，∴ ，得 ．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ．求数列 的通项公式；
【答案】
【解析】因为 ， 所以令 ，则 ，解得 ，对 两边同时除以 ，得 ，
又因为 ，所以 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ，所以 ；
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式.
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，∴数列 是等差数列，公差为 ，又 ，
∴ ，∴ .
考点五 构造等比数列
【例5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 ________．
【答案】
【解析】将 变形为 ,所以数列 是首项为2,公比为2的等比数列,所以
,即 公比为2的等比数列,所以 ,即 .故答案为：
【例5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ，整理得 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．所以 ，解得
．
故选：A
【例5-3】（2022·全国·课时练习）已知数列 满足 ， ．数列 满足
，则数列 的通项公式为________．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，即 ,∴ ,
且 ， ，则 ,又 ，
∴数列 是首项为 ，公比为3的等比数列．∴ ．故答案为： .
【一隅三反】
1．（2022·福建省）已知数列 满足 ， ，则 的前n项和为___.
【答案】
【解析】数列 满足 ，整理得： ，所以 ，
又 ，故 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，所以 的前 项和
故答案为：
2．（2022·山西师范大学实验中学）已知数列 满足 ， ，则 ___________.【答案】
【解析】由已知可得 ，设 ，则 ，
所以， ，可得 ，所以， ，且 ，
由题意可知，对任意的 ， ，则 ，
所以，数列 为等比数列，且该数列的首项为 ，公比为 ，
所以， ，因此， .
故答案为： .
3．（2022·全国·高三专题练习）若正项数列 满足 ，则数列 的通项公式是
_______．
【答案】
【解析】在正项数列 中， ，则有 ，
于是得 ，而 ，因此得：数列 是公比为2的等比数列，
则有 ，即 ，
所以数列 的通项公式是 .
故答案为：
4．（2022·黑龙江·龙江县第一中学）已知数列 的通项公式为 ， 求数列 的通项
公式.【答案】
【解析】因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，所以 ；
