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计算题热身练(6)
1．(2022·江苏南京市二模)现将等宽双线在水平面内绕制成如图甲所示轨道，两段半圆形轨
道半径均为R＝ m，两段直轨道AB、A′B′长度均为l＝1.35 m．在轨道上放置一个质量
m＝0.1 kg的小圆柱体，如图乙所示，圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面圆心O连线的夹
角θ为120°，如图丙所示．两轨道与小圆柱体间的动摩擦因数均为 μ＝0.5，小圆柱尺寸和
轨道间距相对轨道长度可忽略不计．初始时小圆柱位于A点处，现使之获得沿直轨道AB
方向的初速度v.重力加速度大小g＝10 m/s2，求：
0
(1)小圆柱沿AB运动时，内、外轨道对小圆柱的摩擦力F 、F 的大小；
f1 f2
(2)当v ＝6 m/s，小圆柱刚经B点进入圆弧轨道时，外轨和内轨对小圆柱的压力F 、F 的
0 N1 N2
大小；
(3)为了让小圆柱不脱离内侧轨道，v 的最大值以及在v 取最大值情形下小圆柱最终滑过的
0 0
路程s.
答案 (1)0.5 N 0.5 N (2)1.3 N 0.7 N (3) m/s 2.85 m
解析 (1)圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面圆心O连线的夹角θ为120°，
根据对称性可知，两侧弹力大小均与重力相等，为1 N，
内、外轨道对小圆柱的摩擦力F ＝F ＝μF ＝0.5 N
f1 f2 N
(2)当v＝6 m/s，小圆柱刚经B点进入圆弧轨道时有mv2－mv2＝－(F ＋F )l
0 0 f1 f2
在B点有F sin 60°－F sin 60°＝m，F cos 60°＋F cos 60°＝mg
N1 N2 N1 N2
解得F ＝1.3 N，F ＝0.7 N
N1 N2
(3)为了让小圆柱不脱离内侧轨道，v 最大时，在B点恰好内轨对小圆柱的压力为0，有
0
F ′sin 60°＝m ，
N1
F ′cos 60°＝mg
N1
且mv 2－mv 2＝－(F ＋F )l
m 0m f1 f2
解得v ＝ m/s，在圆弧上受摩擦力为
0m
F＝μF ′＝μ＝1 N
f N1
即在圆弧上所受摩擦力大小与在直轨道所受总摩擦力大小相等
所以mv 2＝Fs
0m f
解得s＝2.85 m.2．(2022·山东日照市模拟)如图所示，MM 与PP 是固定在水平面上的两光滑平行导轨，
1 2 1 2
间距为L ＝1 m，MMPP 区域内存在垂直于导轨所在平面向里的匀强磁场，磁感应强度
1 1 2 2 1
大小B ＝1 T．N N 与QQ 也是固定在水平面上的两光滑平行导轨，间距为 L ＝0.5 m，并
1 1 2 1 2 2
用导线分别与MM 、PP 相连接，N N QQ 区域内存在垂直于导轨平面向里的匀强磁场，
1 2 2 1 1 2 2 1
磁感应强度大小B ＝2 T．在MMPP 区域放置导体棒G，其质量m ＝2 kg、电阻R ＝1
2 1 2 2 1 1 1
Ω、长度为L ＝1 m，在N N QQ 区域内放置导体棒H，其质量m ＝1 kg、电阻R ＝1 Ω、
1 1 2 2 1 2 2
长度为L＝0.5 m．刚开始时两棒都与导轨垂直放置，且导体棒H被锁定，两个区域导轨都
2
足够长、不计电阻且棒始终与导轨接触良好．
(1)要想使导体棒G在水平向右的外力作用下做初速度为零、加速度大小为 a＝2 m/s2的匀
加速直线运动，请写出力F与时间t的关系式；
(2)若在导体棒G上施加水平向右的F ＝5 N的外力，在作用t ＝5 s后达到最大速度，求此
1 1
过程中导体棒G的位移大小；
(3)若导体棒G在水平向右的外力F作用下做初速度为零、加速度大小为a＝2 m/s2的匀加
速直线运动，运动t ＝6 s后将力F撤去，同时将导体棒H解锁，求从撤去外力到导体棒H
2
获得最大速度的过程中导体棒H产生的热量；
(4)若开始时导体棒H即解除锁定，导体棒G一直在外力F作用下向右做a＝2 m/s2的匀加
速直线运动，求电路稳定后两棒的速度满足的关系式．
答案 (1)F＝t＋4 (N) (2)10 m (3)24 J (4)v－v＝4 m/s
1 2
解析 (1)要使导体棒G做加速度大小为a＝2 m/s2的匀加速直线运动，由法拉第电磁感应
定律得E＝BLat
1 1
由闭合电路欧姆定律知I＝＝
由牛顿第二定律可得F－BIL ＝ma
1 1 1
联立解得F＝t＋4 (N)
(2)设最大速度为v ，当速度最大时，拉力F 与安培力相等，
m 1
则有F＝BI L
1 1 m 1
最大电动势为E ＝BLv
m 1 1 m
最大电流为I ＝＝
m
联立解得v ＝10 m/s
m
设在运动过程中平均电流为，取水平向右为正方向，对这一过程由动量定理可得
Ft－BLt＝mv
11 1 11 1 m
又知q＝t＝
1由以上各式联立解得x＝10 m
(3)导体棒H解锁时导体棒G速度
v＝at＝12 m/s
0 2
当导体棒H获得最大速度时，电路中电动势为零，则此时BLv＝BLv
1 1 1 2 2 2
取水平向右为正方向，两棒组成系统动量守恒，有mv＝mv＋mv
1 0 1 1 2 2
电路中产生的热量
Q＝mv2－mv2－mv2
1 0 1 1 2 2
导体棒H产生的热量Q ＝Q
H
联立各式代入数据可得Q ＝24 J
H
(4)当电路稳定时，电路中电流恒定，则电动势恒定，安培力恒定，两棒的加速度相同，
对导体棒H有BIL ＝ma
2 2 2
I＝＝
联立解得v－v＝4 m/s.
1 2
