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7.3 空间几何体积及表面积（精练）（基础版）
题组一 柱锥台的表面积
1．（2022·青海）以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周 ，所得圆柱的侧面
积为（ ）
A． B． C．32 D．16
【答案】A
【解析】以边长为4的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径 ，
高 ，故其侧面积 ．故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧
面积是（ ）．
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
如图，由题意知 为等腰直角三角形，则 ，底面圆周长为 ，
故圆锥的侧面积为 .故选：D.
3．（2022·河北衡水·二模）已知某圆台的高为 ，上底面半径为 ，下底面半径为 ，则其侧面展开
图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知母线长为 ，且上底面圆周为 ，下底面圆周为 ，易知展开
图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，所以面积 .故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体 的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段
的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意知： ， ，故
，则 ，所
以 .
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知圆锥的顶点为点 ，高是底面半径的 倍，点 ， 是底面
圆周上的两点，当 是等边三角形时面积为 ，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆锥的高为h，母线为l，底面半径为r，
则由题意得h= r， ，所以 ，
又 ，则 ，
所以圆锥的侧面积为 ，故选；D
6．（2022·全国·高三专题练习（理））《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一
卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的体积为 ，则该圆锥的侧面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意设圆锥的底面圆的半径为 ，因为 为等腰直角三角形，则高为 ，母线长为 ，
因为圆锥的体积为 ，所以 ，解得 ，所以该圆锥的侧面积为 ．
故选：C
题组二 柱锥台的体积
1．（2022·全国·高三专题练习）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为 ，两个圆弧所在的圆半径分
别为2和4，则该圆台的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为 ，
则其面积为 ，得 ，
所以扇环的两个圆弧长分别为 和 ，
设圆台的上底半径，下底半径分别为 ，圆台的高为 ，
则
所以 ， ，又圆台的母线长
所以圆台的高为 ，
所以圆台的体积为 ．
故选：D.
2．（2022·山东·模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截
面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为 ，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该直角圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，
因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以 ， .
因为直角圆锥的侧面积为 ，所以 ，解得 ，
所以该直角圆锥的体积为 .故选：B.
3．（2021·全国·高三专题练习）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建
筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为 ，顶角为 的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为轴截面的顶角为 ，所以底角 ，
在 中，依题意，
该圆形攒尖的底面圆半径 ，高 ，
则 ( )，
所以该屋顶的体积约为 .
故选：B.
4．（2022·湖北武汉·高三开学考试）2022年7月，台风“暹芭”登陆我国.某兴趣小组为了解台风“暹
芭”对本市降雨量的影响，在下雨时，用一个圆台形的容器接雨水.已知该容器上底直径为56cm，下底直
径为24cm，容器深18cm，若容器中积水深9cm，则平地降雨量是（ ）（注：平地降雨量等于容器中
积水体积除以容器的上底面积）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B【解析】根据题意可得，容器下底面面积为 ，上底面面积为 ,
因为容器中积水高度为容器高度的 ，则积水上底面恰为容器的中截面，
所以积水上底直径为 cm，积水上底面面积为 ，
所以积水体积为 ，
则平地降雨量是 cm.故选：B.
题组三 球的体积与表面积
1．（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称
轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为 ，圆锥的底面圆周和顶点都
在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设球半径为 ，圆锥的底面半径为 ，若一个直角圆锥的侧面积为 ，
设母线为 ，则 ，
所以直角圆锥的侧面积为： ，
可得： ， ，圆锥的高 ，
由 ，解得： ，
所以球 的体积等于 ，
故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， ， ，
， 为球 的直径， ，则这个三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图所示，由条件 为直角三角形，则斜边 的中点 为 的外接圆的圆心，
连接 得 平面 ， ，
， ，
平面 ，
三棱锥的体积为 ．
故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒
盖，可放小球的最大半径为 .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设储物盒所在球的半径为 ，如图，
小球最大半径 满足 ，所以 ，
正方体的最大棱长 满足 ，解得： ，
∴ ，故选：D.
题组四 空间几何截面
1．（2022·全国·高三专题练习）若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥
的高为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】如图所示，设圆锥的高为h，底面半径为r，则侧面积为 ，轴截面为等腰三角形
PAB，面积为 ，其侧面积为其轴截面面积的4倍，所以 ，解得：故选：B
2（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知圆锥的底面直径为 ，过一母线的截面是面积
的等边三角形，则该圆锥的体积为________．
【答案】
【解析】由题意知：圆锥的底面半径 ；
设圆锥的母线长为 ，则 ，解得： ，
圆锥的高 ， 圆锥的体积 .
故答案为： .
3．（2022·全国·高三专题练习）若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥
的高为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】如图所示，设圆锥的高为h，底面半径为r，则侧面积为 ，轴截面为等腰三角形
PAB，面积为 ，其侧面积为其轴截面面积的4倍，所以 ，解得：故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长为5，侧面积为 ，过此圆锥的顶点作一截面，则截
面面积最大为__________
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为r，则 ，
，
圆锥的高 ，
设轴截面中两母线夹角为 ，则 ，
，
所以当两母线夹角为 时，过此圆锥顶点的截面面积最大，
最大面积为 .
故答案为：
5．（2020·全国·高三阶段练习（文））古人为避雷和便于雨水下泄，常将屋顶设计成圆锥形状，多见于我
国东南沿海地带，经测算某圆锥屋顶的轴截面为一个斜边长约为20米的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积
约为______ 平方米.
【答案】【解析】依题意，圆锥的底面半径为10米，母线长为 米，
于是其侧面积为 （平方米）.
故答案为： ．
